第七章 平行线的证明单元测试卷（含答案）

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2025北师版数学八年级上学期
第七章　平行线的证明
时间 60分钟　满分 100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2022·陕西安康期末)在△ABC中,若∠A=40°,∠B=100°,则∠C= (　　)
A.70° B.60° C.50° D.40°
2.(2023·湖北武汉期中)如图,工人师傅移动角尺在工件上画出直线CD∥EF,其中的道理是 (　　)
A.同位角相等,两直线平行 B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行 D.以上结论都不正确
　 　
第2题 第4题 第5题
3.(2023·广东佛山三水区期末)下列命题为真命题的是 (　　)
A.两个锐角之和一定是钝角
B.两直线平行,同旁内角度数相等
C.同角的补角相等
D.相等的角是对顶角
4.(2022·山东威海中考)如图,在方格纸中,点P,Q,M的坐标分别记为(0,2),(3,0),(1,4).若MN∥PQ,则点N的坐标可能是(　　)
A.(2,3) B.(3,3) C.(4,2) D.(5,1)
5.(2023·安徽安庆期中改编)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.若∠A=30°,∠BDC=50°,则∠BDE的度数是 (　　)
A.10° B.20° C.30° D.50°
6.(2023·湖南常德期末)如图,∠A=70°,∠B=40°,∠C=20°,则∠BOC= (　　)
A.130° B.120° C.110° D.100°
　　
第6题 第7题
7.如图,AB∥CD∥EF,下列各式的计算结果等于180°的是 (　　)
A.∠1+∠2-∠3 B.∠1+∠2+∠3
C.∠1-∠2+∠3 D.∠2+∠3-∠1
8.如图,将一个三角板DEF放置在锐角三角形ABC上,使得该三角板的两条直角边DE,DF恰好分别经过点B,C.若∠A=50°,则∠ABD+∠ACD= (　　)
A.60° B.50° C.40° D.30°　　
　
第8题 第9题
9.(2023·山西太原现代双语学校月考)如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架,其主要作用是动力传输.如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图,已知AB∥CD,CG∥EF,∠BAG=150°,∠AGC=80°,则∠DEF的度数为 (　　)
A.110° B.120° C.130° D.140°
10.(2022·辽宁沈阳于洪区期末)定理:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.已知:如图,∠ACD是△ABC的外角.求证:∠ACD=∠A+∠B.
证法1:如图,∵∠A=68°,∠B=65°,且∠ACD=133°(量角器测量所得), 又∵133°=68°+65°(计算所得), ∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换).
证法2:如图,∵∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理), 又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角定义), ∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB(等量代换). ∴∠ACD=∠A+∠B(等式性质).
下列说法正确的是 (　　)
A.证法1用特殊到一般法证明了该定理
B.证法1只要测量够100个三角形进行验证,就能证明该定理
C.证法2还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整
D.证法2利用严谨推理证明了该定理
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.把命题“同角的余角相等”写成“如果……,那么……”的形式
为　　　　　　　　　　　　　　.
12.如图,已知AB∥EF,BC∥DE,若∠B=70°,则∠E=　　　　.
　　　
第12题 第13题
13.生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关.如图,从光源P点照射到抛物线上的光线PA,PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出,若∠CAP=
α,∠DBP=β,则∠APB的度数为　　　　.
14.(2022·北京一六一中分校期中)已知一张三角形纸片ABC(如图甲),其中∠B
=∠C.将纸片沿过点B的直线折叠,使点C落到AB边上的E点处,折痕为BD(如图乙).再将纸片沿过点E的直线折叠,点A恰好与点D重合,折痕为EF(如图丙).则∠DEB=　　　　∠A,∠ABC=　　　　°.
　　　　　　 　 　图甲　　　　 图乙　　　　图丙
15.(2022·吉林长春期末)若△ABC中刚好有∠B=2∠C,则称此三角形为“可爱三角形”,并且∠A称作“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角形”,那么这个三角形的“可爱角”的度数应该是　　　　.
选择题、填空题答题区
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11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题(共6小题,共55分)
16.(8分)判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举出反例;若是真命题,请说明理由.
(1)如果a2>b2,那么a>b;
(2)三边长分别为a=m-n(m>n>0),b=2,c=m+n的三角形是直角三角形.
17.(8分)如图,∠ADE+∠BCF=180°,BE平分∠ABC,∠ABC=2∠E.
(1)AD与BC平行吗 请说明理由;
(2)试判断AB与EF的位置关系,并说明理由.
18.(8分)(2022·江苏无锡滨湖区期中改编)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,点E是CA延长线上的一点,过点E作EG⊥BC于点G,交AB于点F,已知∠E=∠EFA.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若∠B=48°,求∠C的度数.
19.(8分)(2023·河南郑州八中期末)“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题.今天人们已经知道,仅用圆规和直尺是不可能作出的.有人曾利用如图所示的图形进行探索,其中四边形ABCD是长方形,F是DA延长线上一点,G是CF上一点,且∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F.请写出∠ECB和∠ACB的数量关系,并说明理由.
20.(11分)已知:如图,点B,C在线段AD的异侧,点E,F分别是线段AB,CD上的点,∠AEG=∠AGE,∠C=∠DGC.
(1)求证:AB∥CD;
(2)若∠AGE+∠AHF=180°,求证:∠B=∠C;
(3)在(2)的条件下,若∠BFC=4∠C,求∠D的度数.
21.(12分)(2022·江苏连云港海州区期末)某数学兴趣小组对“三角形内(外)角平分线形成的夹角与第三个内角之间的数量关系”进行了探究.
(1)如图(1),在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,若∠A=66°,则∠BPC=　　　　;
(2)如图(2),△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E,若∠A=α,则∠E=　　　　(用含α的式子表示);
(3)如图(3),△ABC的两外角∠CBM与∠BCN的平分线交于点Q,请写出∠BQC与∠A之间的数量关系,并说明理由.
　　　　　　　　 图(1)　　　　　图(2)　　 　　图(3)
第七章　平行线的证明
选择题、填空题答案速查
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D A C C B A A C C D
11.如果两个角是同角的余角,那么这两个角相等 12.110° 13.α+β 14.2　72 15.45°或72°
16.【参考答案】(1)“如果a2>b2,那么a>b”是假命题. (2分)
如a=-2,b=1,满足a2>b2,但不满足a>b. (4分)
(2)“三边长分别为a=m-n(m>n>0),b=2,c=m+n的三角形是直角三角形”是真命题. (6分)
理由:因为(m+n)2=(m-n)2+(2)2,即c2=a2+b2,所以该三角形是直角三角形. (8分)
17.【参考答案】(1)AD∥BC. (2分)
理由:∵∠ADE+∠BCF=180°,∠ADE+∠ADF=180°,
∴∠ADF=∠BCF,∴AD∥BC. (4分)
(2)AB∥EF. (6分)
理由:∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABE.
∵∠ABC=2∠E,∴∠ABE=∠E,∴AB∥EF. (8分)
18.【参考答案】(1)证明:∵AD⊥BC,EG⊥BC,
∴∠EGC=∠ADC=90°,∴AD∥EG,
∴∠E=∠CAD,∠DAB=∠EFA. (2分)
∵∠E=∠EFA,∴∠CAD=∠DAB,
∴AD平分∠BAC. (4分)
(2)∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°.
∵∠B=48°,
∴∠DAB=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-48°=42°. (6分)
∵∠CAD=∠DAB,∴∠CAD=42°,
∴∠C=180°-∠ADC-∠CAD=180°-90°-42°=48°. (8分)
19.【参考答案】∠ACB=3∠ECB. (3分)
理由如下:∵∠GAF=∠F,∴∠AGC=∠F+∠GAF=2∠F.
∵∠ACG=∠AGC,∴∠ACG=2∠F. (5分)
∵四边形ABCD是长方形,
∴AD∥BC,∴∠ECB=∠F,∴∠ACB=∠ACG+∠ECB=3∠F, (7分)
∴∠ACB=3∠ECB. (8分)
20.【参考答案】(1)证明:∵∠AEG=∠AGE,∠C=∠DGC,∠AGE=∠DGC,
∴∠AEG=∠C,∴AB∥CD. (3分)
(2)证明:∵∠AGE+∠EGH=180°,∠AGE+∠AHF=180°,
∴∠EGH=∠AHF,∴EC∥BF,∴∠B=∠AEG. (5分)
∵AB∥CD,∴∠C=∠AEG,∴∠B=∠C. (7分)
(3)∵BF∥EC,∴∠C+∠BFC=180°.
∵∠BFC=4∠C,∴∠C+4∠C=180°,解得∠C=36°. (9分)
∵∠C=∠DGC,∴∠DGC=36°,∴∠D=180°-∠C-∠DGC=108°. (11分)
21.【参考答案】(1)123° (3分)
解法提示:∵BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-(180°-∠A)
=90°+∠A.
∵∠A=66°,∴∠BPC=90°+×66°=123°.
(2) (6分)
解法提示:∵CE,BE分别是∠ACB,∠ABD的平分线,
∴∠BCE=∠ACB,∠DBE=∠ABD.
又∠ABD是△ABC的外角,∴∠ABD=α+∠ACB,
∴∠DBE=(α+∠ACB)=α+∠BCE.
∵∠DBE是△BEC的外角,∴∠DBE=∠E+∠BCE,
∴∠E+∠BCE=α+∠BCE,∴∠E=.
(3)∠BQC=90°-∠A.理由如下:
由题意得∠QBC=(∠A+∠ACB),∠QCB=(∠A+∠ABC),
∴∠BQC=180°-∠QBC-∠QCB
=180°-(∠A+∠ACB)-(∠A+∠ABC)
=180°-∠A-(∠A+∠ABC+∠ACB)
=180°-∠A-90°
=90°-∠A,
∴∠BQC=90°-∠A. (12分)
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