新疆克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年高一下学期期中质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）已知向量，，且两向量夹角为，则（ ）
A．18 B．9 C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 因为向量，，且两向量夹角为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据平面数量积公式代入即可.
2．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）已知为虚数单位，，为实数，若，则（ ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为 若， 所以x=3，y=-2，所以x-y=5.
故答案为：C.
【分析】根据复数定义，求出实部和虚部即可求解.
3．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）在中，，，，则角的可能取值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：因为 在中，，，， 所以或 .
故答案为：D.
【分析】根据正弦定理代入即可.
4．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）已知向量，，若，则实数（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为 向量，，，所以，所以x=.
故答案为：D.
【分析】根据向量平行的条件代入即可求解.
5．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量数乘的运算；相等向量
【解析】【解答】解： 在正方形中，为的中点，为的中点， 则=.
故答案为：A.
【分析】根据向量加法的三角形法则，结合数乘向量及相等向量代换即可求解.
6．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种.如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：因为圆旋转一周形成球，正方形旋转一周形成圆柱，所以 绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是 一个球挖去一个圆柱 .
故答案为：B.
【分析】根据旋转体的概念，得几何体是 一个球挖去一个圆柱 剩余部分.
7．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）如图，圆柱的底面直径和高度都等于球的直径.若球的表面积为，则圆柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，因为 球的表面积为 ，
所以所以R=2，所以 圆柱的表面积为.
故答案为：A.
【分析】先根据球的表面积求出球的半径，进而求出圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的表面积公式即可求解.
8．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度（ ）
A．22 B．44 C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：过A作AEIIBD且AE=BD，连接CE、DE，则四边形ABDE是平行四边形，因为
所以平行四边形ABDE是矩形，因为BDl，即AEl，而ACl ，
则CAE是二面角l的平面角，即CAE =60°.
因为BD=AE=AC=3，即ACE为正三角形，所以CE=3，
因为EDAE，EDAC，，所以ED平面ACE，
又EC平面AEC，所以ECED，所以在RtDCE中，ED=，所以AB=ED=.
故答案为：C.
【分析】过A作AEIIBD且AE=BD，连接CE、DE，找到二面角l的平面角CAE，根据线面垂直判定定理得ED平面ACE，再根据线面垂直性质得ECED，解直角三角形CED，即可求解.
二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对得部分分（选对一个2分，2个4分，满分5分），有选错的得0分。
9．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）、互为共轭复数，（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在复平面内对应的点在第二象限
C．的虚部为
D．
【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为 ，所以，所以，故A正确.
所以在复平面内对应的点的坐标为（1，-1）在第四象限 ，故B错误.
的虚部为 -1，故C错误.因为，故D正确.
故答案为：A、D.
【分析】先根据复数除法运算得出z，根据共轭复数定义，判断A正确，根据复数对应点坐标，判断B错误，根据复数定义，判断C错误，根据复数模的定义，判断D正确.
10．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．零向量的长度为零，方向是任意的
C．若与是平行向量，则
D．若或，则
【答案】B,D
【知识点】零向量；单位向量；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：对于A， 若与都是单位向量，与大小都为1，方向不定，故A错误，
对于B， 零向量的长度为零，方向是任意的 ，故B正确，
对于C， 若与是平行向量， 则与大小不等，方向相同或相反，故C错误，
对于D， 若或，与方向相同或相反，所以 ，故D正确.
故答案为：B、D.
【分析】根据单位向量定义，判断A错误，根据零向量定义，判断B正确，根据平行向量定义判断C错误，D正确.
11．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）已知直线，，和平面，，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，，则
【答案】A,C,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：直线a，b，l和平面，，
对A， 若，， 则，故A错误；
对于B， 若， ，则由面面垂直的判定定理得，故B正确；
对于C， 若，，，， 则l与α相交或，故C错误；
对于D， 若，，，， 则与相交或平行，故D错误.
故答案为：A、C、D.
【分析】根据线面平行判定定理，判断A错误；对于B，由面面垂直的判定定理，判断B正确；根据线面垂直性质结合直线和平面位置关系，判断C错误，根据面面平行判定定理，判断D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分
12．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）已知正方体的棱长为2，则顶点到平面的距离为 .
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设 顶点到平面的距离为 d，因为平面ADC，所以，所以 .
故答案为：.
【分析】设 顶点到平面的距离为 d，根据三棱锥等体积性质，表示的体积，即可求解.
13．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）若，为单位向量，且，则在方向上的投影向量 .
【答案】-
【知识点】向量的模；单位向量；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，为单位向量，且， 所以，
所以在方向上的投影向量.
故答案为：-.
【分析】利用，根据模的运算得=-1，然后根据投影向量定义代入求解即可.
14．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中，为虚数单位））为“等部复数”，则 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为（其中，为虚数单位））为“等部复数，所以-a=2，所以a=-2，
所以，所以.
故答案为：.
【分析】根据等部复数定义，求出复数z，代入计算即可.
四、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）若复数，当实数为何值时
（1）是实数；
（2）是纯虚数.
【答案】（1）解：若 复数 为实数，则.
（2）解：若 复数为纯虚数，则，所以m=-4.
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【分析】根据复数是实数、纯虚数条件列方程或方程组，即可求解.
16．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）已知向量，.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：因为向量，. 所以.
（2）解：因为
.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量夹角公式代入计算即可.
（2）先求的坐标，根据，得数量积为0，代入坐标得方程，解出即可.
17．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求，的值.
【答案】（1）解：因为，所以，因为，所以，
又因为，所以.
（2）解：因为又，所以b+c=4，所以b=c=2.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用，根据正弦定理转化得，根据A范围即可求解.
（2）根据三角形面积求得bc=4，再用余弦定理得b+c=4，解方程组即可求解.
18．（2022高三上·德宏期末）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东45°方向，然后向正东方向前进10米到达D，测得此时塔底B在北偏东15°方向.
（1）求点D到塔底B的距离BD；
（2）若在点C测得塔顶A的仰角为60°，求铁塔高AB.
【答案】（1）解：由题意可知，，，故
在中，由正弦定理，得
，
∴点D到塔底B的距离BD为米
（2）解：在中，由正弦定理，得
∴
.
在中，.
所以，铁塔高AB为米.
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【分析】(1)在△BCD利用正弦定理即可解得BD的长；
(2)先在△BCD利用正弦定理解得BC的长，再在Rt△OABC中即可求得AB的长.
19．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.
（1）证明：平面平面；
（2）设，，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为AB是圆0的直径，所以BCAC，
又因为PC平面ABC，BC平面ABC所以PCBC，又且PC，AC平面PAC
所以BC平面PAC，又BC平面PBC，所以·平面PBC平面PAC.
（2）解：BC平面PAC，PA平面PAC.PABC ，过C作CMPA于M，连接BM
因为，且BC，CM平面BCM，所以PA平面BCM，所以PABM·
所以为二面角B-AC-M的平面角，
在中，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)由是圆的直径 可得BCAC，再由线面垂直性质得PCBC，然后利用直线与平面垂直的判定可得BC平面PAC，从而根据面面垂直的判断即可证得平面PBC平面PAC；
(2)过C作CMPA于M，连接BM，可得为二面角B-AC-M的平面角，然后解直角三角形即可求解.
1 / 1新疆克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年高一下学期期中质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）已知向量，，且两向量夹角为，则（ ）
A．18 B．9 C． D．
2．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）已知为虚数单位，，为实数，若，则（ ）
A．1 B． C．5 D．
3．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）在中，，，，则角的可能取值为（ ）
A． B． C． D．或
4．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）已知向量，，若，则实数（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种.如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体
7．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）如图，圆柱的底面直径和高度都等于球的直径.若球的表面积为，则圆柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度（ ）
A．22 B．44 C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对得部分分（选对一个2分，2个4分，满分5分），有选错的得0分。
9．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）、互为共轭复数，（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在复平面内对应的点在第二象限
C．的虚部为
D．
10．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．零向量的长度为零，方向是任意的
C．若与是平行向量，则
D．若或，则
11．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）已知直线，，和平面，，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分
12．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）已知正方体的棱长为2，则顶点到平面的距离为 .
13．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）若，为单位向量，且，则在方向上的投影向量 .
14．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中，为虚数单位））为“等部复数”，则 .
四、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）若复数，当实数为何值时
（1）是实数；
（2）是纯虚数.
16．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）已知向量，.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若，求的值.
17．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求，的值.
18．（2022高三上·德宏期末）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东45°方向，然后向正东方向前进10米到达D，测得此时塔底B在北偏东15°方向.
（1）求点D到塔底B的距离BD；
（2）若在点C测得塔顶A的仰角为60°，求铁塔高AB.
19．（2024高一下·克孜勒苏柯尔克孜期中）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.
（1）证明：平面平面；
（2）设，，求二面角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 因为向量，，且两向量夹角为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据平面数量积公式代入即可.
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为 若， 所以x=3，y=-2，所以x-y=5.
故答案为：C.
【分析】根据复数定义，求出实部和虚部即可求解.
3．【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：因为 在中，，，， 所以或 .
故答案为：D.
【分析】根据正弦定理代入即可.
4．【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为 向量，，，所以，所以x=.
故答案为：D.
【分析】根据向量平行的条件代入即可求解.
5．【答案】A
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量数乘的运算；相等向量
【解析】【解答】解： 在正方形中，为的中点，为的中点， 则=.
故答案为：A.
【分析】根据向量加法的三角形法则，结合数乘向量及相等向量代换即可求解.
6．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：因为圆旋转一周形成球，正方形旋转一周形成圆柱，所以 绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是 一个球挖去一个圆柱 .
故答案为：B.
【分析】根据旋转体的概念，得几何体是 一个球挖去一个圆柱 剩余部分.
7．【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，因为 球的表面积为 ，
所以所以R=2，所以 圆柱的表面积为.
故答案为：A.
【分析】先根据球的表面积求出球的半径，进而求出圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的表面积公式即可求解.
8．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：过A作AEIIBD且AE=BD，连接CE、DE，则四边形ABDE是平行四边形，因为
所以平行四边形ABDE是矩形，因为BDl，即AEl，而ACl ，
则CAE是二面角l的平面角，即CAE =60°.
因为BD=AE=AC=3，即ACE为正三角形，所以CE=3，
因为EDAE，EDAC，，所以ED平面ACE，
又EC平面AEC，所以ECED，所以在RtDCE中，ED=，所以AB=ED=.
故答案为：C.
【分析】过A作AEIIBD且AE=BD，连接CE、DE，找到二面角l的平面角CAE，根据线面垂直判定定理得ED平面ACE，再根据线面垂直性质得ECED，解直角三角形CED，即可求解.
9．【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为 ，所以，所以，故A正确.
所以在复平面内对应的点的坐标为（1，-1）在第四象限 ，故B错误.
的虚部为 -1，故C错误.因为，故D正确.
故答案为：A、D.
【分析】先根据复数除法运算得出z，根据共轭复数定义，判断A正确，根据复数对应点坐标，判断B错误，根据复数定义，判断C错误，根据复数模的定义，判断D正确.
10．【答案】B,D
【知识点】零向量；单位向量；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：对于A， 若与都是单位向量，与大小都为1，方向不定，故A错误，
对于B， 零向量的长度为零，方向是任意的 ，故B正确，
对于C， 若与是平行向量， 则与大小不等，方向相同或相反，故C错误，
对于D， 若或，与方向相同或相反，所以 ，故D正确.
故答案为：B、D.
【分析】根据单位向量定义，判断A错误，根据零向量定义，判断B正确，根据平行向量定义判断C错误，D正确.
11．【答案】A,C,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：直线a，b，l和平面，，
对A， 若，， 则，故A错误；
对于B， 若， ，则由面面垂直的判定定理得，故B正确；
对于C， 若，，，， 则l与α相交或，故C错误；
对于D， 若，，，， 则与相交或平行，故D错误.
故答案为：A、C、D.
【分析】根据线面平行判定定理，判断A错误；对于B，由面面垂直的判定定理，判断B正确；根据线面垂直性质结合直线和平面位置关系，判断C错误，根据面面平行判定定理，判断D错误.
12．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设 顶点到平面的距离为 d，因为平面ADC，所以，所以 .
故答案为：.
【分析】设 顶点到平面的距离为 d，根据三棱锥等体积性质，表示的体积，即可求解.
13．【答案】-
【知识点】向量的模；单位向量；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，为单位向量，且， 所以，
所以在方向上的投影向量.
故答案为：-.
【分析】利用，根据模的运算得=-1，然后根据投影向量定义代入求解即可.
14．【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为（其中，为虚数单位））为“等部复数，所以-a=2，所以a=-2，
所以，所以.
故答案为：.
【分析】根据等部复数定义，求出复数z，代入计算即可.
15．【答案】（1）解：若 复数 为实数，则.
（2）解：若 复数为纯虚数，则，所以m=-4.
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【分析】根据复数是实数、纯虚数条件列方程或方程组，即可求解.
16．【答案】（1）解：因为向量，. 所以.
（2）解：因为
.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量夹角公式代入计算即可.
（2）先求的坐标，根据，得数量积为0，代入坐标得方程，解出即可.
17．【答案】（1）解：因为，所以，因为，所以，
又因为，所以.
（2）解：因为又，所以b+c=4，所以b=c=2.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用，根据正弦定理转化得，根据A范围即可求解.
（2）根据三角形面积求得bc=4，再用余弦定理得b+c=4，解方程组即可求解.
18．【答案】（1）解：由题意可知，，，故
在中，由正弦定理，得
，
∴点D到塔底B的距离BD为米
（2）解：在中，由正弦定理，得
∴
.
在中，.
所以，铁塔高AB为米.
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【分析】(1)在△BCD利用正弦定理即可解得BD的长；
(2)先在△BCD利用正弦定理解得BC的长，再在Rt△OABC中即可求得AB的长.
19．【答案】（1）证明：因为AB是圆0的直径，所以BCAC，
又因为PC平面ABC，BC平面ABC所以PCBC，又且PC，AC平面PAC
所以BC平面PAC，又BC平面PBC，所以·平面PBC平面PAC.
（2）解：BC平面PAC，PA平面PAC.PABC ，过C作CMPA于M，连接BM
因为，且BC，CM平面BCM，所以PA平面BCM，所以PABM·
所以为二面角B-AC-M的平面角，
在中，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)由是圆的直径 可得BCAC，再由线面垂直性质得PCBC，然后利用直线与平面垂直的判定可得BC平面PAC，从而根据面面垂直的判断即可证得平面PBC平面PAC；
(2)过C作CMPA于M，连接BM，可得为二面角B-AC-M的平面角，然后解直角三角形即可求解.
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