2023- 2024学年高二下学期期末模拟
数学试卷 01
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
命题范围：第五章 一元函数的导数及其应用----第八章 成对数据的统计分析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 (选择题 共 58分)
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. (22- 23高二下·江西赣州·阶段练习)已知 f x = x2+2xf 1 ，则 f 1 = ( )
A. 0 B. -4 C. -2 D. -3
2. (22- 23高二下·江苏泰州·期末)口袋中有 2个黑球，2个红球和 1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取
两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则P X= 2 的值为 ( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
5 10 10 5
1 8
3. (2023上·山东青岛·高三青岛二中校考期中)若 1+ x 4 的展开式中共有m个有理项，则m的值是
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. (22- 23高二下·河南郑州·阶段练习)某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮 10次，每罚进一球记
5分，不进记-1分，已知该同学的罚球命中率为 60%，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望
为 ( )
A. 30 B. 36 C. 20 D. 26
5. (22- 23高二下·山东淄博·期末)某市高二年级进行了一次教学质量检测，考生共 2万人，经统计分析数学
成绩服从正态分布，其平均分为 85分，60分以下的人数约 15%，则数学成绩在 85分至 110分之间的考生
人数约为 ( )
A. 3000 B. 5000 C. 7000 D. 14000
6. (22- 23高二下·山东菏泽·期末)有两箱零件，第一箱内有 10件，其中有 2件次品；第二箱内有 20件，其中
有 3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取 1个零件，则取出的零件是次品的概率是
( )
A. 7 B. 1 C. 7 D. 7
90 6 40 20
7. (22- 23高二下·山东淄博·期末)某医院要安排 5名医生到A、B、C三个社区参加义诊，每位医生必须去
·1·
一个社区，每个社区至少有一名医生．则不同的安排方法数为 ( )
A. 150 B. 210 C. 240 D. 180
8. (22- 23高二下·江苏泰州·期末)在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概
率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若 ξ是只取非负值的随机变量，
E ξ
则对 a> 0，都有P ξ≥ a ≤ .某市去年的人均年收入为 10万元，记“从该市任意选取 3名市民，
a
则恰有 1名市民去年的年收入超过 100万元”为事件A，其概率为P A .则P A 的最大值为 ( )
A. 27 B. 243 C. 4 D. 4
1000 1000 27 9
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. (22- 23高二下·湖北武汉·期末)下列说法正确的是 ( )
A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B. y
线性回归直线 = bx+ a 一定过样本点中心 x
,y
C.线性相关系数 r越大，两个变量的线性相关性越强
D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
5
10. (22- 23高二下·江苏泰州·期末)关于二项式 2x2- 1 的展开式，下列说法正确的有 ( )x
A.含 x5的项的系数为-80 B.二项式系数和为 32
C.常数项为 10 D.只有第 3项的二项式系数最大
11. (22- 23高二下· 1 1山东淄博·期末)事件A，B的概率分别为：P A = ，P B = ，则 ( )
2 3
A.若A，B为互斥事件，P A+B = 5 B. P A+B > 5
6 6
C.若A，B相互独立，P AB = 1 D. 1若P B A = ，则A，B相互独立3 3
第二部分 (非选择题 共 92分)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. (22- 23高二下·辽宁·阶段练习)某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩
X~N 90,δ2 ，且P X< 60 = 0.1，规定这次测试的数学成绩高于 120分为优秀．若该校有 1200名高三学
生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是 ．
13. (22- 23高二下·山东菏泽·期末)根据下面的数据：
x 1 2 3 4
y 31.6 52.5 72 91.9
求得 y关于 x 的回归直线方程为 y= 20x+ 12，则这组数据相对于所求的回归直线方程的 4个残差的方差
为 .
ex, (x> 0)
14. (22- 23高二下·北京昌平·期中)已知函数 f x = ，若直线 y= kx+ 1与曲线 y= f(x)有且-x, x≤ 0
·2·
只有一个公共点，则实数 k的取值范围是
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
15. (22- 23高二下·山东菏泽·期末)已知随机变量X的分布列为：
X 5 6 7 8 9
P 0.1 a 0.2 b 0.3
(1) 38若E X = ，求 a、b的值；
5
(2)记事件A：X≥ 7；事件B：X为偶数.已知P B A = 1 ，求 a，b的值.
6
16. (2022·江苏南京·南京市宁海中学校考模拟预测)某公司计划购买 2台机器，该种机器使用三年后即被淘
汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 100元，在机器使用期间，
如果备件不足再购买，则每个 300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理
了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100台机器更换的易损零件数
的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2台机器三年内共需更换的易损零件数，n
表示购买 2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在n= 19与n= 20之中选其一，应选用哪个更合理？
·3·
17. (22- 23高二下·山东菏泽·期末)电商的兴起，促进了我市经济的发展.已知某电商平台对其牌下一家专营
店在 2022年 3月至 7月的营业收入 y(单位：万元)进行统计，得到以下数据：
月份x 3 4 5 6 7
营业收入 y 10 12 11 12 20
(1)依据表中给出的数据，用样本相关系数 r说明营业收入 y与月份 x的相关程度；
(2)试用最小二乘法求出营业收入 y与月份 x的一元线性回归方程，并预测当 x= 8时该专营店的营业收
入.
n n n
(xi-x)(yi-y) (x-x
i )(yi-y
) xiyi-nx y
r= i=1 ，b= i=1 = i=1n n n n
(xi-x)
2 (yi-y )2 (x-x
)2 x2i i -nx 2
i=1 i=1 i=1 i=1
a = y
- bx ， 10 ≈ 3.162.以上各式仅供参考)
·4·
18. (22- 23高二下·江苏泰州·期末)某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市
随机地抽取男性和女性各 100人进行调查统计，得到如下 2× 2列联表：
关注 不关注 合计
男性 50 50 100
女性 30 70 100
合计 80 120 200
(1)能否有 99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？
(2)有 3 1位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为 ，且相互独立.设这 3位市
3
民参观新能源汽车展区的人数为 ξ，求 ξ的概率分布和数学期望.
2 n ad- bc
2
附：χ =
a+ b c+ d a+ c b+ d
P χ2≥ x0 0.050 0.010 0.001
x0 3.841 6.635 10.828
·5·
19. (22- 23高二下·山东淄博·期末)已知函数 f x = 2x3-3ax2+1 a∈R ．
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)若对 x∈ 0,+∞ ，f x ≥ 0恒成立，求 a的取值范围．
·6·2023- 2024学年高二下学期期末模拟
数学试卷 01
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
命题范围：第五章 一元函数的导数及其应用----第八章 成对数据的统计分析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 (选择题 共 58分)
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. (22- 23高二下·江西赣州·阶段练习)已知 f x = x2+2xf 1 ，则 f 1 = ( )
A. 0 B. -4 C. -2 D. -3
【答案】D
【分析】先求导函数，把 x= 1代入求得 f 1 ，然后求得 f 1 =-3.
【详解】由已知 f x = 2x+ 2f 1 ,f 1 = 2+ 2f 1 ，
则 f 1 =-2，即 f x = x2-4x，
所以 f 1 =-3．
故选：D．
2. (22- 23高二下·江苏泰州·期末)口袋中有 2个黑球，2个红球和 1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取
两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则P X= 2 的值为 ( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
5 10 10 5
【答案】B
【分析】根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果.
2
【详解】由题意可得，P X= =
C
2 2 = 1 .
C25 10
故选：B
1 8
3. (2023上·山东青岛·高三青岛二中校考期中)若 1+ x 4 的展开式中共有m个有理项，则m的值是
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【分析】利用二项展开式通项即可得解.
1 8 r
【详解】 1+ x 4 的展开式通项为T =Crx 4r+1 8 ，r= 0,1,2, ,8，
当 r= 0,4,8时，T1,T5,T9为有理项，故m= 3.
故选：C.
·1·
4. (22- 23高二下·河南郑州·阶段练习)某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮 10次，每罚进一球记
5分，不进记-1分，已知该同学的罚球命中率为 60%，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望
为 ( )
A. 30 B. 36 C. 20 D. 26
【答案】D
【分析】根据二项分布数学期望公式可求得该同学罚球命中次数的数学期望，结合罚球得分的规则可计算
得到结果.
【详解】记该同学罚球命中的次数为X，则X B 10,0.6 ，∴E X = 10× 0.6= 6，
∴该同学得分的数学期望为 6× 5+ 10- 6 × -1 = 30- 4= 26.
故选：D.
5. (22- 23高二下·山东淄博·期末)某市高二年级进行了一次教学质量检测，考生共 2万人，经统计分析数学
成绩服从正态分布，其平均分为 85分，60分以下的人数约 15%，则数学成绩在 85分至 110分之间的考生
人数约为 ( )
A. 3000 B. 5000 C. 7000 D. 14000
【答案】C
【分析】根据考生的数学成绩服从正态分布，数学成绩平均分为 85分，得到正态曲线关于 x= 85 对称，根
据 60分以下的人数约 15%，高于 110分的所占的比例也是 15%，根据正态曲线的对称性，即可得到结果.
【详解】∵考生的数学成绩服从正态分布，数学成绩平均分为 85分，
∴正态曲线关于 x= 85对称，
∵ 60分以下的人数约 15%，
∴高于 110分的所占的比例也是 15%，
∴数学成绩在 85分至 110分之间的考生人数所占百分比约 50%-15%= 35%，
所以数学成绩在 85分至 110分之间的考生人数约为 20000× 35%= 7000(人).
故选：C
6. (22- 23高二下·山东菏泽·期末)有两箱零件，第一箱内有 10件，其中有 2件次品；第二箱内有 20件，其中
有 3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取 1个零件，则取出的零件是次品的概率是
( )
A. 7 B. 1 C. 7 D. 7
90 6 40 20
【答案】C
【分析】根据全概率公式计算可得.
【详解】设事件Ai表示从第 i i= 1,2 箱中取一个零件，事件B表示取出的零件是次品，
则P B =P A1B +P A2B =P A1 P(B|A1) +P A2 P(B|A2)
= 1 × 2 + 1 × 3 = 7 ，
2 10 2 20 40
7
即取出的零件是次品的概率为 .
40
故选：C.
7. (22- 23高二下·山东淄博·期末)某医院要安排 5名医生到A、B、C三个社区参加义诊，每位医生必须去
一个社区，每个社区至少有一名医生．则不同的安排方法数为 ( )
A. 150 B. 210 C. 240 D. 180
·2·
【答案】A
【分析】先将 5名医生分为三组，确定每组的人数，然后将这三组医生分配到A、B、C三个社区，利用分步
计数原理可得结果.
【详解】将 5名医生分为三组，每组人数分别为 2、2、1或 3、1、1，
再将这三组医生分配到A、B、C三个社区，
C2C2
由分步计数原理可知，不同的安排方法种数为 5 3 +C35 A33= 15+ 10 × 6= 150.A22
故选：A.
8. (22- 23高二下·江苏泰州·期末)在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概
率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若 ξ是只取非负值的随机变量，
E ξ
则对 a> 0，都有P ξ≥ a ≤ .某市去年的人均年收入为 10万元，记“从该市任意选取 3名市民，
a
则恰有 1名市民去年的年收入超过 100万元”为事件A，其概率为P A .则P A 的最大值为 ( )
A. 27 B. 243 C. 4 D. 4
1000 1000 27 9
【答案】B
【分析】记该市去年人均收入为X万元，从该市任意选取 3名市民，年收入超过 100万元的人数为Y,设从
1
该市任选 1名市民，年收入超过 100万元的概率为 p，根据马尔可夫不等式可得 0≤ p≤ ，再根据二项分
10
布求得P A = 3p 1- p 2= 3p3-6p2+3p，令 f(p) = 3p3-6p2+3p，求导判断单调性即可求得最大值.
【详解】记该市去年人均收入为X万元，从该市任意选取 3名市民，年收入超过 100万元的人数为Y.
设从该市任选 1名市民，年收入超过 100万元的概率为 p，
E X
则根据马尔可夫不等式可得 p= ≥ ≤ P X 100 = 10 = 1 ，
100 100 10
∴ 0≤ p≤ 1 ，
10
因为Y~B(3,p)，
所以P A =P Y= 1 =C13p 1- p 2= 3p 1- p 2= 3p3-6p2+3p，
令 f(p) = 3p3-6p2+3p，则 f (p) = 9p2-12p+ 3= 3(3p- 1) (p- 1)，
∵ 0≤ p≤ 1 ,∴ 3p- 1< 0,p- 1< 0，即 f (p)> 0，
10
∴ f(p) 0, 1在 上单调递增.10
2
∴ f(p) 1max= f = 3× 1 × 1- 1 = 243 ，即P(A) = 243 .10 10 10 1000 max 1000
故选：B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. (22- 23高二下·湖北武汉·期末)下列说法正确的是 ( )
A. 将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B. 线性回归直线 y= bx+ a 一定过样本点中心 x,y
C. 线性相关系数 r越大，两个变量的线性相关性越强
D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
·3·
【答案】ABD
【分析】借助方差的性质、样本点中心的性质、线性相关系数的性质与残差的性质逐项判断即可得.
【详解】对A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，
新数据的方差与原数据方差相同，故A正确；
B a = y
- bx
对 ：由 ，故线性回归直线 y= bx+ a一定过样本点中心 x,y ，故B正确；
对C：线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误；
对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，
其模型的拟合效果越好，故D正确.
故选：ABD.
5
10. (22- 23高二下· 1江苏泰州·期末)关于二项式 2x2- 的展开式，下列说法正确的有 ( )x
A. 含 x5的项的系数为-80 B. 二项式系数和为 32
C. 常数项为 10 D. 只有第 3项的二项式系数最大
【答案】BC
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后逐个分析判断即可.
5
【详解】二项式 2x2- 1 的展开式的通项公式为x
r 5
T r 2 5-r 1 r 5-r
10- r
r+1=C5 2x - =C5 2 -1 rx 2 ，x
对于A，令 10- 5 r= 5，得 r= 2，
2
所以含 x5的项的系数为C25 23 -1 2= 80，所以A错误，
对于B，二项式系数和为 25= 32，所以B正确，
5
对于C，令 10- r= 0，得 r= 4，
2
所以常数项为C45 2 -1 4= 10，所以C正确，
1 5
对于D，因为二项式 2x2- 的展开式共有 6项，x
所以第 3项和第 4项的二项式系数最大，即C25=C35= 10，所以D错误，
故选：BC
11. (22- 23高二下· 1 1山东淄博·期末)事件A，B的概率分别为：P A = ，P B = ，则 ( )
2 3
A. 若A，B为互斥事件，P A+B 5 = B. P A+B > 5
6 6
C. A 1若 ，B相互独立，P AB = D. 1若P B A = ，则A，B相互独立3 3
【答案】AD
【分析】利用互斥事件的定义及性质判断A选项；利用和事件的关系判断B选项；利用相互独立事件的定
义及性质判断C选项；利用条件概率公式，求解事件A与B的积事件，根据独立事件关系确定A、B的独
立性可判断D.
【详解】选项A：若A，B为互斥事件，则P(AB) = 0，
1 1
所以P A+B =P A +P B -P(AB) = + -P(AB) = 5 ，故A正确；
2 3 6
1 1 5
选项B：P A+B =P A +P B -P(AB) = + -P(AB)≤ ，故B错误；
2 3 6
·4·
选项C：若A，B相互独立，
所以P AB = 1-P AB = 1-P 1 1 5 A P B = 1- × = ，故C错误；2 3 6
P(AB)
选项D：因为P 1 B A = = ，
P(A) 3
所以P(AB) =P B|A P(A) = 1 × 1 = 1 =P(A) P(B)，则A，B相互独立，故D正确；
3 2 6
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：通常判断两个事件是否相互独立，常用以下两种方法：
1、事件独立性的定义：如果事件A和事件B相互不影响，则称事件A和事件B是相互独立的；
2、乘法原理：如果事件A和事件B是相互独立，则它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.
第二部分 (非选择题 共 92分)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. (22- 23高二下·辽宁·阶段练习)某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩
X~N 90,δ2 ，且P X< 60 = 0.1，规定这次测试的数学成绩高于 120分为优秀．若该校有 1200名高三学
生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是 ．
【答案】120
【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得P X> 120 = 0.1，乘以总人数即可得出答案．
【详解】由X~N 90,δ2 ，得正态分布曲线的对称轴为 x= 90，
因为P X< 60 = 0.1，所以P X> 120 = 0.1，
则数学成绩为优秀的人数是 1200× 0.1= 120，
故答案为：120．
13. (22- 23高二下·山东菏泽·期末)根据下面的数据：
x 1 2 3 4
y 31.6 52.5 72 91.9
求得 y关于 x 的回归直线方程为 y= 20x+ 12，则这组数据相对于所求的回归直线方程的 4个残差的方差
为 .
21
【答案】0.105/
200
【分析】分别计算出四个数据的估计值，即可求得残差，继而求得残差的平均数，根据方差公式即可求得答
案.
【详解】根据 y= 20x+ 12，分别将 x= 1,2,3,4 代入求得 y分别为：32,52,72,92，
则 4个残差为-0.4,0.5,0,-0.1，残差的平均数为 0，
s2= 1故残差的方差为 [(-0.4- 0)2+ (0.5- 0)2+ (0- 0)2+ (-0.1- 0)2]= 0.105，
4
故答案为：0.105
ex , (x> 0)14. (22- 23高二下·北京昌平·期中)已知函数 f x = ，若直线 y= kx+ 1与曲线 y= f(x)有且-x, x≤ 0
只有一个公共点，则实数 k的取值范围是
【答案】-1< k≤ 1
【分析】找到直线 y= kx+ 1与 y= ex相切时的斜率 k= 1以及 y= kx+ 1与 y=-x平行时的斜率 k=-1，
通过转动直线即可得到 k的范围.
·5·
【详解】y= kx+ 1过定点 (0,1)，
f x = ex求导有 f x = ex，f 0 = 1，且 f 0 = 1，
y= ex在 (0,1)处的切线斜率为 1，
要满足 y= kx+ 1与曲线 f(x)有且仅有一个公共点，
当直线 y= kx+ 1与 y=-x平行时，此时 k=-1，
转动直线 y= kx+ 1可知-1< k≤ 1.
故答案为：-1< k≤ 1.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
15. (22- 23高二下·山东菏泽·期末)已知随机变量X的分布列为：
X 5 6 7 8 9
P 0.1 a 0.2 b 0.3
(1)若E 38 X = ，求 a、b的值；
5
(2)记事件A：X≥ 7 1；事件B：X为偶数.已知P B A = ，求 a，b的值.
6
【答案】(1)a= 0.1，b= 0.3；
(2)a= 0.3,b= 0.1.
38
【分析】(1)由随机变量分布列的性质和E X = 联立方程，解出即可；
5
(2)由事件A：X≥ 7,可得P A = 0.5+ b，又事件B：X为偶数,得P AB =P X= 8 = b，再根据条件
概率可求得 a,b的值.
【详解】(1)由随机变量分布列的性质,
有 0.1+ a+ 0.2+ b+ 0.3= 1, 得 a+ b= 0.4，即 b= 0.4- a,
又E X = 5× 0.1+ 6× a+ 7× 0.2+ 8× b+ 9× 0.3
= 0.5+ 6a+ 1.4+ 8 0.4- a + 2.7= 7.8+ 2b= 38 ，
5
解得 b= 0.3,a= 0.1.
(2)由事件A：X≥ 7,
得P A =P X= 7 +P X= 8 +P X= 9 = 0.2+ b+ 0.3= 0.5+ b，
又事件B：X为偶数,得P AB =P X= 8 = b，
P AB b 1
所以P B A = = + = ,解得 b= 0.1.P A 0.5 b 6
由 (1)知 a+ b= 0.4,所以 a= 0.3.
所以 a= 0.3,b= 0.1.
16. (2022·江苏南京·南京市宁海中学校考模拟预测)某公司计划购买 2台机器，该种机器使用三年后即被淘
·6·
汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 100元，在机器使用期间，
如果备件不足再购买，则每个 300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理
了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100台机器更换的易损零件数
的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2台机器三年内共需更换的易损零件数，n
表示购买 2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在n= 19与n= 20之中选其一，应选用哪个更合理？
【答案】(1)分布列见解析；
(2)选n= 19更合理，理由见解析.
【分析】(1)由柱状图，易得X的可能取值为 16，17，18，19，20，21，22，分别求得其相应概率，列出分布列；
(2)购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，令一部分为备件不足时额外购买的费用，结
合 (1)分别求出 n= 19、n= 20时费用的期望即可下结论.
【详解】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，
一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，
X的可能取值为 16，17，18，19，20，21，22，
从而P(X= 16) = 0.2× 0.2= 0.04；
P(X= 17) = 2× 0.2× 0.4= 0.16；
P(X= 18) = 2× 0.2× 0.2+ 0.4× 0.4= 0.24；
P(X= 19) = 2× 0.2× 0.2+ 2× 0.4× 0.2= 0.24；
P(X= 20) = 2× 0.2× 0.4+ 0.2× 0.2= 0.2；
P(X= 21) = 2× 0.2× 0.2= 0.08；
P(X= 22) = 0.2× 0.2= 0.04；
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)购买零件所需费用含两部分：
一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当n= 19时，费用的期望为：
19× 100+ 300× 0.2+ 600× 0.08+ 900× 0.04= 2044元，
当n= 20时，费用的期望为：
20× 100+ 300× 0.08+ 600× 0.04= 2048元，
因为 2044< 2048，所以选n= 19更适合.
17. (22- 23高二下·山东菏泽·期末)电商的兴起，促进了我市经济的发展.已知某电商平台对其牌下一家专营
店在 2022年 3月至 7月的营业收入 y(单位：万元)进行统计，得到以下数据：
·7·
月份x 3 4 5 6 7
营业收入 y 10 12 11 12 20
(1)依据表中给出的数据，用样本相关系数 r说明营业收入 y与月份 x的相关程度；
(2)试用最小二乘法求出营业收入 y与月份 x的一元线性回归方程，并预测当 x= 8时该专营店的营业收
入.
n n n
(xi-x)(yi-y)
(xi-x)(yi-y
) xiyi-nx y
r= i=1 ，b= i=1 = i=1n n n n
(x-x )2 (y-y )2 (x-x
)2
i i i
x2i -nx
2
i=1 i=1 i=1 i=1
a = y - bx ， 10 ≈ 3.162.以上各式仅供参考)
【答案】(1)r≈ 0.79，营业收入 y与月份 x的相关程度很强
(2) 线性回归方程为 y= 2x + 3，当 x= 8时该专营店的营业收入为 19万元
5 5 5
【分析】(1)计算出 x、y， xi-x y i-y 、 xi-x 2、 y-y 2i ，代入 r可得答案；
i=1 i=1 i=1
(2)用最小二乘法求出营业收入 y与月份 x的一元线性回归方程，并代入 x= 8可得答案.
【详解】(1)x = 3+ 4+ 5+ 6+ 7 = 5 y = 10+ 12+ 11+ 12+ 20， = 13，
5 5
5
(xi-x )(yi-y )= 3- 5 10- 13 + 4- 5 12- 13 + 5- 5 11- 13
i=1
+ 6- 5 12- 13 + 7- 5 20- 13 = 20，
5
xi-x 2= 3- 5 2+ 4- 5 2+ 5- 5 2+ 6- 5 2+ 7- 5 2= 10，
i=1
5
yi-y 2= 10- 13 2+ 12- 13 2+ 11- 13 2+ 12- 13 2+ 20- 13 2= 64，
i=1
5
x i-x yi-y
所以 r= i=1 = 20 ≈ 0.79，
5 5 10× 64
xi-x 2 yi-y 2
i=1 i=1
因为 r ≈ 0.79∈ 0.75,1 ，说明营业收入 y与月份 x的相关程度很强，可用线性回归模型拟合 y与 x的关
系；
5
x-x i yi-y
(2) (1) 20 由 ，b= i=1 = = 2，a= y- bx= 13- 2× 5= 3，
5
x-x 2
10
i
i=1
所以 y x 关于 的线性回归方程为 y= 2x+ 3，当 x= 8时该专营店的营业收入为 y= 2× 8+ 3= 19万元.
18. (22- 23高二下·江苏泰州·期末)某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市
随机地抽取男性和女性各 100人进行调查统计，得到如下 2× 2列联表：
关注 不关注 合计
男性 50 50 100
女性 30 70 100
合计 80 120 200
·8·
(1)能否有 99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？
(2)有 3 1位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为 ，且相互独立.设这 3位市
3
民参观新能源汽车展区的人数为 ξ，求 ξ的概率分布和数学期望.
n ad- bc 2
附：χ2=
a+ b c+ d a+ c b+ d
P χ2≥ x0 0.050 0.010 0.001
x0 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)有
(2)分布列见解析，数学期望为 1
2
【分析】(1)根据表中的数据利用公式 χ2
n ad- bc= 求解 χ2，再根据临界值表进行判
a+ b c+ d a+ c b+ d
断即可，
(2) 1由题意知 ξ的可能取值为：0，1，2，3，而 ξ B 3, ，所以利用二项分布的概率公式求出各自对应的3
概率，从而可求得 ξ的概率分布和数学期望.
【详解】(1)提出假设H0：男性和女性对此次大型车展的关注程度没有明显差异.
2 200 50× 70- 50× 30=
2
25
由列联表中的数据可得：χ = ≈ 8.333，
100× 100× 80× 120 3
因为当H0成立时，P χ
2≥ 6.635 ≈ 0.010，这里的 χ2≈ 8.000> 6.635，
所以我们有 99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差异.
(2) ξ 0 1 2 3. ξ B 3, 1由题意知 的可能取值为：，，， 因为 ，3
k 3-k
所以P ξ= k =Ck 1 23 ，其中 k= 0，1，2，3，3 3
故 ξ的概率分布表为：
ξ 0 1 2 3
8 4
P 2
1
27 9 9 27
所以E ξ = 0× 8 + 1× 4 + 2× 2 + 3× 1 = 1，
27 9 9 27
所以随机变量 ξ的数学期望为 1.
19. (22- 23高二下·山东淄博·期末)已知函数 f x = 2x3-3ax2+1 a∈R ．
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)若对 x∈ 0,+∞ ，f x ≥ 0恒成立，求 a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2) -∞,1
【分析】(1)首先求函数的导数，讨论导数零点的大小关系，从而判断函数的单调性；
(2) 2 1参变分离可得 a≤ x+ 对 x∈ 0,+∞ F x = 2 恒成立，令 x+ 1 ，x∈ 0,+∞ ，利用导数
3 3x2
3 3x2
求出函数的最小值，即可得解.
【详解】(1)f x = 2x3-3ax2+1定义域为R，f x = 6x2-6ax= 6x x- a ，
当 a> 0时，令 f x > 0，得 x> a或 x< 0，令 f x < 0，得 0< x< a，
·9·
函数的单调递增区间是 -∞,0 和 a,+∞ ，单调递减区间是 0,a ；
当 a< 0时，令 f x > 0，得 x> 0或 x< a，令 f x < 0，得 a< x< 0，
函数的单调递增区间是 -∞,a 和 0,+∞ ，单调递减区间是 a,0 ；
当 a= 0时，f x = 6x2≥ 0恒成立，函数在 -∞,+∞ 单调递增.
综上可知，当 a> 0时，函数的单调递增区间是 -∞,0 和 a,+∞ ，单调递减区间是 0,a ；
当 a< 0时，函数的单调递增区间是 -∞,a 和 0,+∞ ，单调递减区间是 a,0 ；
当 a= 0时，函数的单调递增区间是 -∞,+∞ ，无减区间.
(2)若函数 f x = 2x3-3ax2+1≥ 0，对 x∈ 0,+∞ 恒成立，
a≤ 2即 x+ 1 对 x∈ 0,+∞ 恒成立，
3 3x2
2 x32 1 -1
令F x = x+ ，x∈
0,+∞ 2 2 ，则F 2 x = - = ，3 3x 3 3x3 3x3
当 0< x< 1时F x < 0，当 x> 1时F x > 0，
所以F x 在区间 0,1 上单调递减，在区间 1,+∞ 上单调递增，
所以F x 在 x= 1处取得极小值即最小值F x min=F 1 = 1，所以 a≤ 1，
即实数 a的取值范围为 -∞,1 .
·10·
