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《第二章 实数》单元测试 解答
一、单选题
1．在下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C．3.14 D．
【答案】D
【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义解答．
【详解】解：∵=2，
∴ 、2、3.14是有理数，
属于无理数的是，
故选：D．
2．下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；
B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；
C、，是最简二次根式；故C选项正确；
D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；
故选C．
3．下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根、立方根的定义计算即可
【详解】A、负数没有平方根，故错误
B、表示计算算术平方根，所以，故错误
C、，故正确
D、，故错误
故选：C
4．估计的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】B
【分析】求出＜＜，推出5＜＜6，即可得出答案．
【详解】解：∵＜＜，
∴5＜＜6，
∴在5和6之间，
故选：B．
5 . 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，
以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A． B． C． D．2.5
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理计算出，由此即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是，
故选：C．
6．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（ ）
A．8 B．±8 C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算即可．
【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数，
故将8取立方根为2，是有理数，
将2取算术平方根得，是无理数，
故选：D．
7．已知数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上表示数和有理数运算法则、算术平方根，解题关键是根据点在数轴上位置，确定点的正负及绝对值大小．
【详解】解：数a，b在数轴上的位置如图所示，则，
所以，，，，
故选：C．
8．计算的结果是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了积的乘方逆运算，二次根式的混合运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
利用积的乘方运算法则进行化简运算即可．
【详解】解：
原式
故选：D．
9．若一个正数的两个平方根分别为2－a与3a＋6，则这个正数为（ ）
A．2 B．－4 C．6 D．36
【答案】D
【分析】根据平方根的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程求出的值，再计算有理数的乘方即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
则这个正数为，
故选：D．
如图，一架2.5米长的梯子斜靠在墙上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，
如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯足将外移的长度是（ ）
A．0.7米 B．0.4米 C．0.8米 D．1米
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，本题中求的长度是解题的关键．
在直角三角形中，已知根据勾股定理即可求的长度，根据即可求得的长度，在直角三角形中，已知即可求得的长度，根据即可求得的长度．
【详解】解：在直角中，已知，
则，
∵
，
∵在直角中，，且为斜边，
，
，
∴梯足将外移的长度为，
故选：C．
二、填空题
11．计算： ．
【答案】
【分析】先分别化简负整数指数幂和绝对值，然后再计算．
【详解】，
故填：．
12．若、是两个连续的整数，且，则 ．
【答案】9
【分析】根据无理数的估算方法求出的值，由此即可得．
【详解】解：，
，即，
是两个连续的整数，且，
，
，
故答案为：9．
13．若（a－2）2＋＝0，则a＋b的立方根是 ．
【答案】
【分析】由先求解的值，再求解的立方根即可得到答案．
【详解】解：
的立方根是
故答案为：
14．若代数式有意义，则的取值范围为__________．
【答案】且.
【解析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可.
【详解】解：∵代数式有意义，
∴x≥0，x-1≠0，
解得x≥0且x≠1.
故答案为x≥0且x≠1.
已知，则为 ．
【答案】1
【分析】本题考查求代数式的值，二次根式的性质，解二元一次方程组，
解题的关键是掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0．
由，可得，
解得，代入计算即得答案．
【详解】解：，
，
解得，
．
故答案为：1．
16．已知的平方根为，则的立方根是______．
【答案】-4
【解析】
【分析】
根据平方根的定义即可得到一个关于x的方程求得x的值，进而得到-5x-4的值，然后根据立方根的定义即可求解．
【详解】
根据题意得：2x+1=（±5）2，
即2x+1=25，
解得：x=12．
则-5x-4=-5×12-4=-64，
-64的立方根是-4．
故答案是：-4．
三、解答题
17．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根、立方根和负整数指数幂的运算，根据算术平方根定义，立方根定义，乘方运算法则和负整数指数幂运算法则，进行计算即可．
【详解】解：
．
18．求x的值：
（1）4x2=81；
（2）2（x﹣1）3=54．
【答案】（1）；（2）x=4
【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；
（2）利用立方根的定义计算得出答案．
【详解】解：（1）4x2=81
x2=，
解得：；
（2）（x﹣1）3=27，
x﹣1=3，
解得：x=4．
19．已知一个正数x的两个平方根分别是和，求a和x的值．
【答案】a＝－1，x＝9．
【分析】根据一个正数的两个平方根是互为相反数的关系列出方程，再求解方程即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根是，，
∴，解得．
∴，
∴，
∴a＝－1，x＝9．
20．计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
（3）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
；
（3）解：
．
21．阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，，
这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简.
（一）
（二）
（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简.
.（四）
（1）请用不同的方法化简：
（2）化简：.
【答案】（1）；（2）1.
【分析】（1）方法一：分子分母同时乘以有理化因式，即可化简；
方法二：把分子2写成5-3，然后利用平方差公式分解，即可化简；
（2）根据上面的例子即可进行化简．
【详解】（1）方法一：
.
方法二：.
（2），
，
，
，
=1.
阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中、、、均为整数），
则有．，．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当、、、均为正整数时，若，
用含、的式子分别表示、，得_____，_______；
（2）试着把写成一个完全平方式：；
（3）若是的立方根，是的平方根，试计算：．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由题意根据完全平方公式展开，再得出即可；
（2）由题意根据完全平方公式的逆应用进行配方得出即可；
（3）根据题意先利用立方根和平方根的性质求出a、b的值，再代入进行计算求出即可．
【详解】
解：（1）∵，
则有，
，
故答案为：；；
（2）
（3）是的立方根，是的平方根，
，
．
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一、单选题
1．在下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C．3.14 D．
2．下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．估计的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
5 . 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，
以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A． B． C． D．2.5
6．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（ ）
A．8 B．±8 C．2 D．
7．已知数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．计算的结果是（ ）
A． B．4 C． D．
9．若一个正数的两个平方根分别为2－a与3a＋6，则这个正数为（ ）
A．2 B．－4 C．6 D．36
如图，一架2.5米长的梯子斜靠在墙上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，
如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯足将外移的长度是（ ）
A．0.7米 B．0.4米 C．0.8米 D．1米
二、填空题
11．计算： ．
12．若、是两个连续的整数，且，则 ．
13．若（a－2）2＋＝0，则a＋b的立方根是 ．
14．若代数式有意义，则的取值范围为__________．
已知，则为 ．
16．已知的平方根为，则的立方根是______．
三、解答题
17．计算：．
18．求x的值：
（1）4x2=81；
（2）2（x﹣1）3=54．
19．已知一个正数x的两个平方根分别是和，求a和x的值．
20．计算：
(1)
(2)
(3)
21．阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，，
这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简.
（一）
（二）
（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简.
.（四）
（1）请用不同的方法化简：
（2）化简：.
阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中、、、均为整数），
则有．，．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当、、、均为正整数时，若，
用含、的式子分别表示、，得_____，_______；
（2）试着把写成一个完全平方式：；
（3）若是的立方根，是的平方根，试计算：．
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