数学人教A版（2019）必修第一册5.2.2同角三角函数的基本关系 课件（共38张ppt）

(共38张PPT)
5.2.2 同角三角函数的基本关系
1.情景导入
哲学中有这样一个命题:任何事物之间都存在着某种联系。即:联系是普遍存在的.
作为同一个角的正弦、余弦、正切函数也具有联系吗 它们具有怎样的关系 这些关系又有哪些应用呢
比如,在亚马逊河流域的热带雨林中,一只蝴蝶偶尔扇动几下翅膀,可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。这也被人们称为蝴蝶效应。
表面上看似毫不相干的两个事物却有着如此紧密的联系。
5.2.2 同角三角函数的基本关系
2.温故知新
1.三角函数的定义
（1） 叫做 的正弦函数，记作 ，
（2） 叫做 的余弦函数，记作 ，
（3） 叫做 的正切，记作 ，
2.温故知新
1.三角函数的第二定义
设 是一个 任意角，P是其终边上任意一点（不与坐标原点重合），坐标为 ,点P到原点的距离为r，则
O
x
y
M
﹒
2.温故知新
2.三角函数值在各象限内的符号
1.图示：
2.口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
3.讲授新课
O
x
y
M
1
如图，角α的终边与单位圆交于点 。
过点P作x轴垂线，交x轴于M，则为直角三角形，且OP=1.
由勾股定理得：;
因此，;
即
α
思考：当 终边与坐标轴重合时，此公式成立吗？
α
是的缩写，读作“的平方 ”。
O
x
y
M
1
α
根据三角函数的定义，当时，
3.讲授新课
同角三角函数基本关系
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切。
sin2α＋cos2α＝1
平方关系
商数关系
基本关系式
语言描述
思考2 成立吗 成立吗？
（）成立吗？
　　
成立，只要是同角即可，与角的表达形式无关。
思考1 对于任意角成立吗？
对任意角成立吗？
平方关系对于任意角都成立；商数关系对于任意 成立。
4.题型探究—根据同角三角函数关系求值
例1．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α＝（）
题型1：已知一个三角函数值求另两个函数值
求值时：一定要根据角的范围定号。
变式训练1．已知cos α＝-，求出sin α与tan α.
分类讨论思想
变式训练2．已知α是第三象限角，且 2，则cos α＝
①
②
由② 得sin α＝2cos α 代入① 得4cos2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，所以cos；
又α为第三象限角，所以cos α<0，
所以cos
方程思想，化成二元二
次方程组，消元法求解
发散思维：
思考：此题还有其他方法吗？
方法总结
1.已知sinα或者cosα，求其他三角函数值。
可借助平方关系进行求值。
2.已知tanα，求正弦或者余弦。
可借助商数关系与平方关系列二元二次方程组，消元法进行求解。
已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法
“知一求二”
在求值问题中，一定要根据角的范围判断函数值的正负。
题型2：sin θ±cos θ与 sin θ cos θ 型求值问题
求：(1)tan θ；
(2)sin θ－cos θ.
发散思维：
思考：此题还有其他方法吗？
方法二　因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，
变式训练．已知，则＝
方法总结
(1)sin＋cos，sincos，sin－cos三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”.
(2)求sin＋cos或 sincos 的值，要注意判断它们的符号.
sin θ±cos θ与 sin θ cos θ 型求值问题
sin＋cos 何时为正, 何时为负？
sin- cos 何时为正，何时为负
课下思考
题型3：已知tanα，求sin α与cos α 齐次式问题
例3　已知tan α＝3，求下列各式的值：
齐次式的弦化切求值问题
(2)对于asin2α＋bsinα cosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值.
方法总结
变式训练．已知
基本关系式常用变形
sin2α＋cos2α＝1
今后，除特殊注明外，我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式。
5.课堂小结
1.同角三角函数的基本关系
平方关系
sin2α＋cos2α＝1
商数关系
2.三角函数值求值问题
3.数学思想：分类讨论、数形结合、方程思想
要注意熟练应用平方关系与商数关系。（正用、逆用、变形等）。
1.必做：课后习题：P184 1、2、4、5
2.选做：课后习题：P185 10、12、18
6.课后作业
谢谢
4.题型探究—化简问题
例4 化简：
1.+
2.
1.+
原式=+
=+
= =-
利用平方关系化简
“去根号“
2.
利用商数关系化简
“化切为弦“
原式
=
=
=
变式训练．化简
Add You Text Here Add You Text Here
01
03
04
02
请在此添加文字说明，编辑文字。请在此添加文字说明，编辑文字。
利用平方关系进行化简辑文
方法总结
带根号的，一般原则为
去根号达到化简目的；
利用商数关系，
化切为弦进行化简
应用平方关系式
与商数关系式。
1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是
√
6.当堂检测
√
4.题型探究—恒等式证明问题
例5.
证明：因为
=右边
恒等变形的条件
左边
所以，原式成立。
等式左边
等式右边
4.题型探究—恒等式证明问题
证明：因为所以：
所以，原式成立。
恒等变形的条件
例5.
左边
=右边
等式左边
等式右边
所以
方法2
发散思维：
思考：本题还有其他证明方法吗？
因为
所以
恒等变形的条件
证明：因为）=1-
= =
方法3
作差法
=
=
=0.
因此原式成立。
证明：
变式训练．求证.
证明：
右边
=
右边=左边
所以原等式成立。
等式左边
等式右边
同一等式
左右归一
一般恒等式的证明方法
从左往右推导或从右往左推导，原则为由繁到简
作差法：证明“左边-右边=0”
1
3
“左右归一”即证明
左右两边等于同一式子。
2
2.温故知新
角α 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
角α弧度数 0
sinα
cosα
tanα
常用特殊角的三角函数值