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北师版八年级数学上册《第二章 实数》单元 复习题 解答
一、单选题
1．4的算术平方根是 （ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．4
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可．
【详解】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故选：A．
2．在实数范围内，有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x≤3 D．x＜3
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
【详解】解：由题意可得3-x≥0，
解得：x≤3，
故选：C．
3．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行判定即可得出答案．本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义进行求解是解决本题的关键．
【详解】解：A．是最简二次根式，故A选项符合题意；
B．，所以不是最简二次根式，故B选项不符合题意；
C．，所以不是最简二次根式，故C选项不符合题意；
D．，所以不是最简二次根式，故D选项不符合题意．
故选：A．
4．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二次根式和立方根的性质进行计算．
【详解】解：A、，故选项A错误；不符合题意；
B、，故选项B错误；不符合题意；
C、，故选项C错误；不符合题意；
D、，计算正确，符合题意，
故选D．
5．已知实数满足，则等于（ ）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
【答案】A
【分析】根据根号和平方的非负性，求出x，y的值代入即可得出．
【详解】因为根号和平方都具备非负性，
所以，可得，
所以．
故选A．
6．如图为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）
姓名 张小亮 得分 填空（每小题20分，共100分）①的绝对值是 1 .②2的倒数是 .③的相反数是 2 .④1的立方根是 1 .⑤和7的平均数是 3 .
A．100分 B．80分 C．60分 D．40分
【答案】B
【分析】根据绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数进行计算即可．
【详解】解： 1的绝对值是1，
2的倒数是，
2的相反数是2，
1的立方根为1，
1和7的平均数是3，
答对了4题，故小亮得了80分，
故选B．
7．若，则的值是（ ）
A． B．或 C．12 D．12或4
【答案】B
【分析】先依据平方根和立方根的性质求得a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴a=±4，b=-8．
∴当a=4，b=-8时，a+b=-4；
当a=-4，b=-8时，a+b=-12．
故选：B．
8．若两个连续整数x、y满足x<< y，则x+y的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】估算的值，首先找到两个与被开方数a接近且开方开得尽的数，三个数同时开方可得到的大致范围，从而得到x，y的值，再进行求和即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，，
∴的值是，
故选：C．
9．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b
【答案】C
【分析】利用数轴得出a＋b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可．
【详解】∵由数轴可知，b＞0＞a，且|a|＞|b|，
∴．
故选：C．
10．有一个数值转换器，原理如下，当输入的x为81时，输出的y是（ ）
A． B．9 C．3 D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根的概念进行计算即可．
【详解】解：∵=9，=3，
∴输出的y等于，
故选A．
二、填空题
11．计算： = ．
【答案】3
【分析】根据二次根式的乘除法可以解答本题．
【详解】3．
故答案为3．
12．若代数式有意义，则的取值范围为__________．
【答案】且.
【解析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可.
【详解】解：∵代数式有意义，
∴x≥0，x-1≠0，
解得x≥0且x≠1.
故答案为x≥0且x≠1.
13．比较大小： .
【答案】>
【分析】因为两数的分母相同，比较分子的大小即可．
【详解】解：∵1>-1
∴>.
故答案为 >
14．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了积的乘方、平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，先根据积的乘方进行变形，再根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再求出答案即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
15．若5+的小数部分是，5-的小数部分是b，则+5b=______．
【答案】2
【解析】由可得，，进行可得a，b的值，从而可得结论．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，；
将、的值，代入可得．
故答案为2．
16．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，得，当时，代入计算即可．
本题考查了程序式代数式的计算，平方根的计算，熟练掌握平方根的计算是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
当时，．
故答案为：．
17．若x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则 x2+y2 的平方根是______．
【答案】±10
【解析】利用平方根，立方根定义求出x与y的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】根据题意得：x－2＝4，2x＋y＋7＝27，
解得：x＝6，y＝8，
则x2＋y2＝100，100的平方根是±10，
故答案为±10.
18．观察下列等式
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
按上述规律 .
【答案】
【分析】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
首先根据题意，可得：，
然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
……
第个等式：，
故答案为：．
三、解答题
19．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，
先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，最后根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：
．
20．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的知识求解方程的解的知识，
掌握平方根和立方根的求解方法是解答本题的关键．
（1）利用立方根的意义解方程即可；
（2）利用平方根的意义解方程即可．
【详解】（1）原式为，
解：
．
（2）原式为，
解：
即或
或．
21．计算
（1）（）2﹣（﹣）（）
（2）（）﹣（﹣）
【答案】（1）4+6（2）5-
【解析】（1）根据二次根式的运算法则计算即可.（2）根据二次根式的运算法则计算即可.
【详解】（1）原式=2+4+6﹣（5﹣3）
=2+4+6﹣2
=4+6.
（2）原式=2﹣﹣ +3
=5﹣.
22．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；（2）求的平方根．
【答案】（1）a=5，b=2，c=3 ；（2）±4.
【解析】(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值.
(2)将a、b、c的值代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】(1)∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，
∴5a+2=27，3a+b-1=16，
∴a=5，b=2，
∵c是的整数部分，
∴c=3，
（2）∵a=5,b=2,c=3,
∴3a-b+c=16，
3a-b+c的平方根是±4．
23．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.
【答案】
【解析】直接利用数轴判断得出：a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，进而化简即可．
【详解】由数轴，得，，，.
则原式.
24．已知，，求下列各式的值：
（1）；（2）.
【答案】（1）8；（2）
【解析】可先把所求的式子化成与x+y，x-y有关的式子，再代入求值即可.
【详解】∵，，
∴x+y=，x-y=2
（1）
（2）.
25．观察下列等式，然后解答问题：
，
，
，
，
．
(1)计算：
①__________；
②；
(2)计算：
①；
②．
【答案】(1)①②2022
(2)①②
【分析】（1）①观察题目中的等式，即可求得答案；②将原式整理为，
进而可得，然后利用平方差公式进行求解即可；
①利用积的乘方的逆运算，将原式整理为，
然后利用平方差公式进行求解即可；②将原式整理为，
然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：①；
故答案为：；
②原式
；
（2）①原式
；
②原式
．
26．先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
【答案】（1）④，；（2）；（3）
【分析】（1）第④步出现了错误，；
（2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可；
（3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：
；
（2）
；
（3）
．
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一、单选题
1．4的算术平方根是 （ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．4
2．在实数范围内，有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x≤3 D．x＜3
3．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数满足，则等于（ ）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
6．如图为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）
姓名 张小亮 得分 填空（每小题20分，共100分）①的绝对值是 1 .②2的倒数是 .③的相反数是 2 .④1的立方根是 1 .⑤和7的平均数是 3 .
A．100分 B．80分 C．60分 D．40分
7．若，则的值是（ ）
A． B．或 C．12 D．12或4
8．若两个连续整数x、y满足x<< y，则x+y的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b
10．有一个数值转换器，原理如下，当输入的x为81时，输出的y是（ ）
A． B．9 C．3 D．
二、填空题
11．计算： = ．
12．若代数式有意义，则的取值范围为__________．
13．比较大小： .
14．计算： ．
15．若5+的小数部分是，5-的小数部分是b，则+5b=______．
16．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为 ．
17．若x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则 x2+y2 的平方根是______．
18．观察下列等式
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
按上述规律 .
三、解答题
19．计算：．
20．解方程
(1)
(2)
21．计算
（1）（）2﹣（﹣）（）
（2）（）﹣（﹣）
22．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
23．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.
24．已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
25．观察下列等式，然后解答问题：
，
，
，
，
．
(1)计算：
①__________；
②；
(2)计算：
①；
②．
26．先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
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