2024年福建省泉州市南安市中考数学质检试卷（5月份）（含解析）

2024年福建省泉州市南安市中考数学质检试卷（5月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2.如图是一节用作遥控器电源的电池，该电池的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.年南安市“福见南安享成功”元宵节灯会在成功国际会展中心举行，期间迎来赏灯市民约人，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5.下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
6.如图，在中，用尺规作图法作出射线，交于点，，则点到的距离是( )
A. B. C. D.
7.为了解某小区居民用水情况，随机抽查了户家庭的月用水量，结果如下表，则关于这户家庭月用水量数据组的说法，错误的是( )
月用水量吨
户数
A. 中位数是 B. 众数是 C. 方差是 D. 平均数是
8.光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射如图，，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9.我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住人，那么有人无房可住；如果一间客房住人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于、的二元一次方程组正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，正方形内接于，为的中点，直线交于点，如果的半径为，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如果温度上升，记作，那么温度下降记作______
12.如图，在中，，是的中点，若，则 ______．
13.年春节期间，泉州“十龙九子”龙年艺术装置火速出圈，追“龙”合影、拍照打卡，已经成为古城游的新热潮小明与小亮两人分别从西街钟楼、文庙前广场、梨园古典剧院三个景点中随机选择一处打卡，两人恰好选择同一景点的概率是______．
14.已知圆锥的高为，母线长为，则其侧面展开图的面积为______．
15.如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，，，，将矩形绕点顺时针旋转，若点正好落在反比例函数的图象上，则 ______．
16.已知抛物线经过，，三点，若，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
解不等式组：．
19.本小题分
如图，已知，，求证：．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
为丰富课后延时服务的内容，某校开设了四类社团活动项目：象棋；篮球；剪纸；书法为了解学生对每类社团活动项目的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：
本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
类所对应的扇形圆心角为______度；
若该校共有学生人，则估计该校喜欢篮球的学生人数约有多少人？
22.本小题分
如图，在中，，点在边上，以为直径的与相切，切点为点，连接，．
求证：平分；
若的直径为，，求的长．
23.本小题分
数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下：
项目 设计遮阳篷前挡板
素材 泉州是福建省的一座沿海城市，受其地理位置影响，气候比较湿润，夏季高温多雨，日照时间长，平均年日照时数小时左右，大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳篷．
素材 我市某景点的游客服务中心，为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳篷，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板前挡板垂直于地面，抽象模型如图，现在要计算所需前挡板的宽度． 前档板
测量数据 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图．
解决
思路 运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离；再构造直角三角形，当为时，求线段的长度．
运算过程
该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助实践兴趣小组完成该部分结果精确到，参考数据：，，，
24.本小题分
已知抛物线过，与轴交于点，点在点左边，与轴交于点，且对于该二次函数图象上的任意不同两点，都满足：当时，；当时，．
求抛物线的解析式；
若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标；
若是抛物线上一点，且在直线的下方，连接交于点，过点作交于点记，的面积分别为，，判断是否存在最大值？若存在，求出最大值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
25.本小题分
如图，在等腰直角中，，，点在边上，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．
如图，若，求证：；
如图，若点在边上，与交于点，已知，，求的长；
如图，点与点重合，点为边的中点，且，，三点共线，以和为邻边作 ，连接，若，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
所给的各数中，最小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】
【解析】解：从上面看，是两个同心圆里面的圆画成实线．
故选：．
根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握俯视图的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，是比原整数位数少的数．
此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式的运算法则分别计算判断即可．
本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、，不满足三边关系，故不符合题意；
B、，不满足三边关系，故不符合题意；
C、，不满足三边关系，故不符合题意；
D、，满足三边关系，故符合题意．
故选：．
根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
6.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点．
由作图可知平分，
，，
，
点到的距离为．
故选：．
如图，过点作于点利用角平分线的性质定理判断出即可．
本题考查作图基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】
【解析】解：这组数据出现了次，最多，所以这组数据的众数为吨；
这组数据的平均数吨；
这组数据的方差；
中位数为：吨
所以四个选项中，、、D正确，C错误．
故选：．
众数是一组数据中出现次数最多的数，极差是数据中最大的与最小的数据的差，平均数是所有数据的和除以数据的个数，分别根据以上定义可分别求出众数，极差和平均数，然后根据方差的计算公式进行计算求出方差，即可得到答案．
本题考查了方差的定义、加权平均数、中位数及众数的定义，方差反映了一组数据在其平均数的左右的波动大小，方差越大，波动越大，越不稳定；方差越小，波动越小，越稳定．
8.【答案】
【解析】解：如图，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据“两直线平行，同位角线段”求出，根据角的和差求出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设该店有客房间，房客人，
根据题意得：，
故选：．
设该店有客房间，房客人，根据“一房七客多七客，一房八客一房空”得出方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意得出方程组是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，，，
正方形内接于，点是的中点，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，，
∽，
，
即，
，
．
故选：．
根据圆内接正方形的性质，直角三角形的边角关系，勾股定理，相交弦定理进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，正方形的性质，勾股定理，相交弦定理，掌握圆内接正方形的性质，直角三角形的边角关系，勾股定理，相交弦定理是正确解答的关键．
11.【答案】
【解析】解：“正”和“负”相对，
如果温度上升，记作，
温度下降记作，
故答案为：．
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
12.【答案】
【解析】解：，是的中点，，
，
故答案为：．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出即可．
此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．
13.【答案】
【解析】解：将西街钟楼、文庙前广场、梨园古典剧院三个景点分别记为，，，
列表如下：

共有种等可能的结果，其中两人恰好选择同一景点的结果有种，
两人恰好选择同一景点的概率是．
故答案为：．
列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择同一景点的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：圆锥的高为，母线长为，
由勾股定理得，底面半径，
侧面展开图的面积．
故答案为：．
利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题利用了勾股定理和圆锥的计算，圆锥的侧面积就是展开后扇形的面积，即．
15.【答案】
【解析】解：如图，作轴，垂足为，
，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
根据性质性质，三角形绕点顺时针旋转后，点落在第一象限，且坐标为，
点在反比例函数图象上，
．
故答案为：．
作轴，垂足为，可证明∽，得到，代入数据求出，，据此得到点坐标，再根据旋转性质得到旋转后的点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及旋转性质，熟练掌握旋转性质是关键．
16.【答案】或
【解析】解：抛物线，
抛物线开口向上，与轴的交点为，
抛物线经过，，三点，
对称轴为直线，
，
或，
解得或．
故的取值范围是或．
故答案为：或．
由抛物线，可知抛物线开口向上，与轴的交点为，由抛物线经过，，三点，得出对称轴为直线，然后根据点的坐标特征得出或，解不等式组即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】首先计算零指数幂、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
【解析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解”求出不等式组的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，正确进行计算是解题关键．
19.【答案】证明：在与中，
，
≌，
．
【解析】根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据证明与全等解答．
20.【答案】解：
，
当时，河源市．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：本次调查的人数是名，
的人数为名，
补全条形统计图如下：
故答案为：；
类所对应的扇形圆心角为；
故答案为：；
人，
答：估计该校喜欢篮球的学生人数约有人．
根据的人数除以所占的百分比，可得调查的人数，用总人数减去其它类别的人数求出的人数，即可补全条形统计图；
用乘以所占的百分比即可；
用总人数乘以所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】证明：连接，如图，
以为直径的与相切，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
解：的直径为，
，
，
∽，
，即，
解得，
，
在中，．
【解析】连接，如图，先根据切线的性质得到，则，然后证明，从而得到结论；
先证明∽得到，则可求出，所以，然后利用勾股定理可计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
23.【答案】解：过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：，，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
的长度约为．
【解析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出和的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：当时，；当时，，
在中，当时，随增大而减小，当时，随的增大而增大，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线过，
，
由解得，
抛物线的解析式为；
在中，令得，
解得或，
，，
在中，令得，
，
设，
，
，
，
解得或，
的坐标为或；
存在最大值，理由如下：
过作轴交与，过作轴交延长线于，如图：
设，
由，得直线解析式为，
，
，
在中，令得，
，
，
轴，
∽，
，
，
∽，
，
，
当时，的最大值为，
当时，取最大值；
的最大值为，此时的坐标为．
【解析】由当时，；当时，，知抛物线的对称轴为直线，得，又抛物线过，有，由解得，故抛物线的解析式为；
求出，，，设，根据可得，解得或，从而的坐标为或；
过作轴交与，过作轴交延长线于，设，求得直线解析式为，知，故K，求出，得，因轴，所以∽，，由，可得∽，，再根据二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理逆定理的应用，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
25.【答案】证明：设，则，
，
，
，
，
；
解：如图，
作于，
线段绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
；
解：如图，
取的中点，作，截取，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
是的中点，，
，
，
，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于点，当运动在时，最小，
作，交的延长线于，
，，
，
，
．
【解析】设，则，可推出，从而得出；
作于，可依次求得，，，，，，可证得∽，从而，从而得出，从而得出；
取的中点，作，截取，连接，可推出，从而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于点，当运动在时，最小，作，交的延长线于，根据勾股定理求得，进一步得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，确定点的运动轨迹．
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