2024年四川省内江市市中区中考数学模拟试卷（含解析）

2024年四川省内江市市中区中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于纳秒的授时精度纳秒秒，那么纳秒用科学记数法表示为( )
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
4.四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.如图，已知，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
7.下列说法正确的是( )
A. 调查中央电视台开学第一课的收视率，应采用全面调查的方式
B. 数据，，，，的中位数是
C. 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖
D. 甲、乙两名射击运动员次射击成绩单位：环的平均数相等，方差分别为，，则甲的成绩比乙的稳定
8.我国古代数学名著张邱建算经中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，现在拿斗谷子，共换了斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为( )
A. B.
C. D.
9.如图，点、、、在上，，，则点到的距离是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，点，，以为边作正方形，点是边上一点，且，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
12.已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点下列结论：；若点，是抛物线上的两点，则；；若，则其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.因式分解：______．
14.请写出一个当时有意义的二次根式______．
15.生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型，在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型：来表示，即：，，，，，，请你推算的个位数字是______．
16.如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
先化简，再求值：，其中满足．
18.本小题分
如图，四边形是正方形，，，与交于点．
求证：；
若，求的值．
19.本小题分
我市某中学举行“中国梦我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为，，，四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
参加比赛的学生人数共有______名，在扇形统计图中，表示“等级”的扇形的圆心角为______度，图中的值为______；
补全条形统计图；
组委会决定从本次比赛中获得等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知等级中男生只有名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
20.本小题分
如图，在小山的西侧处有一热气球，以米分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为的方向升空，分钟后到达处，这时热气球上的人发现，在处的正东方向有一处着火点，在处测得着火点的俯角为，求热气球升空点与着火点的距离结果精确到米，
21.本小题分
如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点，与轴相交于点．
求和的值；
直接写出不等式的解集；
如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，双曲线交于点，连接、，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，没法合并，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则即可得出答案．
此题考查了合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】
解：用科学记数法表示纳秒为秒秒．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】
解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：解法一：如图，过点作，
，
，，
，
，
，
．
解法二：如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
．
故选：．
解法一：过点作，则，易得，进而得到，求得，于是，代入计算即可求解．
解法二：延长交于点，由平行线的性质得到，再利用三角形的外角性质可得，进而求得，最后根据平角的定义即可求解．
本题主要考查平行线的性质、三角形外角性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：由数轴得，，，
，，，
故选：．
观察数轴得到，，进一步判断出，，，从而得出结论．
本题考查了数轴，绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、调查中央电视台开学第一课的收视率，应采用抽样调查的方式，故错误，不符合题意；
B、数据，，，，的中位数是，故错误，不符合题意；
C、一个抽奖活动中，中奖概率为，抽奖次可能有次中奖，也可能不中奖，故错误，不符合题意；
D、甲、乙两名射击运动员次射击成绩单位：环的平均数相等，方差分别为，，则甲的成绩比乙的稳定，正确，符合题意．
故选：．
利用调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了概率公式、调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义等知识，解题的关键是了解统计的有关知识，难度不大．
8.【答案】
【解析】解：设清酒斗，醑酒斗，
依题意得：．
故选：．
设清酒斗，醑酒斗，根据“拿斗谷子，共换了斗酒”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：连接并延长交于，连接，如下图所示：

点、、、在上，，
，
，
为等边三角形，
，
又是的外接圆，
，，平分
，
在中，，
．
故选：．
连接并延长交于，连接，先求出，进而得为等边三角形，根据是等边的外接圆得，，平分然后解求出即可．
此题主要考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的应用，熟练掌握圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，灵活运用锐角三角函数的定义进行计算是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：点，，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
故选：．
根据勾股定理求出，然后利用锐角三角函数定义即可求出，进而可得点的坐标．
本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
11.【答案】
【解析】解：过点作于，于，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，，
，四边形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
故选：．
过点作于，于，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证得≌，≌，得到，根据等腰三角形的性质和平角的定义即可求出答案．
本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是关注特殊性，添加辅助线，需要十分扎实的基础和很强的能力．
12.【答案】
【解析】解：对称轴，
，
，错误；
抛物线开口向上，点到对称轴的距离大于点的距离，
，故正确；
时，，
，
，
，即，故正确；
对称轴，
点的对称点为，
开口向上，
时，故正确；
故选：．
由对称轴为直线，即可判断；根据点，到对称轴的距离即可判断；由时，，得出，代入即可判断；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断．
本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
，
．
根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系数的最大公约数，进一步发现提公因式后，可以用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，因式分解一定要进行到每个因式不能再分解为止．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：，
，
符合条件的二次根式为：，
故答案为：答案不唯一．
根据二次根式有意义的条件，写出符合要求的二次根式即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
15.【答案】
【解析】解：，，，，，，
尾数每个一循环，
，
又，
每一组的个数相加以后个位数字为，
组相加后个位数字为，
的个位数字为．
故答案为：．
利用已知得出数字个位数的变化规律，并求出每一个循环个数相加后的个位数字为，进而得出答案．
此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧的长与的长度和，分别进行计算即可．
【解答】
解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、，
此时最小，即：，
由题意得，，
，
，
的长，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
满足，
，
原式．
【解析】根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂的定义计算即可；
先计算括号，再计算乘除，最后整体代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
18.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，
，
又，
，
四边形是正方形，
，
，
，
．
的值为．
【解析】利用≌来求证．
利用角的关系求出和，求得结果．
本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得≌，找出相等的线段．
19.【答案】，，
解：等级的人数为人，
补全统计图，如图所示：
解：根据题意，列出表格，如下：
男 女 女
男 女、男 女、男
女 男、女 女、女
女 男、女 女、女
共有种等可能结果，其中恰是一男一女的有种，
所以恰是一男一女的概率为．
【解析】解：根据题意得：总人数为：人，
表示“等级”的扇形的圆心角为；
等级所占的百分比为，
所以，
故答案为：，，．
见答案；
见答案。
根据等级为的人数除以所占的百分比求出总人数，用乘以等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得的值；
求出等级的人数，补全条形统计图即可；
列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．
20.【答案】解：作垂足为，，
，
，
，
在中，，，
米，
答：热气球升空点与着火点的距离是米．
【解析】在中求出，再在中求出即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用、俯角俯角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．
21.【答案】解：把点坐标代入一次函数解析式可得：
，
，
点在反比例函数图象上，
；
或；理由如下：
如图，一次函数的图象与反比例函数第三象限内的图象相交于点，
由知，，
联立得：，
解得：或，
，
不等式的解集为或；
过点作于点，连接，如图，
一次函数的图象与轴相交于点，
点的坐标为，
，
四边形是菱形，
，，
．
【解析】把点坐标代入一次函数解析式可求得，则可求得点坐标，代入反比例函数解析式则可求得的值；
根据反比例函数的性质，可得答案；
根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，根据两点间距离公式，可得，根据菱形的性质，可得的长，根据平行线间的距离相等，可得．
本题考查了反比例函数综合题，解的关键是待定系数法，解的关键是利用图象的增减性；解的关键是利用平行线间的距离都相等得出是解题关键．
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