2024年广西初中学业水平考试模拟卷（二）
数学
（全卷满分：120分，考试时间：120分钟）
一、单项选择题（共 12小题，每小题 3分，共 36分．在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合要求的）
1．下列各数中，是负数的是（ ）
A．﹣1 B．2 C．0 D．3.1415
2．以下四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3 1．要使分式 有意义，则 x应满足（ ）
x- 3
A． x 0 B. x 3 C． x＞3 D． x＜3
4．某校开展以计算为主题的项目活动，已知甲班 10名学生测试成绩的方差是 s2甲 0.19，
乙班 10名学生测试成绩的方差是 s2乙 = m，两班学生测试的平均分都是 95分，结果主办方根
据平均成绩和方差判定乙班胜出，则 m的值可能是（ ）
A．0.22 B．0.20 C．0.19 D．0.18
5. 一个不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则其解集是（ ）
A.﹣1＜x＜3 B.﹣1≤x＜3
C. 1 （第 5题图）﹣ ＜x≤3 D.﹣1≤x≤3
6．如图，在 O中，∠ABC=60°，则∠AOC等于（ ）
A．30° B．60°
C．120° D．150°
7．如图，直线 a、b被直线 c所截，下列条件中能判定 a∥b的是（ ）
（第 6题图）
A. 1 4 B. 2 3 180
C． 2 5 D． 4 5
8．下列运算正确的是（ ）
3 2
A． a2·a3 a6 B． a a
6
（第 7题图）
C.（3x)2 3x2 D． x6 x3 x2
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9．已知二次函数 y (x 1)2 2的图像上有三点 A(-1, y1),B(2, y2 ),C(4, y3),则 y1、 y2、
y3的大小关系是（ ）
A. y1 < y2 < y3 B. y2 < y1 < y3 C. y2 < y3 < y1 D. y3 < y1 < y2
10．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了
1980份留言，如果全班同学有 x名学生，根据题意，下列方程正确的是
（ ）
A． x(x- 1)= 1980 B． x(x+ 1)= 1980
C x(x- 1)
x(x+ 1D )
（第 11题图）
． = 1980 ． = 1980
2 2
11．如图，点 A k在反比例函数 y (k 0)的图像上，AB⊥x轴于点 B，点 C在 x轴上，
x
且 CO=BO，若△ABC的面积为 4，则 k的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．8
12．如图，△BCD内接于 O，点 B是弧CD的中点， CD是 O的直径．
∠ABC 60 ，AC 4 3，则BC的长为（ ）
A．5 B． 4 3 C．4 2 D．5 2
（第 12题图）
二.填空题（本大题共 6小题，每小题 2分，共 12分）
13．﹣5的相反数是 ．
14．分解因式：a2－4＝ ．
15．如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别 标
上 1、2、3，转盘停止后，指针指向边缘重转，则指针指向的数字为偶数
（第 15题图）
的概率是___________.
16．已知点（m，6）在正比例函数 y=﹣3x的图像上，则 m=_________.
17．如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，且∠
OCD=90°，若 E是 BC边的中点，AC=10，BD=26，则 OE的长为
__________． （第 17题图）
18.如图，某工厂有一块形如四边形 ABCD的铁皮，其中∠A=∠
B=90°，AD=8dm，AB=20dm，BC=24dm．为节约资源，现要从这块铁皮
上截取矩形铁皮 BEFG（阴影部分）备用，点 E、F、G分别在 AB、CD、
BC上．设矩形铁皮的边 FG=x（dm），矩形 BEFG的面积为 S，要使矩
形 BEFG面积的最大．则 x的取值为__________．
（第 18题图）
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三.解答题（本大题共 8小题，共 72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
3
19. 2（本题满分 6分）计算： 1 9 (- )+∣-4∣
2
20. 1 6（本题满分 6分）解分式方程： x ． 3 x 2
21.（本题满分 10 分）如图，在Rt△ABC中， C 90 ， A=60 ．
（1）尺规作图：作 A的角平分线交 BC于点 D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点D到 AB的距离为 3，求 BC的长.
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22．（本题满分 10 分）金桔是柳州市融安县的特产之一．某学校数学兴趣小组为了解
金桔的产量情况，从金桔种植基地各随机抽取 20株第二代“滑皮金桔”和第三代“脆蜜金
桔”进行调查，每株挂果数用 x表示，根据实际情况将挂果数分成 4组： A : 90 x 100，
B : 80 x 90，C : 70 x 80，D : 60 x 70）．下面给出了部分信息：
“滑皮金桔”每株挂果数在 B组中的分别为：81、81、82、83、84、86、87、88.
“脆蜜金桔”每株挂果数分别为：83、60、66、62、68、83、71、92、90、76、91、94、
83、75、84、83、77、90、91、81.
滑皮金桔、脆蜜金桔抽取的挂果数统计表 滑皮金桔抽取的挂果数扇形统计图
品种 滑皮金桔 脆蜜金桔
平均数 80 80
中位数 85 83
众数 82 a
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： a = ，m= .
（2）根据以上数据，你认为哪个品种的金桔挂果情况更好？请说明理由（写出一条理
由即可）.
（3）该种植基地滑皮金桔、脆蜜金桔共有 2000棵，请你估计该种植基地滑皮金桔、脆
蜜金桔挂果数不低于 90颗的有多少棵？
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23.（本题满分 10 分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点 D在
OC的延长线上，且∠CAD=∠B．
（1）证明：直线 AD是⊙O的切线；
（2）若∠D=∠B，⊙O的半径是 4，求 AD的长．
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24.（本题满分 10 分） 【综合与实践】
如图 1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中 代表入射角， 代表折射角.学习
n sina 4 3小组查阅资料了解到，若 = sin ，则把 n称为折射率.（参考数据：
sin53 ， cos53 ，
b 5 5
tan53 4 ）
3
【实践操作】如图 2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激
光笔固定在 MN处，光线可沿 PD照射到空容器底部 B处，将水加至 D处，且 BF=12cm时，
光点移动到 C处，此时测得 DF=16cm，BC=7cm，四边形 ABFE是矩形，GH是法线.
【问题解决】（1）求入射角∠PDG的度数；
（2）请求出光线从空气射入水中的折射率 n．
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25.（本题满分 10分）根据以下素材，探索完成任务．
素材 1：为响应全民健身号召，某校在校运会上开展“8”字长绳比赛.图 1是绳甩到最
高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距 6
米，到地面的距离均为 1米.
素材 2：如图 2，身高为 1.5米的小丽站在距点 O的水平距离为 1米的点 F处，绳子甩
到最高处时刚好通过她的头顶点 E．
（1）如图 3，以点 O为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
（2）某班跳绳成员有男生和女生各 5名，男生身高 1.70米至 1.80米，女生身高 1.60米
至 1.68米，绳子能否顺利从每位跳绳成员头顶越过？请说明理由．
（3）身高为 1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学多远的地方，才能让绳子顺利从头
上越过？
图 1
图 2
图 3
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26.（本题满分 10分）探究与证明：
【问题发现】
（1）如图 1，在正方形 ABCD中，E为对角线 AC上的动点，过点 B作 BE的垂线，过
点 C作 AC的垂线，两条垂线交于点 F，连接 EF，求证：△ △CBF．
1 图 2
图 3
图
【类比探究】
（2）如图 2，在矩形 ABCD中， E为对角线 AC上的动点，过点 B作 BE的垂线，过点C
BC CF
作 AC的垂线，两条垂线交于点 F，连接 EF，交 BC于点 H，若 = m，求 AE的值．AB
【拓展延伸】
（3）如图 3，在（2）的条件下，延长 FE交 AD 1 FH于点 G，当m = 时，求 的值.
2 EG
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数 学
参考答案
一、单项选择题（共 12小题，每小题 3分，共 36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B D B C D B D A A C
二. 填空题（本大题共 6小题，每小题 2分，共 12分）
13．5 14．（a - 2 )(a 2 ) 15. 1 16.﹣2 17. 6 18. 15
3
三.解答题（本大题共 8小题，共 72分）
19.（本题满分 6分）
2
解：原式=－1－9× + 4
3
=－1－6+4
=－3
20.（本题满分 6分）
解：方程两边同乘以 (x 3)(x 2)，得 x 2 6(x 3) ，
去括号得 x 2 6x 18，整理得 -5x 20，
解得 x 4，
检验：把 x 4代入（x 3)(x 2) 0，
∴ x 4是原分式方程的解．
21.（本题满分 10分）（1）解：如图所示，
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（2）解：由（1）得 AD是 BAC的平分线，作DH AB于点H，
∵DC AC，DH AB，
∴DH DC 3
∵ C 90 ， A 60 ，
∴在 Rt BDH中， B 30 ，
∴ BD 2DH 2 3，
∴BC = CD+ BD = 3 + 2 3 = 3 3．
22.（本题满分 10分）
（1）a 83；m = 40 .
（2）解：滑皮金桔挂果情况较好.
理由：在平均数相同的情况下，因为滑皮金桔的中位数比脆蜜金桔的高，所以滑皮金
桔挂果情况更好.
（3）解：滑皮金桔 A 组棵数为： 20 1 20% 20% 40% 4（棵）
2000 4 6 500 (棵)，
20 20
答：估计该种植基地滑皮金桔、脆蜜金桔挂果数不低于 90 颗的有500棵．
23.（本题满分 10分）
证明：∵ AB是直径，∴ ACB 90 ，∴ B BAC 90 ，
∵ CAD B，
∴ CAD BAC 90 ，即 OAD 90 ，OA AD .
又∵OA是半径，∴ AD是 O的切线．
（2）∵ CAD B， D B，∴ CAD D，
∴ AC CD．
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∵ OAD 90 ，
∴ D DOA 90 ， CAD OAC 90 ，
∴ DOA OAC，
∴OC AC，
∴OC = CD，
∴OD = 2OC = 8，
∴ AD OD2 OA2 8 2 4 2 4 3．
24．（本题满分 10分）
解：（1）如图 1，∵GH∥FB，
∴ BDH DBF PDG，
∵ BF = 12cm，DF 16cm ，
tan DBF DF 16 4∴ ，
BF 12 3 图 1
4
∵ tan53 ，
3
∴入射角∠PDG约为 53°.
（2）如图 2，作 DN⊥AB于点 N，
在Rt△BDF 中， BF = 12cm，DF = 16cm ，
N
图 2
∴ BD DF 2 BF 2 20cm ，
在Rt△DNC中， NC DF BC 16 7 9cm ，DN = BF = 12cm，
CD DN 2 NC 2 122 92∴ 15cm ，
BN 16
sin PDG 4
∴光线从空气射入水中的折射率， n BD 20
sin NDC NC 9 3
DC 15
4
∴光线从空气射入水中的折射率 n = ．
3
25.（本题满分 10分）解：（1）由题意可知， A 0,1 ，B 6,1 ，E 1,1.5 ．
设函数的解析式为 y = ax2 + bx + 1，
把B(6,1)，E 1,1.5 代入 y = ax2 + bx + 1，得
模拟卷 数学（二） 参考答案 第 3页，共 5页
36a 6b 1 1
a b 1 1.5
a 0.1
解得： b 0.6 ，
∴函数的解析式为 y = - 0.1x 2 + 0.6x + 1
（2）能．理由如下：
由任务 1 知，该抛物线的解析式为 y = - 0.1x2 + 0.6x + 1，
∵ y 0.1x2 0.6x 1 0.1 x 3 2 1.9，
∴抛物线的顶点坐标为 3,1.9 ，即绳子甩到最高处时最高点的高度为 1.9 米，
∵1.8< 1.9，
∴绳子能顺利从每位跳绳成员头顶越过．
（3）把 y = 1.6代入 y 0.1 x 3 2 1.9得：
1.6 0.1 x 3 2 1.9，解得： x1 3 3 ， x2 = 3+ 3，
∴身高为 1.6 米的跳绳成员至少站在离摇绳同学（3 3）米的地方，才能让绳子顺利
从头上越过．
26.（本题满分 10分）
（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形，
∴ BAC BCA 45 ， ABC 90 ， AB = BC，
∵ BE BF，CF AC，
∴ EBF ECF 90 ABC，
∴ ABE CBF， BCF 45 BAC，又∴ AB AC
∴△ABE≌△CBF(ASA) .
（2）解： BE BF ，CF AC，
∴ EBF ECF 90 ，
即∠FCB+∠BCA=90°，∠FBC+∠CBE=90°，
∵∠CAB+∠BCA=90°，∠EBA+∠CBE=90°
模拟卷 数学（二） 参考答案 第 4页，共 5页
∴∠FCB=∠CAB，∠FBC=∠EBA
∴△ABE∽△CBF ，
CF BC
∴ mAE AB
（4）解：如图，过 E作 EN⊥AB、EM⊥AD，分别交 AB、AD于点 N、M，
过 F作 FQ⊥BC，交 BC于点 Q，
由（2）可得，△ABE∽△CBF，
FQ BC 1
∴ m EN AB ，2
∵EN⊥AB，EM⊥AD，
∴∠EMG=∠ENA=90°，
∴∠EMG=∠CDA=90°，∠ENA=∠ABC=90°，
EM//CD EN//BC EM AE EN AE∴ ， ， ∴ = ， =CD AC BC AC，
EM EN EN BC m 1∴ = = = =CD BC ， ∴ EM CD ，2
∵FQ⊥BC ， ∴∠FQH=90°，
∵∠FQH=∠EMG=90°， ∵AD//BC，
EGM= FHQ FQH EMG FH FQ∴∠ ∠ ， ∴△ ∽△ ， ∴ =EG EM ，
FQ BC 1 EN BC 1
∴ ， EN AB 2 EM CD ，2
FQ FQ EN 1 1 1 FH 1
∴ EM EN EM ， ∴ .2 2 4 EG 4
模拟卷 数学（二） 参考答案 第 5页，共 5页
