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2024年辽宁新中考数学考前安心卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．运动会米赛跑，5位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
运动员 A B C D E 平均成绩 中位数
时间（秒）
A．， B．， C．， D．，
5．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
7．如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若，则的周长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．
8．如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．因式分解： ．
13．如图，中，，，平分交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，则的长为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，顶点在第一象限，函数的图象与边交于点，并且点为边的中点．若的面积为12，则的值为 ．
15．如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点，处，当点落在直线BC上时，线段AE的长为 ．
解答题：本题共8小题，共75分。
16．（本题10分）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（本题8分）
2021年2月10日“天问一号”火星探测器抵达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星.某校组织首届“航天梦报国情”航天知识竞赛活动，八年级全体学生参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小军随机抽取八年级20名参赛学生的成绩，收集数据（单位：分）如下：
90，75，80，80，70，75，80，85，82，95,
95，75，90，70，92，95，84，75，85，67
整理数据：
成绩x/分 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
频数 1 6 a b
分析数据：
平均数 中位数 众数
82 c d
根据上述数据回答以下问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的的值．
（2）活动组委会决定，给“航天知识竞赛”成绩在90分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校八年级550人中约有多少人将获得“小宇航员”称号．
（3）本次活动中获得“小宇航员”称号的小红得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同）．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，从中随机选取两枚送给小军，请画树状图或列表求小红送给小军的两枚纪念章中恰好有一枚是B的概率．
18．（本题8分）
第41届潍坊国际风筝会来临之际，某商铺打算购进甲，乙两种风筝的文创产品向游客销售．已知甲种的进价比乙种的进价每件多1元，用1600元采购甲种的件数是用720元采购乙种的件数的2倍，两种文创产品的售价均为每件15元．
(1)求甲、乙两种文创产品每件的进价分别为多少元？
(2)商铺计划采购这两种文创产品共800件，采购乙种的件数不低于490件，但不超过甲种件数的4倍．厂家给出的优惠方案是：若一次性采购甲种超过180件时，甲种超过的部分按原进价打6折．设这次购买甲种文创产品的件数为件，售出甲、乙两种产品所获的总利润为元，请写出与的函数关系式，并求出这次采购的文创产品的最大利润．
19（本题8分）．综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：
时刻（时） 12 13 14 15
角的正切值 5 2.5 1.25 1
【问题解决】
(1)如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
(2)如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
20．（本题8分）
某商店出售一款商品，已知该商品的进价为40元/件，日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足关系式为：．该商品的销售单价、日销售量、日销售利润的部分对应数据如下表：[注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）]
销售单价x（元） 75 78
日销售量y（件） a 120
日销售利润w（元） 5250 b
(1)根据以上信息可知：表中a的值是________，b的值是________．
(2)求该商品日销售利润的最大值．
(3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（），该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价满足的函数关系式保持不变，若日销售最大利润是6600元，直接写出m的值．
21．（本题9分）
如图，四边形为的内接四边形，，连接，延长至点E，连接，使．
(1)求证：；
(2)若，求的长度与的半径．
22．（本题12分）
综合与实践 问题情境：
综合与实践课上，同学们以“三角形纸片的折叠与旋转“为主题展开数学活动，探究有关的数学问题．
动手操作：
已知：三角形纸片中，.将三角形纸片按如下步骤进行操作：
第一步：如图1，折叠三角形纸片，使点与点重合，然后展开铺平，折痕分别交于点，连接，易知．
第二步：在图1的基础上，将三角形纸片沿剪开，得到和.保持的位置不变，将绕点逆时针旋转得到(点分别是的对应点)，旋转角为问题解决：
（1）如图2，小彬画出了旋转角时的图形，设线段交于点，连接.小彬发现所在直线始终垂直平分线段.请证明这一结论；
（2）如图3，小颖画出了旋转角时的图形，设直线与直线相交于点，连接判断此时的形状，说明理由；
（3）在绕点逆时针旋转过程中，当时，请直接写出两点间的距离．
（本题12分）
定义：点是平面直角坐标系内一点，将函数的图像位于直线左侧部分，以直线为对称轴翻折，得到新的函数的图像，我们称函数的函数是函数的相关函数，函数的图像记作，函数的图像未翻折的部分记作，图像和合起来记作图像．例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为．
(1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ．
(2)函数的解析式为，当时，图像上某点的纵坐标为，求该点的横坐标．
(3)已知函数的解析式为，
①已知点、的坐标分别为、，图像与线段只有一个公共点时，结合函数图像，求的取值范围；
②若点是图像上任意一点，当时，的最小值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）．中小学教育资源及组卷应用平台
2024年辽宁新中考数学考前安心卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两数之积为1，求解即可．
【详解】解：的倒数是2024；
故选B．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法判断A选项； 根据完全平方公式判断B选项；根据合并同类项判断C选项；根据积的乘方和幂的乘方判断D选项．
【详解】解：A选项，，故该选项不符合题意；
B选项，，故该选项不符合题意；
C选项，，故该选项不符合题意；
D选项，，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方与幂的乘方，掌握公式是解题的关键．
3．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，如果一个图形绕一个点旋转，能和自身完全重合，则这个图形是中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，两部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
4．运动会米赛跑，5位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
运动员 A B C D E 平均成绩 中位数
时间（秒）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查了算术平均数，中位数．熟练掌握算术平均数，中位数是解题的关键．
由题意知，C的成绩为，计算求解，然后根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：由题意知，C的成绩为，
由题意知，将各成绩从小到大依次排序为，，，，，，
∴中位数为第3个数即，
故选：A．
5．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质求出的度数．由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，，
，
故选：A
6．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得且，
故选：D．
7．如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若，则的周长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．
【答案】A
【分析】直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC，即可得出答案．
【详解】解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB，
则AF＝BF，
可得AF＝AH，AC⊥FH，
∴FC＝CH，
∴AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC＝4，
∴△AFH的周长为：AF＋FC＋CH＋AH＝2BC＝8．
故本题选择A．
【点睛】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC是解题关键．
8．如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据切线的性质可知，再根据圆周角的性质及直角三角形的性质即可解答．本题考查了切线的性质，圆周角的性质，直角三角形的性质，掌握切线的性质及圆周角的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
故选．
9．《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据单价总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设用6210文能买x株椽，
由题意得：，
故选：C．
10．如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可．
【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查分式和二次根式有意义时的取值范围．根据题意可得，即可得到本题答案．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，解得：，
故答案为：且．
12．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可．
【详解】解；
，
故答案为：．
13．如图，中，，，平分交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】先由等腰三角形性质求出CD以及，再利用作图方式确定MN垂直平分AC，得到CE=AE，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解:∵ 中，， ，平分
∴，且，（等腰三角形“三线合一”）
∴，
由分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，可知，MN垂直平分AC，
如图，连接CE，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：；
∴的长为；
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质、尺规作图线段的垂直平分线、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等内容，要求学生理解并掌握相关概念，能熟练运用勾股定理求直角三角形的线段长或建立两线段之间的关系等．
14．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，顶点在第一象限，函数的图象与边交于点，并且点为边的中点．若的面积为12，则的值为 ．
【答案】6
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，由此可知ODC∽OEB，CD∥BE，结合AOB为直角三角形可得出四边形OEBA为矩形，从而得出“BE＝AO，AB＝OE”，再由点C为线段OB的中点，即可得出“BE＝2CD，OE＝2OD”，结合三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义即可得出|k|＝6，结合反比例函数在第一象限内有图象即可得出结论．
【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
∵CD⊥x轴，BE⊥x轴，
∴ODC∽OEB，CD∥BE．
∵AOB为直角三角形，
∴∠OAB＝90°＝∠AOE，
∴AB∥OE，
∴四边形OEBA为矩形，
∴BE＝AO，AB＝OE．
又∵点C为线段OB的中点，
∴BE＝2CD，OE＝2OD．
∵S△AOB＝AO AB
＝BE OE
＝ （2CD） （2OD）
＝4S△OCD
＝12，
∴S△OCD＝3＝|k|，
解得：|k|＝6．
∵反比例函数图象有一部分在第一象限内，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积公式、相似三角形的判定及性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出S△AOB＝4S△OCD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积结合反比例系数k的几何意义找出|k|的值是关键．
15．如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点，处，当点落在直线BC上时，线段AE的长为 ．
【答案】4或16
【分析】分两种情况：①D′落在线段BC上，②D′落在线段BC延长线上，分别连接ED、ED′、DD′，利用折叠的性质以及勾股定理，即可得到线段AE的长．
【详解】解：分两种情况：
①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D′F＝CD CF＝10，
∴CD′＝＝6，
∴BD'＝BC CD'＝12，
设AE＝x，则BE＝18 x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18 x）2＋122，
∴182＋x2＝（18 x）2＋122，
解得：x＝4，即AE＝4；
②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D′F＝CD CF＝10，CD'＝＝6，
∴BD'＝BC＋CD'＝24，
设AE＝x，则BE＝18 x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18 x）2＋242，
∴182＋x2＝（18 x）2＋242，
解得：x＝16，即AE＝16；
综上所述，线段AE的长为4或16；
故答案为4或16．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，注意分类讨论．
三、解答题
16．（本题10分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）3；（2），
【分析】（1）本题考查了实数的混合运算，涉及化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角三角函数，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先依次化简绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值，最后加减运算即可；
（2）本题考查了分式的化简求值，涉及分式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式分解因式，然后进行分式的除法，再计算减法即可化简，将代入即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：原式
，
当时，原式．
17．（本题8分）2021年2月10日“天问一号”火星探测器抵达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星.某校组织首届“航天梦报国情”航天知识竞赛活动，八年级全体学生参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小军随机抽取八年级20名参赛学生的成绩，收集数据（单位：分）如下：
90，75，80，80，70，75，80，85，82，95,
95，75，90，70，92，95，84，75，85，67
整理数据：
成绩x/分 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
频数 1 6 a b
分析数据：
平均数 中位数 众数
82 c d
根据上述数据回答以下问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的的值．
（2）活动组委会决定，给“航天知识竞赛”成绩在90分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校八年级550人中约有多少人将获得“小宇航员”称号．
（3）本次活动中获得“小宇航员”称号的小红得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同）．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，从中随机选取两枚送给小军，请画树状图或列表求小红送给小军的两枚纪念章中恰好有一枚是B的概率．
【答案】（1）a= 7，b= 6，c= 81，d =75；（2）该校八年级约有165人将获得“小宇航员”称号；（3）恰好有一枚是B的概率是．
【分析】（1）利用唱票法确定a，b的值，根据中位数，众数的定义确定c，d的值；
（2）利用样本估计总体的思想计算即可；
（3）准确画树状图或列表计算即可
【详解】（1）∵80≤x<90的数有80，80，80，85，82，84，85共有7个，
∴a=7；
∵90≤x<100的数有90，95，95，90，92，95共有6个，
∴b=6；
中位数是80和82的平均数，且，
∴c=81；
∵75出现了4次，最多，
∴d=75；
故答案为：7；6；81；75；
（2）根据题意，得授予“小宇航员”称号的人数为：550=165（人）
答：该校八年级约有165人将获得“小宇航员”称号；
（3）列表如下：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
共有12种机会均等的结果，恰好有一枚是B的有6种，
∴恰好有一枚是B的概率是．
【点睛】本题考查了频数分布，众数，中位数，概率的计算，熟记统计量的基本概念，熟练掌握画树状图或列表法的基本计算思路是解题的关键．
18．（本题8分）第41届潍坊国际风筝会来临之际，某商铺打算购进甲，乙两种风筝的文创产品向游客销售．已知甲种的进价比乙种的进价每件多1元，用1600元采购甲种的件数是用720元采购乙种的件数的2倍，两种文创产品的售价均为每件15元．
(1)求甲、乙两种文创产品每件的进价分别为多少元？
(2)商铺计划采购这两种文创产品共800件，采购乙种的件数不低于490件，但不超过甲种件数的4倍．厂家给出的优惠方案是：若一次性采购甲种超过180件时，甲种超过的部分按原进价打6折．设这次购买甲种文创产品的件数为件，售出甲、乙两种产品所获的总利润为元，请写出与的函数关系式，并求出这次采购的文创产品的最大利润．
【答案】(1)甲种文创产品每件的进价为10元，则乙种文创产品每件的进价为9元
(2)当采购甲种文创产品310件，乙种文创产品490件，商铺获利最大，最大利润为5010元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程和方程组成为解题的关键．
（1）设甲种文创产品每件的进价为元，则乙种文创产品每件的进价为元，然后根据题意列分式方程求解即可；
（2）设购进甲种饰品件，根据题意列不等式组可求得；然后分和两种情况分别列出一次函数解析式并求最值即可解答．
【详解】（1）解：设甲种文创产品每件的进价为元，则乙种文创产品每件的进价为元，
由题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，．
答：甲种文创产品每件的进价为10元，则乙种文创产品每件的进价为9元．
（2）解：设购进甲种饰品件，由题意得：，解得：，
所以购进甲种文创产品件数的取值范围为：，且为整数；
设采购甲种文创产品件时的总利润为元，
当时，，
因为，所以随的增大而减小，
所以当时，有最大值是：，
当时，，
因为，所以随的增大而增大，
所以当时，有最大值是：，
因为，所以的最大值是5010，此时，
即当采购甲种文创产品310件，乙种文创产品490件，商铺获利最大，最大利润为5010元．
19．（本题8分）综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：
时刻（时） 12 13 14 15
角的正切值 5 2.5 1.25 1
【问题解决】
(1)如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
(2)如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）过作于，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解；
（2）过作于，过作于，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解．
【详解】（1）解：如图1，过作于，
，
则，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在中，，即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为．
（2）解：过作于，过作于，
，
则，
四边形为矩形，
，
，
，
由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，
当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
在中，，
即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为．
20．（本题9分）
某商店出售一款商品，已知该商品的进价为40元/件，日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足关系式为：．该商品的销售单价、日销售量、日销售利润的部分对应数据如下表：[注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）]
销售单价x（元） 75 78
日销售量y（件） a 120
日销售利润w（元） 5250 b
(1)根据以上信息可知：表中a的值是________，b的值是________．
(2)求该商品日销售利润的最大值．
(3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（），该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价满足的函数关系式保持不变，若日销售最大利润是6600元，直接写出m的值．
【答案】(1)150，4560
(2)该商品日销售利润的最大值为6250元
(3)
【分析】本题考查了求一次函数值，求二次函数解析式，抛物线的图像和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）将代入求出a值，再根据利润等于单件利润乘以销量，求出日销售总利润即可；
（2）先求出的解析式，再根据抛物线的图像和性质作答即可；
（3）设利润为元，根据题意的解析式，再求出对称轴，再根据抛物线的图像和性质作答即可．
【详解】（1）解：当时，（件），
当时，（元）；
故答案为：150，4560；
（2）解：，
∵，
∴当时，最大，最大值为6250，
答：该商品日销售利润的最大值为6250元；
（3）解：设利润为元，根据题意可得：
，
对称轴为，
∵销售单价不低于68元，即，
∴．
∵，
∴，且开口向下，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最大值为6600，
∴，
∴．
21．（本题9分）
如图，四边形为的内接四边形，，连接，延长至点E，连接，使．
(1)求证：；
(2)若，求的长度与的半径．
【答案】(1)见详解
(2)半径为，长为
【分析】（1）根据证明，，证出，再结合和圆周角定理即可证出；
（2）根据平行线性质得出，结合圆周角定理从而得出，证明，作于，，设，根据勾股定理得出，，，再根据相似算出，根据，得出，过点作于，在中， 即可算出，，，连接，根据圆周角定理得出，在等腰中，算出，即可求解；
【详解】（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
作于，，
设，
则，
，
解得：或12，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
由得，
，
在中，，
，
过点作于，
则，
在中， ，
，
，
连接，则，
在等腰中，，
即半径为，长为．
【点睛】该题主要考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
22．（本题12分）综合与实践 问题情境：
综合与实践课上，同学们以“三角形纸片的折叠与旋转“为主题展开数学活动，探究有关的数学问题．
动手操作：
已知：三角形纸片中，.将三角形纸片按如下步骤进行操作：
第一步：如图1，折叠三角形纸片，使点与点重合，然后展开铺平，折痕分别交于点，连接，易知．
第二步：在图1的基础上，将三角形纸片沿剪开，得到和.保持的位置不变，将绕点逆时针旋转得到(点分别是的对应点)，旋转角为问题解决：
（1）如图2，小彬画出了旋转角时的图形，设线段交于点，连接.小彬发现所在直线始终垂直平分线段.请证明这一结论；
（2）如图3，小颖画出了旋转角时的图形，设直线与直线相交于点，连接判断此时的形状，说明理由；
（3）在绕点逆时针旋转过程中，当时，请直接写出两点间的距离．
【答案】（1）见详解；（2）△COF为等边三角形，证明见详解；（3）或．
【分析】（1）根据旋转得△ADC≌△FDG，可得对应边对应角分别相等，从而转化证△FDM≌△CDN，进一步的得MD=ND，再证得AM=GN后，由此可证△APM≌△GPN，最后利用垂直平分线的判定即可；
（2）由第（1）问中的结论结合90°角可以计算得到∠OFC=∠OCF=60°，从而得证；
（3）首先要画出符合题意的图形，再借助勾股定理利用题目给的已知条件计算即可．
【详解】
（1）证明：∵将绕点逆时针旋转得到
∴△ADC≌△FDG
∴AD=FD, DG=DC, ∠DAC=∠DFG，∠C=∠DGF，∠ADC=∠FDG，
∵AD=DC
∴∠DAC=∠C，DA=DF=DC=DG，
∴∠DAC=∠DFG=∠C=∠DGF，
∵∠ADC=∠FDG，
∴∠FDM=∠CDN，
在△FDM与△CDN中
∴△FDM≌△CDN(ASA)
∴MD=ND,
∴MA=NG,
在△APM与△GPN中
∴△APM≌△GPN (AAS)
∴PA=PG
又∵DA=DG
∴DP垂直平分AG．
（2）解：△COF为等边三角形．
理由如下：∵旋转角
∴∠FDA=∠GDC=90°
又∵DF=DA,DG=DC
∴∠DFA=∠DAF=∠DGC=∠DCG=45°
∵
∴∠B=∠DCA=30°
∵AD=DC
∴∠DAC=∠DCA=30°
∴∠ADC=120°
∴∠FDC=360°-∠ADC-∠ADF=360°-120°-90°=150°
∵DF=DC
∴∠DFC=∠DCF=15°
∴∠OFC=∠DFC+∠DFA=45°+15°=60°
∠OCF=∠DCG+∠DCF=45°+15°=60°
∴∠OFC=∠OCF
∴OC=OF
又∵∠OCF=60°
∴△COF为等边三角形
（3）解：如图1，∵∠BAC=120°，∠DAC=30°
∴∠BAD=90°，
又∵∠ABC=30°，
∴AD=BD，
∴CD=BD，
∵BC=6，
∴CD=AD=2，BD=4
∴FD=AD=2，
∵，∠AFD=30°，
∴OD=FD=1，OF=,
∴BO=BD-OD=4-1=3,
∴在Rt△BOF中，BF=
如图2，BO=BD+OD=4+1=5,
∴在Rt△BOF中，BF=
∴两点间的距离为或．
【点睛】本题是一道综合题，综合考查了全等三角形、垂直平分线、等腰三角形，30°的直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
（本题12分）
定义：点是平面直角坐标系内一点，将函数的图像位于直线左侧部分，以直线为对称轴翻折，得到新的函数的图像，我们称函数的函数是函数的相关函数，函数的图像记作，函数的图像未翻折的部分记作，图像和合起来记作图像．例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为．
(1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ．
(2)函数的解析式为，当时，图像上某点的纵坐标为，求该点的横坐标．
(3)已知函数的解析式为，
①已知点、的坐标分别为、，图像与线段只有一个公共点时，结合函数图像，求的取值范围；
②若点是图像上任意一点，当时，的最小值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）．
【答案】(1)
(2)该点的横坐标为或
(3)①的取值范围为：，或；②
【分析】（1）在取两点，，求得这两点关于直线的对称点和，再待定系数法求翻折后的函数解析式即可；
（2）将函数，×＜0的部分翻折可得（x＜0）；再与（x＞0）联合；由纵坐标的值求横坐标即可；
（3）①先求出函数F的解析式，分别讨论随着m的递增，函数，与AB的相交情况，再将两者叠加，讨论函数F与AB的相交情况即可；②根据二次函数的对称性可知对称轴右边部分不会被翻折即m≤2，再由翻折后y′在m-2处取最小值且最小值要不小于抛物线的最小值，列不等式求解即可；
【详解】（1）解：根据题意，将函数的解析式为的图像沿直线翻折，设所得函数的解析式为，
在取两点，，可得到这两点关于直线的对称点和，
把和分别代入，
得：，
解得：，
函数的解析式为．
（2）解：根据题意，可得图像的解析式为：，
当时，或，
解得：或，
该点的横坐标为或；
（3）解：①，由函数图像可得m是y和y′的图像上对应点的中点纵坐标，
∴，
∴，
∴的解析式为：，
如图为函数F与线段AB的示意图，
在函数上：当时，，解得：；
∴时，与AB有两个交点；时，与AB有一个交点；时，与AB没有交点；
在函数上： 当经过点时，，解得：或；
当经过点时，，解得：；
当经过点时，，解得：；
随着的增大，当m≤1时，与AB没有交点；当1＜m≤时，与AB有一个交点；当＜m≤5时，与AB没有交点；当5＜m≤时，与AB有一个交点；当m＞时，与AB没有交点；
∴在函数F上：时，F与AB有两个交点；时，F与AB有一个交点；时，F与AB有两个交点；时，F与AB有一个交点；时，F与AB没有交点；当5＜m≤时，F与AB有一个交点；当m＞时，F与AB没有交点；
∴m的取值范围为：，或．
②∵函数的对称轴为x=2，最小值为-1，
∴当n的最小值始终保持不变时，，
∵翻折后y′在m-2到m上递增，
∴翻折后在m-2处有最小值，
，整理得：，
令，
解得：，，
∴；
【点睛】本题考查了一次函数，二次函数的性质，对称的性质，反比例函数，抛物线与线段交点个数的问题，此题综合性强难度大，掌握新定义下函数随m的变化规律再数形结合分类讨论是解题关键．
