(共17张PPT)
12.3角平分线的性质（1）
人教版八年级上册
内容总览
教学目标
01
新课导入
02
探究新知
03
例题讲解
04
课堂总结
05
当堂检测
06
目录
教学目标
1.掌握角的平分线的尺规作图法，理解并掌握角平分线的性质，会用角平分线的性质解决问题。
2.经历角平分线的性质的探究与验证、归纳等过程，让学生体会由特殊到一般的数学思想方法。
3.通过合作学习让学生认识到团队合作的重要性，体验交流的快乐与成功的喜悦。
新课导入
利川腾龙洞
风电齐岳山
醉美五里峡
醉美五里峡
风电齐岳山
新课导入
为了促进利川旅游业发展，市政府要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，使它到三条公路的距离相等，应该如何选址呢？
大美利川欢迎您！
新课导入
温故知新
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 。
P
A
B
2、角平分线的概念
O
B
C
A
1
2
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
∠1=∠2
1、点到直线的距离
点到直线的距离
O
PO的长度
探究新知
A
Ｂ
尺规作图：画已知角的平分线
问题1：为什么这样画出来的射线OC是∠AOB的平分线？
Ｃ
Ｍ
Ｎ
问题2：第（2）步为什么要求以大于
MN的长度为半径画弧？
Ｏ
（3）猜想: 。
自主探究
（4）证明你的猜想。
（5）你能用文字语言叙述该结论吗？
PD=PE
合作交流
（2）动手操作：在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，垂足分别记为D，E，测量PD，PE的长度。
（1）动手操作：任意作一个角∠AOB，尺规作图画∠AOB的平分线OC。
探究新知
探究新知
角平分线的性质：
∵ OC平分∠AOB
PD⊥OA ，PE⊥OB
∴PD=PE
用符号语言表示为：
角平分线上的点到角的两边距离相等。
成果展示
B
A
D
O
P
E
C
探究新知
1.如图，∠1=∠2，那么DB=DC，这句话对吗？
2.在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离为 cm.
1
2
第1题图
B
D
C
O
3
3.在△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3，则BD= 。
4
E
D
C
B
A
第3题图
×
例题讲解
B
A
E
D
C
F
A
C
D
E
B
F
练习 如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB
于E，F在AC上，BD=DF。
求证：CF=EB。
例1 如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F。
求证:EB=FC。
例题讲解
变式 如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．
例2 如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
A
B
C
P
M
N
P
E
D
C
A
B
N
M
D
E
F
F
H
G
课堂总结
这节课我们学习了哪些知识？
1.尺规作图画已知角的平分线；
2.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵OC是∠AOB的平分线,
PD⊥OA,PE⊥OB
∴ PD=PE
几何语言:
B
A
D
O
P
E
C
当堂检测
2.P在∠MON的平分线上，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，PA+PB=12，则PA=PB= 。
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD:DC=4:3，点D到AB的距离为12，则BC= 。
1.任意画一个角∠AOB，将其四等分。
3.如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB延长线于点E，DF⊥AC延长线于点F。求证：DE=DF。
6
28
F
E
D
C
B
A
第3题图
D
C
A
B
第4题图
当堂检测
5.如图，已知∠ACB=∠DEB=90°，BD平分∠ABC，ED的延长线交BC的延长线于点F。求证：AE=CF。
6.如图，AO平分∠BAC，OB=OC。求证：AB=AC。
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E。求证：△DBE的周长等于AB。
A
O
C
B
第6题图
E
D
C
F
B
A
第5题图
E
D
C
B
A
第7题图
谢谢
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兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin12.3角平分线的性质（第1课时）
教学目标：
掌握角的平分线的尺规作图法，理解并掌握角平分线的性质，会用角平分线的性质解决问题。
经历角平分线的性质的探究与验证、归纳等过程，让学生体会由特殊到一般的数学思想方法。
通过合作学习让学生认识到团队合作的重要性，体验交流的快乐与成功的喜悦。
教学重点：角平分线的性质
教学难点：角平分线的性质的探究
教学过程：
情境导入
刚刚过去的国庆长假，同学们都是怎样度过的呢？有没有出门看看祖国的大好河山？肯定有。的确，性现在很多人在节假日都会选择或近或远的地方游玩。老师去过的地方不多，利川本土都还没有走完看完。在文斗的时候爬过白虎山，看过五里峡，那里真的山青水秀，像人间仙境；前年暑假去了腾龙洞，里面的激光秀和土家特色的表演让人印象深刻；今年我来到了南坪乡，齐岳山也上去过，近距离感受了风电能的转化，那风车真的很大很有质感，用“壮观”这个词形容一点都不为过。
大家知道，我们利川是一个旅游城市，特别是夏天气候非常舒适，每年都有很多外地游客（比如重庆、武汉）专程过来避暑，因此利川市政府一直在大力发展旅游业，以带动地方经济的发展。如图，政府要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，使它到三条公路的距离相等，应该如何选址呢？
带着这个疑问，我们开始本节课的学习。
首先我们一起回顾一下七年级学过的两个知识点：
1.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 。
2.什么是角平分线？
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
提问：根据同学们以往的经验，你会作一个角的平分线吗？说说看。
预案1：量角器。
预案2：对折。
教师：还有其他方法作已知角的平分线吗？有的，一起来看看吧！（教师示范用角平分仪平分已知角的过程。）你从中受到什么启发？能否用直尺和圆规画已知角的平分线呢？
探求新知
1.尺规作图：画已知角的平分线（板书）
（教师每板书一步，幻灯片随后播放相应的动画）
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N。
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长度为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C。
（3）画射线OC。射线OC即为所求。
问题1：为什么这样画出来的射线OC是∠AOB的平分线？（学生独立思考后个别展示，必要时可讨论后再展示，教师适时提示学生参照画图步骤，每一步的作用是什么）
问题2：第（2）步为什么要求以大于MN的长度为半径画弧？（否则两弧没有交点C，也就画不出射线OC）
这就是老师给大家介绍的尺规作图法画已知角的平分线，你们学会了吗？有一句话叫做“换汤不换药”，老师我很懒，汤也不换，药也不换，知道我要你们做什么吗？
活动1：请同学们在草稿纸上任意画一个角∠AOB，用刚学的尺规作图法画它的角平分线，时间2分钟，开始。（找一位同学上台画，底下的学生画完互相检查更正，师生集体订正黑板上的作图结果）
2.角平分线的性质
（接上面的活动）
活动2：在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，垂足分别记为D，E，测量PD，PE的长度并记录下来。
PD …
PE …
活动3：观察每一对PD，PE的值，你有什么猜想？
猜想PD=PE。
看起来似乎是这样，但这只是大家的猜想，你能从逻辑上给出推理，证明它确实是对的吗？试试看！（学生先独立思考，教师适时引导：也就是在图中，要证明PD=PE。想想看，你知道有哪些条件？）
活动4：证明你的猜想。
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。
求证：PD=PE。
（板书证明过程）
活动5：你能用文字语言叙述该结论吗？（预计学生不能顺利提炼出结论，需要教师耐心细致，逐步引导其表述出角平分线的性质）
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。（板书）
符号语言：∵OC平分∠AOB
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
提问：我们学分线的性质有什么作用呢？（证明线段相等）学以致用：
1.如图，∠1=∠2，那么DB=DC，这句话对吗？
2.在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离为 cm.
3.在△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3，则BD= 。
三、例题讲练
例1 如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F。
求证:EB=FC。
练习 如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF。
求证：CF=EB。
例2 如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。（讲完回答开篇问题）
变式 如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P．
求证：点P到AB，BC，CA所在直线的距离相等。
四、课堂小结
这节课你有什么收获呢？
1.尺规作图画已知角的平分线
2.角平分线的性质
五、当堂检测
1.任意画一个角∠AOB，将其四等分。
2.P在∠MON的平分线上，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，PA+PB=12，则PA=PB= 。
3.如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB延长线于点E，DF⊥AC延长线于点F。求证：DE=DF。
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD:DC=4:3，点D到AB的距离为12，则BC= 。
5.如图，已知∠ACB=∠DEB=90°，BD平分∠ABC，ED的延长线交BC的延长线于点F。求证：AE=CF。
6.如图，AO平分∠BAC，OB=OC。求证：AB=AC。
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E。求证：△DBE的周长等于AB。
六、板书设计
12.3角平分线的性质（第1课时）
1.尺规作图：画已知角的平分线
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。
（3）画射线OC。射线OC即为所求。
2.角平分线的性质：
角平分线上的点到角的两边距离相等。
符号语言：∵OC平分∠AOB
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
