2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高一下学期5月联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高一下学期5月联考数学试卷
一、选择题（共55分）
1.的终边落在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
4.某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互不受影响．若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为
( )
A. B. C. D.
5.已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心的坐标为
( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为
( )
A. B. C. D.
7.若，则
( )
A. B. C. D.
8.已知，，则的最大值是
( )
A. B. C. D.
9.为了解“全民齐参与城市更美丽”的志愿服务情况，随机抽取了名志愿者进行问卷调查，将这名志愿者问卷调查的得分按，，分成组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是
( )
A.
B. 估计这名志愿者问卷调查得分的分位数为
C. 这名志愿者问卷调查得分的平均数为同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
D. 若采用分层随机抽样从得分在内的志愿者中抽取人，则抽取的这名志愿者得分在内的人数为
10.若函数在上单调，则的取值可能为
( )
A. B. C. D.
11.如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则
( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的面积的最大值为
二、非选择题（共75分）
12.用一根长度为的绳子围成一个扇形，当扇形弧长为时，其圆心角的弧度数为
13.已知向量，若，则 ；若，则 ．
14.若函数只有个零点，则的取值范围是
15.已知角的终边经过点．
求，，的值；
若，，，求角的大小．
16.已知函数．
证明：的定义域与值域相同．
若，求的取值范围．
17.已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
求在上的值域；
求不等式的解集．
18.如图，在梯形中，，，，，在线段上．

若，用向量，表示，；
若与交于点，，，，求的值．
19.已知函数．
若，函数为偶函数，求的最小值；
若在上恰有个零点，求的取值范围；
若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据角与角的终边相同，，所以与的终边落在同一象限，判断所在象限即可．
【详解】因为，又因为的终边落在第四象限，
所以的终边落在第四象限．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】利用二倍角的正切公式计算即可求得结论．
【详解】．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】由图象平移法则可求解析式．
【详解】由题意得．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率．
【详解】根据题意可得该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】由最小正周期可求，可得，利用，可求对称中心的坐标．
【详解】由，得，所以．
令，则，
当时，，
所以图象的一个对称中心的坐标为．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】向量在向量上的投影向量，计算即可求坐标．
【详解】向量在向量上的投影向量的坐标为．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】由指数函数和对数函数的单调性即可得出答案．
【详解】因为，所以，
所以，又因为，
所以，又，所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据题意分析可得，即，结合基本不等式分析求解．
【详解】因为，可知，
又因为，则，．
且，可得，
即，
则．
又因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】利用概率和为，可求判断；设这名志愿者问卷调查得分的分位数为，可得，求解可判断；求得名志愿者问卷调查得分的平均数可判断；求得名志愿者得分在内的人数判断．
【详解】对于：由，解得， A正确．
对于：设这名志愿者问卷调查得分的分位数为，
则，解得， B正确．
对于：这名志愿者问卷调查得分的平均数为， C错误．
对于：根据频率分布直方图可得抽取的这名志愿者得分在内的人数为， D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据余弦函数只能在半个周期内单调可得，再通过整体法确定的取值范围，最后求解取值范围即可．
【详解】由题意函数的最小正周期为，
因为函数在区间上单调，
可得，
则．
因为，
所以．
因为，
所以．
因为在上单调，
所以或
解得或．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】利用坐标法，以为原点建立坐标系，写出相关点坐标，得到相关向量的坐标，利用向量的坐标运算，再求解二次函数最值即可判断各个选项．
【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，则，
对于，，，故 A错误，B正确；
对于，，
当时，取得最大值，且最大值为，故 C正确；
对于，的面积
，当时，取得最大值，且最大值为，故 D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】由题可知扇形的周长，可求得扇形的半径，由弧长公式即可求解．
【详解】解：设扇形的半径为，圆心角的弧度数为，
由题意得，解得，
由，故，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】由垂直向量的坐标表示可求出的值；再由向量的夹角公式可得，解方程可得出答案．
【详解】若，则，所以．
若，则，
得，
所以舍去或，故．
故答案为：；．
14.【答案】
【解析】【分析】函数只有个零点等价于函数与函数有且只有个焦点，借助指数函数的图象与性质可得函数的大致图象，即可得解．
【详解】由，得，
设函数
由指数函数性质可知，函数在上单调递减，
在上单调递增，且，，
可作出的大致图象，如图所示，
由图可知，的取值范围是．
故答案为：．
15.【答案】解：由三角函数定义可得，，
则．
因为，，所以，
又因为，所以，
由．
因为，所以．

【解析】【分析】利用三角函数的定义就可得到角的正、余弦函数值，再利用二倍角的余弦公式，就可以求出；
本问要利用化角为两角差即，然后利用已知的三角函数值和两角差的正弦公式去求解即可．
16.【答案】解：
证明：由，得，
所以的定义域为．
，
因为在上单调递增．
所以，所以的值域为，
所以的定义域与值域相同．
解：由知在上单调递增，
所以当时，．
设，
当，即时，取得最小值，且最小值为．
因为
所以，即的取值范围为．

【解析】【分析】由具体函数的定义域可得，解不等式即可求出的定义域，再结合对数函数的单调性即可求出的值域．
设，则，分别求出，即可得出答案
17.【答案】解：
由图可得．
因为，所以．
当时，取得最小值，所以，，
得，．
因为，所以，所以．
由，得，所以，
所以，即在上的值域为．
即，
得，则，
解得，
故的解集为．

【解析】【分析】先由图像振幅得到值，再由距离为，求出，再代入，取到最小值即可得．
根据，得出范围，借助正弦图像即可得值域．
代入，用二倍角公式化简不等式，借助余弦函数图像即可．
18.【答案】解：
依题意，
．
因为，
所以，
所以．
因为，所以，
所以，即，解得或．
连接交于，因为，所以，所以，
则．
因为在线段上，所以，故．


【解析】【分析】根据图形关系及平面向量线性运算法则计算可得；
依题意可得，根据数量积的运算律及定义得到方程，求出，再判断即可．
19.【答案】解：
，
则．
因为为偶函数，所以，解得，所以的最小值为．
令，得．
由，得，
因为在上恰有个零点，所以，
得，故的取值范围为．
不等式，即为，
得．
当时，不等式恒成立，符合题意．
当时，函数可看成关于的一次函数，
则依题意得，即
因为，，所以，解得且．
综上，，则，
即，故的取值范围为．

【解析】【分析】化简可得，根据为偶函数，可得，可求的最小值；
由题意可得，在上恰有个零点，可得，求解即可；
由题意可得，令，不等式对任意的恒成立，可得，计算可求的取值范围．
方法点睛：恒成立问题，通常是通过转化成求函数的最值解决问题，本题转化成一次函数恒成立问题，只需满足在端点处的函数值大于等于即可．
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