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北师大版2023-2024七年下数学期末测试卷（二）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用同底数幂乘法法则，积的乘方法则，平方差公式将各式计算后进行判断即可．
【详解】A.，该选项不符合题意；
B.，该选项不符合题意；
C.，该选项不符合题意；
D.，该选项符合题意．
故选：D ．
2．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义分析判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A、 不是轴对称图形，不符合题题意，
B、不是轴对称图形，不符合题题意，
C、不是轴对称图形，不符合题题意，
D、是轴对称图形，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
3．据中国教育报2023年6月12日公布的数据显示，今年全国高考报名人数129万人，比去年增加98万人，将数据“98万”用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】98万＝．
故选：C
4．下列说法正确的是（ ）
A．小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件
B．任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”是必然事件
C．“清明时节雨纷纷”是必然事件
D．若a是有理数，则“”是不可能事件
【答案】A
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件，故本选项正确，符合题意；
B、任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
C、“清明时节雨纷纷”是是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
D、若a是有理数，则“”是必然事件，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
5．如图，已知和上一点C，用尺规作图“过点作”的实质就是作，其作图依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本作图得，，然后根据全等三角形的判定及平行线的判定，从而可判断“过点作”的实质就是作．
【详解】解：由作法得，，
所以根据“”可判断，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定，平行线的判定，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角）是解题关键．
6．如图为长方形纸带，，点E、F分别是直线、上一点，为锐角，且不等于，将纸带沿折叠如图①，再由折叠如图②，若平分交直线于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先由折叠的性质得到，然后由平行线的性质得到，，由折叠得，最后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】∵
∴由折叠得，
∴
∵
∴，
∴
∴由折叠得，
∵平分
∴
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的概念等知识，解题的关键是正确分析题目中角度之间的关系．
7．a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|－|a－b－c|－|a－b+c|－|a+b－c|，结果是（ ）
A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b2c
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系化简绝对值.
【详解】|a+b+c| |a b c| |a b+c| |a+b c|=a+b+c+a b c a+b c a b+c=0.
故选A.
【点睛】本题考查了绝对值及三角形三边关系的知识点.根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可．
8．如图，点P是外一点，点D，E分别是，上的点，点P关于的对称点落在线段的延长线上，点P关于的对称点恰巧落在上．若，，，则线段的长为（ ）
A．4 B．5 C．5．5 D．6
【答案】D
【分析】利用轴对称图形的性质得出进而利用得出的长，即可得出的长．
【详解】解：∵点P关于的对称点恰好落在线段上，
P点关于的对称点落在的延长线上，
则线段的长为：
故选：D．
【点睛】此题考查了轴对称图形的性质，得出是解题的关键．
9．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图，已知点为的中点，连结，．将乙纸片放到甲的内部得到图．已知甲、乙两个正方形边长之和为，图的阴影部分面积为，则图的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意分别得到，，两式相加可得，在图1中利用两正方形面积之和减去两个三角形面积之和，代入计算可得阴影部分面积．
【详解】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，
则AD=x，EF=y，AE=x+y=6，
∴，则，
∵H是AE中点，
∴AH=EH=3，
图2的阴影部分面积=，
∴，
∴，
∴图1中阴影部分面积=
=
=
=
=10，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是利用完全平方公式，合理分析几何图形．
10．如图，在中，的平分线交于点，过点分别作，，垂足分别为，，连接．有下列四个结论：①；②垂直平分；③；④．其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【分析】在中，是的平分线，，，可证，得到，继而证得①正确；又由线段垂直平分线的判定，可得②正确；然后利用三角形的面积公式求解即可得③正确．
【详解】解：是的平分线，，，
在与中
故①正确；
由①可知，，
垂直平分
故②正确；
，
故③正确；
不一定等于
不一定正确
故④不一定正确；
综上①②③正确，
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，中垂线的判定，三角形面积公式等；利用证明三角形全等是解题关键．
二、填空题
11．放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家．小刚离家的距离和放学后的时间之间的关系如图所示，给出下列结论：①小刚边走边聊阶段的行走速度是；②小刚家离学校的距离是；③小刚回到家时已放学；④小刚从学校回到家的平均速度是.其中正确的是 (把你认为正确答案的序号都填上)
【答案】
【分析】由0≤t≤8所对应的图象表示小刚边走边聊阶段，根据速度=路程÷时间可判断①；由t=0时s=1000的实际意义可判断②；根据t=10时s=0可判断③；总路程除以所用总时间即可判断④．
【详解】①小刚边走边聊阶段的行走速度是=50（m/min），故①错误；
②当t=0时，s=1000，即小刚家离学校的距离是1000m，故②正确；
③当s=0时，t=10，即小刚回到家时已放学10min，故③正确；
④小刚从学校回到家的平均速度是=100（m/min），故④正确；
∴正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】此题考查一次函数的图象解决实际问题，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键．
12．如图，在中，，直线垂直平分，点为的中点，点为线段上一动点，若，等腰面积为12，则的周长的最小值为 ．
【答案】8
【分析】连接，利用垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的和的最小值为的长，根据的面积计算出的长，从而求出的周长的最小值．
【详解】解：连接，
，
直线垂直平分，
，
点为的中点，，，
，
的周长，
当在上时，的周长的最小，
，
，
的周长的最小值为：，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短是解题的关键．
13．在一个暗箱里放有x个除颜色外其他完全相同的球，这x个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以推算出x大约是 ．
【答案】12
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得，×100%＝25%，
解得，x＝12个．
估计x大约有12个．
故答案为：12．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
14．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了几何概率的求法．根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值，即可求解．
【详解】解：设小正方形的边长为，则总面积为，其中阴影部分的面积为，
∴飞镖落在阴影部分的概率是．
故答案为：．
15．如图，已知∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，其中点D是边BC所在射线上一动点（点D不与B，C重合），连接AC，EC，则∠DCE的度数为 ．
【答案】135°或45°
【分析】①当点D在线段BC上时，②当点D在线段BC的延长线上时，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，根据全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：①如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，
∴∠EFD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EFD=∠ABC，
∵∠ADE=90°，
∴，，
∴，
在△ABD和△DFE中，
，
∴△ABD≌△DFE（AAS），
∴AB=DF，BD=EF，
∵AB=BC，
∴BC=DF，BC-DC=DF-DC，
即BD=CF，
∴EF=CF，
∵∠EFC=90°，
∴∠ECF=∠CEF=45°，
∴∠DCE=180°-45°=135°；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，
同理可证△ABD≌△DFE（AAS），
∴AB=DF，BD=EF，
∵AB=BC，
∴BD=CF，
∴CF=EF，
∴∠ECF=45°，
即∠DCE=45°；
综上所述，∠DCE的度数为135°或45°．
故答案为：135°或45°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，余角的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题
16．先化简，再求值
（1）(a＋1)2 － a(a＋3),其中a＝2
（2） [（x﹣3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y）]÷（﹣3y），其中x=﹣3，y=1．
（3）其中
（4）其中
【答案】（1）-a+1，-1；（2）2x-6y，-12；（3）-5ab，2；（4）a2-4，320．
【分析】（1）原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
（2）先化简（算乘方和乘法，再合并同类项），最后代入求出即可．
（3）先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
（4）本题把代数式去括号，合并同类项，从而将整式化为最简形式，然后把a的值代入即可．
【详解】（1）原式=a2+2a+1-a2-3a
=-a+1，
当a=2时，原式=-2+1=-1．
（2）[（x-3y）2-（x+3y）（x-3y）]÷（-3y）
=[x2-6xy+9y2-（x2-9y2）]÷（-3y）
=[x2-6xy+9y2-x2+9y2]÷（-3y）
=（-6xy+18y2）÷（-3y）
=2x-6y，
当x=-3，y=1时，
原式=2×（-3）-6×1
=-12．
（3）原式=[a2b2-4-6a2b2+4]÷（ab）
=（-5a2b2）÷ab
=-5ab，
当a=10，b=- 时，原式=（-5）×10×（-）=2．
（4）原式=a3+a2+a-2a2-2a-2+2a2-a3-2+a
=a2-4，
当a=18时，原式=182+4=320．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，多项式乘以多项式法则，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解题的关键．
17．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
(1)通过以上实验，摸到红球的概率估计为____（精确到0.1） ，盒子里红球的数量为____个．
(2)若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则___．
(3)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求的值．
【答案】(1)0.3，6
(2)6
(3)1
【分析】（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3可得，用球的总数乘以红球的概率，即可；
（2）根据题意可得需要拿出所有的红球，即可；
（3）根据题意可得拿掉x人红球，加入x个黑球后，则红球（6-x），再由概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.3，
20×0.3=6；
故答案为：0.3，6
（2）解：因为“摸出黑球”为必然事件，
∴袋子只有黑球，
∴需要拿出所有的红球，即x=6；
故答案为：6
（3）解：由（1）知红球6个，黑球14个，
拿掉x个红球，加入x个黑球后，则红球（6-x），依题意得：
，
解得x=1，
故红球取出1个．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应概率，还涉及了必然事件．
18．如图，在正方形网格图中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上．
(1)求的面积．
(2)在图中作出关于直线的对称图形．
(3)利用网格图，在上找一点P，使得的距离最短．（只需保留作图痕迹，不必写作法）
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，涉及到最短路径的问题．
（1）根据割补法进行计算，即可解答；
（2）根据轴对称的性质，即可得到关于直线的对称图形；
（3）根据轴对称的性质和最短路径问题，即可得到点的位置．
【详解】（1）解：的面积为；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，连接，交于点，则点即为所求．
19．综合实践：
某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：
甲：如图①，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离．
乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取两点，使，接着过点作的垂线交的延长线于点，则测出的长即为的距离．
丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离．
以上三位同学所设计的方案，可行的有 ；
请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．
【答案】（1）甲、乙、丙；（2）选甲（答案不唯一），理由见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质解题；
（2）根据全等三角形的判定与性质解题,甲（SAS），乙（ASA），丙（ASA）．
【详解】（1）甲、乙、丙；
（2）选甲（答案不唯一），理由如下：
在和中，
；
选乙：
在和中，
；
选丙：在和中，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的实际应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20．乐乐发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．
下面是乐乐设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；
②作直线．所以直线就是所求作的直线．
根据乐乐设计的尺规作图过程，解决下列问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
．（_______________）（填推理的依据）
______________________________．
，
，
_______________．
．
．（_______________）（填推理的依据）
和都是等腰三角形．
(3)乐乐进一步探究：以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，直线交于点，则（_______________）（填写理由）．使用尺规作图在图中补全作图痕迹．
【答案】(1)见解析
(2)垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等，DCB，B，B，等角对等边
(3)三线合一
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用等边对等角，等角对等边证明即可；
（3）利用等腰三角形的性质证明即可．
【详解】（1）解：如图，直线CD即为所求：
（2）∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC=DB（垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等），
∴∠DCB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°-∠DCB，∠A=90°-∠B，
∴∠ACD=∠A，
∴DC=DA（等角对等边），
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
故答案为：垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等；DCB；B；B；等角对等边．
（3）如图所示：
由作图可知DE平分∠ADC，
∵DA=DC，
∴AE=EC（三线合一），
故答案为：三线合一．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km）．图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为_________km；
（2）求慢车和快车的速度；
（3）请解释图中点C的实际意义；
（4）分别写出线段所表示的y与x之间的函数关系式；
（5）在整个行驶过程中，两车何时相距25km,请求出相应的x的值．
【答案】（1）900；
（2）150,75；
（3）6小时时，快车到达乙地，此时两车相距；
（4）；
（5）
【分析】（1）直接从图上的信息可知甲、乙两地之间的距离为900；
（2）由图可知慢车12h行驶的路程为，可求出其速度，再根据前4小时两车相向而行共，求出快车速度；
（3）图中点C的实际意义是：快车到达乙地；
（4）分别根据题意得出可求出解析式，再求出点C坐标，求出解析式；
（5）根据图象可知分别求线段、线段中时x的值．
【详解】解：（1）由图可知甲乙两地之间的距离为900；
故答案为：900
（2）由图象可知，慢车行驶的路程为，所以慢车的速度为=；
由时慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为，所以，得快车的速度为
（3）图中点C的实际意义是：快车到达乙地，此时快车行驶，两车之间的距离为
（4）由图得出，设解析式为，
则解得即解析式为.
根据题意，点C的坐标为．
设线段所表示的y与x之间的函数关系式为，把代入得解得所以线段所表示的y与x之间的函数关系式为；
（5）线段中，当时，，解得；
线段中，当时，，解得.
则当或时两车相距．
【点睛】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确地列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．
22．学习新方法：把比较复杂的单项式、多项式看成一个整体，并用新字母代替（即换元），达到化繁为简的目的，这种方法称为“换元法”．请阅读以下材料，回答问题：
阅读材料（一）若，，试比较M，N的大小．
解：设，那么，．
因为，所以．
问题（1）请仿照例题比较下列两数大小：若，，则P___________Q．（填“>”或“＜”）
阅读材料（二）已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以：．
问题（2）已知实数x、y，满足，则___________；
阅读材料（三）如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
问题（3）请你直接写出三个代数式，，之间的等量关系：___________；
若x满足，求的值．
解：设，，则，，
∴
问题（4）请仿照上面的方法求解下面问题：
①已知，那么的值为___________．
②已知，用换元法求的值为___________．
③已知，如图3，正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以作正方形，则阴影部分的面积为___________．
【答案】（1）>；（2）3；（3）；（4）①4045，②51，③28
【分析】本题考查了完全平方公式以及平方差公式的综合应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）模仿题干的过程，直接运算作答即可；
（2）模仿题干的过程，直接运算作答即可；
（3）根据等面积法，即可作答．
（4）模仿上述过程，逐步解答①②③即可．
【详解】解：（1）依题意，
∴
故答案为：>；
（2）依题意，设，
则原方程变为，
整理得，，
∴，因为，所以：．
则；
（3）结合图形，运用等面积法，得
（4）①由上面过程，记
原式等于
则
运用（3）的结论，得
则
即
解得；
②整理原式得
∴
令
∴
则
则
∴的值为；
③依题意，得
∵长方形的面积是48
∴
令
∴
∴
∴
∴（舍去）
则阴影部分的面积为
23．在一次主题为“神奇的等腰直角三角板”的数学探究活动中，卓越小组做出了如下研究：
(1)小组中动手操作能力最强的小华同学用10块高度都为的小长方体黑白积木，垒了两堵与地面垂直的木墙（点在同一平面内），两堵木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点与点分别与木墙的顶端重合，小华说无需测量便可直接求出两堵木墙之间的距离，请你帮小华写出求解过程．
(2)小组中探索能力最强的小聪同学先画了一个四边形，其中，，，，接着小聪以点为直角顶点，画出的等腰直角三角板，连接，探索中发现无论以及的长度怎么变化，的面积始终不变，请直接写出的面积．
【答案】(1)，求解过程见解析
(2)的面积为
【分析】（1）由题中图形，结合“一线三垂直”模型，证明，从而由两个三角形全等的性质得到，，则；
（2）过点作交于，过点作于，如图所示，由（1）的解答过程，证得，得到，过点作于，如图所示，由平行线间的距离相等，得到，，进而利用三角形面积公式求出的面积为即可得到答案．
【详解】（1）解：10块高度都为的小长方体黑白积木，垒了两堵与地面垂直的木墙，如图所示：
，，
，，，
，，
，
在和中，
，
，，
；
（2）解：过点作交于，过点作于，如图所示：
∵，
∴，
，，
，，
，
在和中，，
，
，
，，
，
在四边形中，，
由平行线间的距离相等得到，，
过点作于，如图所示：
，
，
，即为底边上的高，
,
无论以及的长度怎么变化，的面积始终不变，的面积为．
【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握“一线三垂直”模型中全等的判定与性质、掌握平行线的判定与性质、平行线间的平行线段相等等知识是解决问题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2023-2024七年下数学期末测试卷（二）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C．D．
3．据中国教育报2023年6月12日公布的数据显示，今年全国高考报名人数129万人，比去年增加98万人，将数据“98万”用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件
B．任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”是必然事件
C．“清明时节雨纷纷”是必然事件
D．若a是有理数，则“”是不可能事件
5．如图，已知和上一点C，用尺规作图“过点作”的实质就是作，其作图依据是（ ）
A． B． C． D．
6．如图为长方形纸带，，点E、F分别是直线、上一点，为锐角，且不等于，将纸带沿折叠如图①，再由折叠如图②，若平分交直线于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|－|a－b－c|－|a－b+c|－|a+b－c|，结果是（ ）
A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b2c
8．如图，点P是外一点，点D，E分别是，上的点，点P关于的对称点落在线段的延长线上，点P关于的对称点恰巧落在上．若，，，则线段的长为（ ）
A．4 B．5 C．5．5 D．6
9．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图，已知点为的中点，连结，．将乙纸片放到甲的内部得到图．已知甲、乙两个正方形边长之和为，图的阴影部分面积为，则图的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，的平分线交于点，过点分别作，，垂足分别为，，连接．有下列四个结论：①；②垂直平分；③；④．其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题
11．放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家．小刚离家的距离和放学后的时间之间的关系如图所示，给出下列结论：①小刚边走边聊阶段的行走速度是；②小刚家离学校的距离是；③小刚回到家时已放学；④小刚从学校回到家的平均速度是.其中正确的是 (把你认为正确答案的序号都填上)
12．如图，在中，，直线垂直平分，点为的中点，点为线段上一动点，若，等腰面积为12，则的周长的最小值为 ．
13．在一个暗箱里放有x个除颜色外其他完全相同的球，这x个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以推算出x大约是 ．
14．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影部分的概率是 ．
15．如图，已知∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，其中点D是边BC所在射线上一动点（点D不与B，C重合），连接AC，EC，则∠DCE的度数为 ．
三、解答题
16．先化简，再求值
（1）(a＋1)2 － a(a＋3),其中a＝2
（2） [（x﹣3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y）]÷（﹣3y），其中x=﹣3，y=1．
（3）其中
（4）其中
17．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
(1)通过以上实验，摸到红球的概率估计为____（精确到0.1） ，盒子里红球的数量为____个．
(2)若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则___．
(3)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求的值．
18．如图，在正方形网格图中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上．
(1)求的面积．
(2)在图中作出关于直线的对称图形．
(3)利用网格图，在上找一点P，使得的距离最短．（只需保留作图痕迹，不必写作法）
19．综合实践：
某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：
甲：如图①，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离．
乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取两点，使，接着过点作的垂线交的延长线于点，则测出的长即为的距离．
丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离．
以上三位同学所设计的方案，可行的有 ；
请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．
20．乐乐发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．
下面是乐乐设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；
②作直线．所以直线就是所求作的直线．
根据乐乐设计的尺规作图过程，解决下列问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
．（_______________）（填推理的依据）
______________________________．
，
，
_______________．
．
．（_______________）（填推理的依据）
和都是等腰三角形．
(3)乐乐进一步探究：以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，直线交于点，则（_______________）（填写理由）．使用尺规作图在图中补全作图痕迹．
21．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km）．图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为_________km；
（2）求慢车和快车的速度；
（3）请解释图中点C的实际意义；
（4）分别写出线段所表示的y与x之间的函数关系式；
（5）在整个行驶过程中，两车何时相距25km,请求出相应的x的值．
22．学习新方法：把比较复杂的单项式、多项式看成一个整体，并用新字母代替（即换元），达到化繁为简的目的，这种方法称为“换元法”．请阅读以下材料，回答问题：
阅读材料（一）若，，试比较M，N的大小．
解：设，那么，．
因为，所以．
问题（1）请仿照例题比较下列两数大小：若，，则P___________Q．（填“>”或“＜”）
阅读材料（二）已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以：．
问题（2）已知实数x、y，满足，则___________；
阅读材料（三）如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
问题（3）请你直接写出三个代数式，，之间的等量关系：___________；
若x满足，求的值．
解：设，，则，，
∴
问题（4）请仿照上面的方法求解下面问题：
①已知，那么的值为___________．
②已知，用换元法求的值为___________．
③已知，如图3，正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以作正方形，则阴影部分的面积为___________．
23．在一次主题为“神奇的等腰直角三角板”的数学探究活动中，卓越小组做出了如下研究：
(1)小组中动手操作能力最强的小华同学用10块高度都为的小长方体黑白积木，垒了两堵与地面垂直的木墙（点在同一平面内），两堵木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点与点分别与木墙的顶端重合，小华说无需测量便可直接求出两堵木墙之间的距离，请你帮小华写出求解过程．
(2)小组中探索能力最强的小聪同学先画了一个四边形，其中，，，，接着小聪以点为直角顶点，画出的等腰直角三角板，连接，探索中发现无论以及的长度怎么变化，的面积始终不变，请直接写出的面积．
