2024年四川省广安市邻水县中考数学模拟试卷（含答案）

2024年四川省广安市邻水县中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）的绝对值是　　
A． B．3 C． D．
2．（3分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）邻水县素有“中国脐橙之乡”的美誉，2023年邻水脐橙产量32.86万吨，产值达15亿左右，15亿用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A．等边三角形 B．平行四边形
C．正五边形 D．圆
5．（3分）函数中自变量的取值范围在数轴上表示正确的是　　
A． B．
C． D．
6．（3分）若一个正边形的每个内角为，则这个正边形的所有对角线的条数是　　
A．7 B．10 C．35 D．70
7．（3分）下列命题为真命题的是　　
A．两组身高数据的方差分别是，，那么乙组的身高比较整齐
B．“明天下雨”是必然事件
C．一组数据3，5，4，5，6，7的众数，中位数和平均数都是5
D．为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行
8．（3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．且
9．（3分）如图，是圆的直径，弦，，，则　　
A． B． C． D．
10．（3分）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，有最大值为2、最小值为，此时的取值范围是．其中正确结论的个数是　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：　　．
12．（3分）如图，直线，若，，则　　．
13．（3分）若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象经过 　　象限．
14．（3分）某市为治理污水，需要铺设一段全长的污水排放管道，铺设后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设管道，那么根据题意，可列方程　 　．
15．（3分）如图在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，，则的度数为 　　．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到△的位置，再到△的位置依次进行下去，若已知点，，则点的坐标为　　．
三、解答题（本大题共4小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中满足．
19．（6分）如图，，，、是上两点，且．求证：．
20．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象交于，两点，与轴交于点．
（1）求，的值及点的坐标；
（2）若点在轴上，且，直接写出点的坐标．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．（6分）第二届“巴蜀风韵橙意邻水”文化旅游宣传周活动开幕式，2023年12月26日在邻水县邻州广场隆重举行，邻水人民欢迎各界朋友来邻水“观邻景、品邻果、赏邻韵”，共享发展良机，共谋开放平台，共创美好未来邻水县有，，，，五个景区深受游客喜爱．一旅行社对以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向，在某小区居民做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：
（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 　　人，　　，并补全条形统计图；
（2）若该小区有居民1200人，试估计去地旅游的居民约有多少人？
（3）小军同学已去过地旅游，暑假期间计划与父母从，，，四个景区中，任选两个去旅游，求选到，两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）
22．（8分）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．
（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？
（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？
（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？
23．（8分）为了测量山坡上的信号塔的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在处测得信号塔顶端的仰角是，信号塔底端点的仰角为，沿水平地面向前走100米到处，测得信号塔顶端的仰角是，求信号塔得高度．
24．（8分）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，在图中添加阴影，使阴影部分既是轴对称图形，又是中心对称图形，且阴影部分的面积是9，请在图①、②、③中各画出一幅图形，所画的三幅图形互不全等．
五、推理与论证（9分）
25．（9分）如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使；
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求长．
六、拓展探究题（10分）
26．（10分）如图，抛物线与直线交于、两点，其中点在轴上，点坐标为，点为轴左侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以，，，为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）当点运动到直线下方某一处时，过点作，垂足为，连接使为等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标．
2024年四川省广安市邻水县中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）的绝对值是　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：的绝对值是3．
故选：．
2．（3分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，故本选项正确．
故选：．
3．（3分）邻水县素有“中国脐橙之乡”的美誉，2023年邻水脐橙产量32.86万吨，产值达15亿左右，15亿用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【解答】解：15亿．
故选：．
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A．等边三角形 B．平行四边形
C．正五边形 D．圆
【解答】解：等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形；
正五边形是轴对称图形不是中心对称图形；
圆是轴对称图形又是中心对称图形，
故选：．
5．（3分）函数中自变量的取值范围在数轴上表示正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由函数，得到，
解得：，
表示在数轴上，如图所示：
故选：．
6．（3分）若一个正边形的每个内角为，则这个正边形的所有对角线的条数是　　
A．7 B．10 C．35 D．70
【解答】解：一个正边形的每个内角为，
，解得：．
这个正边形的所有对角线的条数是：．
故选：．
7．（3分）下列命题为真命题的是　　
A．两组身高数据的方差分别是，，那么乙组的身高比较整齐
B．“明天下雨”是必然事件
C．一组数据3，5，4，5，6，7的众数，中位数和平均数都是5
D．为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行
【解答】解：、，，，甲组的身高比较整齐，故此选项是假命题；
、“明天下雨”是随机事件，故此选项是假命题；
、数据3，5，4，5，6，7的众数是5，中位数是5，平均数是，故本选项是真命题；
、由于了解某灯管的使用寿命会给灯管带来损伤破坏，所以不宜采用普查的方式进行，故此选项是假命题；
故选：．
8．（3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．且
【解答】解：方程有两个不相等的实数根，
△，
解得，
又方程为一元二次方程，
，
即，
故选：．
9．（3分）如图，是圆的直径，弦，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，假设线段、交于点，
是的直径，弦，
，
又，
，，
，，
．
故选．
方法二：证明，可得．
故选：．
10．（3分）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，有最大值为2、最小值为，此时的取值范围是．其中正确结论的个数是　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
，，
，
，故①正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于1，
因此将代入得，，
即，故②正确；
，
，
从图中可以看出，当时，函数值小于0，
，
，故③正确；
二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为，
将代入得，，
解得，
二次函数的解析式为，
当时，；
根据二次函数的对称性，得到，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：　　．
【解答】解：．
12．（3分）如图，直线，若，，则　　．
【解答】解：直线，
，
．
故答案为：．
13．（3分）若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象经过 　一、二、四　象限．
【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，
一次函数解析式为，根据、的值得出图象经过一、二、四象限．
故答案为：一、二、四．
14．（3分）某市为治理污水，需要铺设一段全长的污水排放管道，铺设后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设管道，那么根据题意，可列方程　　．
【解答】解：由题意可得，
，
化简，得
，
故答案为：．
15．（3分）如图在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，，则的度数为 　　．
【解答】解：四边形是菱形，，
，，
将沿直线翻折，使点落在上，，
，，
，，
，
故答案为：．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到△的位置，再到△的位置依次进行下去，若已知点，，则点的坐标为　　．
【解答】解：，
点，，
根据勾股定理，得
，
根据旋转可知：
，
所以点 ， ；
继续旋转得，
， ；
，
发现规律：
， ．
所以点 的坐标为．
故答案为．
三、解答题（本大题共4小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）计算：．
【解答】解：
．
18．（6分）先化简，再求值：，其中满足．
【解答】解：原式
，
当时，除式，所以不能为0，
所以．
当时，
原式
19．（6分）如图，，，、是上两点，且．求证：．
【解答】证明：
在和中
，
在和中
20．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象交于，两点，与轴交于点．
（1）求，的值及点的坐标；
（2）若点在轴上，且，直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）把点代入，得，
，
把代入反比例函数，
；
反比例函数的表达式为
联立两个函数的表达式得，
解得或
点的坐标为；
（2）当时，得，
点，
设点的坐标为，
，
，
解得，，
点或．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．（6分）第二届“巴蜀风韵橙意邻水”文化旅游宣传周活动开幕式，2023年12月26日在邻水县邻州广场隆重举行，邻水人民欢迎各界朋友来邻水“观邻景、品邻果、赏邻韵”，共享发展良机，共谋开放平台，共创美好未来邻水县有，，，，五个景区深受游客喜爱．一旅行社对以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向，在某小区居民做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：
（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 　200　人，　　，并补全条形统计图；
（2）若该小区有居民1200人，试估计去地旅游的居民约有多少人？
（3）小军同学已去过地旅游，暑假期间计划与父母从，，，四个景区中，任选两个去旅游，求选到，两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）
【解答】解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数为：（人，
，
，
去景区旅游的人数为：（人，
故答案为：200，35，
补全条形图如下：
（2）（人，
答：估计去该景区旅游的居民约有420人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选到，两个景区的结果由2种，
选到，两个景区的概率．
22．（8分）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．
（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？
（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？
（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？
【解答】解：（1）设购买1块电子白板需要元，一台笔记本电脑需要元，由题意得：
，
解得：．
答：购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元．
（2）设购买电子白板块，则购买笔记本电脑台，由题意得：
，
解得：，
为正整数，
，100，101，则电脑依次买：297台，296台，295台．
因此该校有三种购买方案：
方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块；
方案二：购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块；
方案三：购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块；
（3）解法一：
购买笔记本电脑和电子白板的总费用为：
方案一：（元
方案二：（元
方案三：（元
因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元．
解法二：
设购买笔记本电脑数为台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值（元
因此，当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时，最省钱，这时共需费用2673000元．
23．（8分）为了测量山坡上的信号塔的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在处测得信号塔顶端的仰角是，信号塔底端点的仰角为，沿水平地面向前走100米到处，测得信号塔顶端的仰角是，求信号塔得高度．
【解答】解：延长交直线于点，连接，如图所示：
则，
设的长为米，
在中，，
米，
（米，
在中，，
，
解得：，
在中，，
（米，
（米；
答：信号塔的高度约为100米．
24．（8分）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，在图中添加阴影，使阴影部分既是轴对称图形，又是中心对称图形，且阴影部分的面积是9，请在图①、②、③中各画出一幅图形，所画的三幅图形互不全等．
【解答】解：如图所示：
．
五、推理与论证（9分）
25．（9分）如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使；
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求长．
【解答】（1）证明：如图所示，连接，
点是的内心，
，
，
，
又，，
，
，
，
又为半径，
直线是的切线；
（2），
，
又（公共角），
，
，即，
，
．
六、拓展探究题（10分）
26．（10分）如图，抛物线与直线交于、两点，其中点在轴上，点坐标为，点为轴左侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以，，，为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）当点运动到直线下方某一处时，过点作，垂足为，连接使为等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标．
【解答】解：（1）直线交于、两点，其中点在轴上，
，
，
，
，
抛物线解析式为，
（2）存在，
设，，
，
，
当，故存在以，，，为顶点的平行四边形，
，
①当时，
，（舍，
，
，，
②当时，
，，
Ⅰ、，
，
，
Ⅱ、，
，
，
点的坐标为，，，．
（3）方法一，如图，
为等腰直角三角形，
，
直线可以看作是直线绕点逆时针旋转所得，
设直线解析式为，
直线解析式为，
，
直线解析式为，
联立，
（舍
当时，，
，．
方法二：如图，
直线解析式为，
直线与轴的交点坐标为，
过点作交轴于点，
，
直线解析式为，
直线与轴的交点为，，
，，
过点作的角平分线交轴于点，与抛物线相交于点，过点作，
，
，
即：为等腰直角三角形．
设点，
．，
根据角平分线定理得，，
，
，
，
直线解析式为①，
抛物线解析式为②，
联立①②得，（舍或，
，
，．
方法3，如图1，过点作直线轴，过点作于，过点作于，
且，
易知，
，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
或（舍，
，．