2024年贵州省毕节市大方县汇灵园实验学校中考数学模拟试卷（一）（含解析）

2024年贵州省毕节市大方县汇灵园实验学校中考数学模拟试卷（一）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的算术平方根是( )
A. B. C. D.
2.如图，将绕直角边旋转一周，所得的几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.函数中自变量的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 或
4.年毕节市参加初中毕业学业升学统一考试的学生人数约为人，将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.已知等腰三角形一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为( )
A. B. 或 C. D.
6.如图，已知，，的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，已知的半径为，弦长为，则点到的距离是( )
A.
B.
C.
D.
8.若分式的值为零，则的值是( )
A. B. C. D.
9.如图是以的边为直径的半圆，点恰好在半圆上，过作交于已知，，则的长为( )
A. B. C. D.
10.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.某商厦进货员预测一种应季衬衫能够畅销市场，就用元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍．但单价贵了元，求这两批衬衫的购进单价，若设第一批衬衫购进单价为元，则所列方程正确的是
( )
A. B.
C. D.
12.已知的图象如图所示，对称轴为直线若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.因式分解： ．
14.如图，是的直径，、为半圆的三等分点，于点，的度数为 ．
15.如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数交于点，且，则的值为______．
16.如图，中，，，是的边上的高，点是上动点，则的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中是方程的解．
18.本小题分
为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图请根据相关信息，解答下列问题：
某校学生一周体育锻炼调查问卷
以下问题均为单选题，请根据实际情况填写其中表示大于等于同时小于
问题：你平均每周体育锻炼的时间大约是______
A.小时小时
C.小时小时及以上
问题：你体育镀炼的动力是______
E.家长要求学校要求
G.自己主动其他
参与本次调查的学生共有______人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有______人；
已知该校有名学生，若每周体育锻炼小时以上含小时可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数；
请写出一条你对同学体育锻炼的建议．
19.本小题分
某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动纪念馆距学校千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度．
20.本小题分
如图，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求的长．
21.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象相交于，两点．
求反比例函数的表达式；
当时，利用函数图象求自变量的取值范围．
22.本小题分
如图所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，在同一条直线上根据以上数据，解答下列问题：
求灯管支架底部距地面高度的长结果保留根号；
求灯管支架的长度结果精确到，参考数据：．
23.本小题分
如图，在中，以为直径的交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，且．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
24.本小题分
如图，抛物线与轴交于点、，且点的坐标为，与轴交于点
求抛物线的解析式，并求出点坐标；
过点作交抛物线于点，连接、、，求四边形的周长；结果保留根号
在轴上方的抛物线上是否存在点，过点作垂直于轴，垂足为点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25.本小题分
【问题呈现】
和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系．
如图，当时，直接写出，的位置关系：______．
如图，当时，中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
当，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，的算术平方根为，
的算术平方根是，
故选：．
利用算术平方根的意义解答即可．
本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：将绕直角边旋转一周可得圆锥，圆锥的主视图是等腰三角形．
故选：．
圆锥的主视图是从物体正面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的主视图，掌握定义是关键．
3.【答案】
【解析】解：根据题意得：被开方数，
解得，
根据分式有意义的条件，，
解得，
故且．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数，分母不等于，就可以求解．
考查了函数自变量的取值范围，注意函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
4.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
5.【答案】
【解析】解：当为底时，其它两边都为，
、、可以构成三角形，
周长为；
当为腰时，
其它两边为和，
，
不能构成三角形，故舍去．
这个等腰三角形的周长为．
故选：．
因为已知长度为和两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质可得，再根据三角形内角与外角的关系可得．
此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
7.【答案】
【解析】解：过作于，
过，
，
在中，由勾股定理得：．
故选：．
过作于，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出的长．
8.【答案】
【解析】解：分式的值为零，
，解得．
故选：．
先根据分式的值为的条件列出关于的不等式组，求出的值即可．
本题考查的是分式的值为的条件，即分式的分子为，分母不为．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了三角函数的性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
根据直径所对的圆周角为直角结合垂直关系易得，又由，，即可求得答案．
【解答】
解：为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
先根据判别式的意义得到，然后解关于的一元一次不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分式方程的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．
设第一批衬衫购进单价为元，则购进第二批这种衬衫是元，根据第二批所购数量是第一批购进数量的倍，列出方程即可．
【解答】
解：设第一批衬衫购进单价为元，
则购进第二批这种衬衫是元，
依题意有：．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
、是抛物线与轴交点的横坐标，
抛物线的对称轴为，
，即，故选项A错误；
，，
，
解得：，故选项B正确；
抛物线与轴有两个交点，
，故选项C错误；
抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为，
，
，
，故选项D错误；
故选：．
利用函数图象分别得出抛物线与轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得出答案．
主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．【解答】
解：原式，
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质．
根据已知条件推出，，再证明是等边三角形即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接．
是直径，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，图象上的点满足函数解析式，求得点的坐标是解题的关键．作轴于，易得≌，根据全等三角形的性质得出，根据图象上的点满足函数解析式，把点纵坐标代入反比例函数解析式，可得横坐标；根据待定系数法，可得一次函数的解析式．
【解答】
解：作轴于，则，
在和中，
≌，
，
由直线可知，
，
，
把代入解得，，
，
代入得，，
解得，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：，，
．
过点作于点，由勾股定理得．
．
当、、三点共线，且时，
的值最小为．
中，，，，
由等腰三角形腰上的高相等，
，
在中，．
故．
故答案为：．
过点作于点，由勾股定理得继而证明当、、三点共线且时，的值最小为由等腰三角形腰上的高相等，解出的长，即为的长．
本题考查垂线段最短，涉及等腰三角形的性质、勾股定理，掌握等腰三角形的性质是关键．
17.【答案】解：原式
；
，
由，得，，
，
，
，
当时，原式．
【解析】根据实数的运算的法则计算即可；
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据可以得到的值，再将使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可．
本题考查实数的运算，分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】
【解析】解：参与本次调查的学生共有：人，
选择“自己主动”体育锻炼的学生有：人，
故答案为：，；
名，
答：估计全校可评为“运动之星”的人数大约为名；
由统计图可知，很多学生都没有达到每天锻炼小时，所以建议同学们加强体育锻炼，增强身体素质答案不唯一．
用四组的人数相加可得样本容量，用样本容量乘所占百分比可得选择“自己主动”体育锻炼的学生人数；
用乘组所占比例可得答案；
根据统计图数据解答，答案不唯一，合理即可．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19.【答案】解：设大型客车的速度为，则小型客车的速度为，
根据题意得分钟小时．
故列方程为：，
解得：．
经检验，是原方程的根．
答：大型客车的速度是．
【解析】设大型客车的速度为，则小型客车的速度为，根据时间差为分钟列出方程．
本题考查了分式方程的应用，正确地理解题意是解题的关键．
20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，是边的中点，
，，
四边形是平行四边形；
解：过点作于点，
四边形是平行四边形，，
，
，，
，，，
，则．
【解析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．
利用平行四边形的性质得出，，进而利用已知得出，，进而得出答案；
首先过点作于点，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案．
21.【答案】解：一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象相交于点，
，
，
，
反比例函数解析式为；
联立方程组得：，解得，，
，，
当时，自变量的取值范围为：或．
【解析】待定系数法求出反比例函数解析式即可；
根据两个函数图象及交点坐标的横坐标，直接写出不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
22.【答案】解：在中，，，
米，
灯管支架底部距地面高度的长为米；
延长交于点，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，米，，
米，
米，
米，
在中，米，
米，
灯管支架的长度约为米．
【解析】在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
延长交于点，根据已知易得，从而利用三角形的内角和可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】证明如图：连接，
，
，
是直径
，且
，且
，且是半径
是的切线
，
即半径为
【解析】本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，关键是灵活运用切线的判定解决问题．
由可得是等腰三角形，且可得，根据中位线定理可得，且可得，即可证是的切线
根据三角函数求，的长，再用勾股定理求的长即可求半径的长．
24.【答案】解：点和点在抛物线上，
，解得：，，
抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴为轴，则点与点关于轴对称，
．
设过点，的直线解析式为，可得：
，解得，，
．
，
可设直线的解析式为，
点在直线上，
，得，
直线的解析式为：．
将代入抛物线的解析式，得：，
解得：，，
点横坐标为，则点横坐标为，
点纵坐标为，
点坐标为．
如答图所示，过点作轴于点，
则，，，
在中，，由勾股定理得：；
在中，，，由勾股定理得：；
又，，由勾股定理得：；
四边形的周长为：．
假设存在这样的点，则与相似有两种情形：
若∽，如答图所示，
则有，即，．
设，则，，，
点的坐标为．
点在抛物线上，
，解得或，
当时，点与点重合，故舍去；当时，点在左侧，点在轴下方，不符合题意，故舍去．
因此，此种情况不存在；
若∽，如答图所示，
则有，即，．
设，则，，，
点的坐标为．
点在抛物线上，
，解得或，
，故舍去，，
点的纵坐标为：，
点的坐标为
综上所述，存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，点的坐标为

【解析】 利用待定系数法求出抛物线的解析式，点坐标可由对称性质得到，或令，由解析式得到；
关键是求出点的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形四个边的长度；
本问为存在型问题．可以先假设存在，然后按照题意条件求点的坐标，如果能求出则点存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论．
本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、勾股定理等重要知识点．第问的解题要点是求出点的坐标，第问的解题要点是分类讨论．
25.【答案】
【解析】解：，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
；
故答案为：．
成立；理由如下：
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
当点在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析可知，∽，
，
，
根据解析可知，，
，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或舍去，
此时；
当点在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析可知，∽，
，
，
根据解析可知，，
，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或舍去，
此时；
综上分析可知，或．
根据，得出，，证明≌，得出，根据，求出，即可证明结论；
证明∽，得出，根据，求出，即可证明结论；
分两种情况，当点在线段上时，当点在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．
本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．
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