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21.3 实际问题与一元二次方程 同步题型专练+随堂检测
题型一 传播问题
题型二 增长率问题
题型三 与图形有关的问题
题型四 数字问题
题型五 营销问题
题型六 动态几何问题
题型七 工程问题
题型八 行程问题
题型九 图表信息题
题型十 其他问题
知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；
③依据等量关系式和未知数x建立方程；
④解方程并解答。
注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。
知识点02 一元二次方程应用题常见类型：
1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。
知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础
1.增长率问题
a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
2.降低率问题
a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
总结：有关增长率和降低率的有关数量关系
增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”).
知识点04 传播问题实例探索
数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
知识点05 碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m=
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m=
【典型例题一 传播问题】
1．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后，共有64人患了该病，求每轮传染中平均一人传染了几个人？
2．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？
3．（23-24九年级上·江西赣州·期中）有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病．
(1)设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示）
(2)求x的值．
4．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有288人被感染，设每轮传染中平均一个传染了x人．
(1)经过第一轮传染后，共有__________人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案）
(2)在每轮传播中，平均一人传染了几个人？
【典型例题二 增长率问题】
1．（2024·福建福州·模拟预测）“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，3月份售出150个，5月份售出216个．求该品牌头盔月销售量的平均增长率．
2．（23-24八年级下·吉林长春·期中）列方程解应用题：某中学2023年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，预计2025年投资万元，求该学校为新增电脑投资的年平均增长率．
3．（2024·安徽淮北·三模）直播购物逐渐走进人们的生活．某电商在淘宝上对一款标价为元/件的商品进行直播销售，为了尽快减少库存，直播期间，经过两次降价后的价格为元/件，并且两次降价的百分率相同．求该商品每次降价的百分率．
4．（23-24九年级下·山东烟台·期中）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩．
(1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率．
(2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？
【典型例题三 与图形有关的问题】
1．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．
(1)若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？
(2)围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由．
2．（2024·河北唐山·二模）某校开展劳动实践活动，九（1）班分到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的矩形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形，不重叠两块是矩形和矩形．设长为米，长为y米．
(1)用含x的代数式表示y；
(2)九（1）班的小明同学说：“矩形的面积与矩形的面积的差一定大于0.”请你判断他的说法是否正确，并说明理由．
3．（2024·广东汕头·一模）实践课上，老师出示了两个长方形，如图1，长方形的两边长分别为，；如图2，长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数）
请解答下列问题：
(1)图1中长方形的面积_______；图2中长方形的面积_______；
(2)比较与的大小；
(3)现有一面积为25的正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．求的值．
4．（2024·江苏徐州·一模）如图，有一块矩形纸板，长为，宽为，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周沿虚线折起就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么在矩形纸板四角切去的正方形边长是多少？
【典型例题四 数字问题】
1．（2024八年级下·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
2．（23-24九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数：
(1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？
(2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？
3．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）．
4．（23-24九年级上·辽宁·期中）一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．
【典型例题五 营销问题】
1．（2024·安徽滁州·三模）2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？
2．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）某商店以元千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系如图中线段所示．
(1)求与的函数表达式；
(2)要使每天的销售利润达到元，销售单价应定为每千克多少元？
3．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）每年5月上旬，广阳岛回龙枇杷基地都会举办“江南枇杷节”．去年，果农小王自产自销了白玉枇杷800千克、五星枇杷200千克，且白玉枇杷的单价是五星枇杷的单价的2倍，全部售出后，销售总额为45000元．
(1)去年，果农小王销售的白玉枇杷、五星枇杷的单价分别是多少？
(2)因白玉枇杷成熟期较晚，汁多味甜，是广阳岛主力推出的新兴品种．今年，小王扩大果园的规模，并加强了科学管理，白玉枇杷、五星枇杷的产销量分别增加了和，为了推广白玉枇杷，小王决定大力降价促销，将白玉枇杷的单价下调了，五星枇杷的单价不变，全部售出后，销售总额和去年持平，求a的值．
4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型，已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元，为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价5元，平均每天可以售出________个模型，此时每天获利________元．
(2)在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【典型例题六 动态几何问题】
1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？
2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为
(1) cm， cm；(用含x的式子表示)
(2)若的面积为，求x的值．
3．（23-24九年级上·新疆伊犁·阶段练习）中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ________， ________（用含t的代数式表示）；
(2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
4．（23-24九年级上·青海西宁·期末）如图，中，，，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止运动．经过多长时间的面积是？
【典型例题七 工程问题】
1．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
2．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本；
(2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
3．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
4．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
【典型例题八 行程问题】
1．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
2．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
(1)甲运动后的路程是多少？
(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？
3．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，）
4．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值．
【典型例题九 图表信息题】
1．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
2．（23-24八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
3．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）．
(1)补全下列表格：
检测人数（人）
人均检测时间（秒）
(2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？
4．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
【典型例题十 其他问题】
1．（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛．
(1)应邀请多少支球队参加比赛？
(2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？
2．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下表：解答下列问题：
线段上的点数（包括、两点） 图例 线段总条数
3
4
5
6
(1)根据表中规律猜测线段总条数与线段上点数（包括线段的两个端点）的关系，用含的代数式表示，则___________．
(2)2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？
(3)2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？
3．（23-24八年级下·西藏日喀则·期中）为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支举行了筑牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？
4．（2024·北京昌平·二模）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的．
某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．
(1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容：
方案一：采用一次漂洗的方式.
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；
方案二：采用两次漂洗的方式.
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）；
通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好.
(2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________．
【变式训练1 传播问题】
1．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）近期流感病毒传播速度快，我们要做好预防．如果有一个人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了多少人．
2．（23-24九年级上·湖北十堰·期中）2020年初，突如其来的新冠给全世界的人们的生活带来极大的不便，甚至夺走了众多人宝贵的生命，至今它的变异病毒还在威胁着我们，让我们时刻警惕！进入秋季，容易感染流感，有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．
(1)问这种流感病毒，一个人会感染多少人？
(2)按照这样的传染速度，经过三轮后患了流感人数共有多少人？
3．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）在一次聚会上规定每两人见面必须握手，且只握手1次．
(1)若参加聚会的人数为4，共握手______次；若参加聚会的人数为（为正整数），共握手______次；
(2)若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数；
(3)嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出______张照片．
【变式训练2 增长率问题】
1．（2024·江苏泰州·二模）随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，该市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，该市充电桩数量的年平均增长率为多少？
2．（2024·宁夏吴忠·二模）某电影院对团体购票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．
(1)求每张电影票的原定零售票价；
(2)为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率．
3．（2024·安徽·模拟预测）现有某公司研发的一个新品种高产农作物，在研发第一阶段实现了亩产量400公斤的目标，第三阶段实现了亩产量2025公斤的目标．
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
(2)按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望在第四阶段实现亩产4500公斤的目标，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【变式训练3 与图形有关的问题】
1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）小欣想要硬化自己家的院内的一块空地，经测量后设计了如右图的图纸（单位：厘米），阴影区域为宽度相等的一条“L”形的健身鹅卵石小路，空白部分为地砖铺设区域．要使地砖铺设区域的面积为14平方米，求地砖铺设区域的长和宽．
2．（2024·贵州·模拟预测）如图是某公园的一块长方形空地，其长为a，宽为b，公园负责人计划在该空地上修建三条宽均为x的观赏花圃，其中两条和边平行，另一条和边平行，剩下的空白部分打造成休闲区．
(1)若，且6块空地的面积和为80，则每条花圃的宽x为多少？
(2)若，且6块空地的面积和为208，则原来矩形空地的长和宽各为多少？
3．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
(1)如果要围成面积为36平方米的花圃，的长是多少米？
(2)如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，的长时多少？
【变式训练4 数字问题】
1．（22-23九年级上·山西临汾·期中）2022年10月1日是我国建国73周年纪念日．如图，在10月份月历表上用一个方框圈出四个数．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数．
2．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数．
3．（22-23九年级上·广东珠海·期中）直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由．
【变式训练5 营销问题】
1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为3000元，市场调研表明：当销售价为3500元/台时，平均每天能销售10台；而当销售价每降低20元时，平均每天就能多售出1台．该商场为了减少库存，让利于顾客，且想使这种冰箱的销售利润平均每天达到6000元，那么每台冰箱应降价多少元？
2．（2024·广东广州·一模）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x（元/千克）
日销售量y（千克）
(1)试求出y关于x的函数表达式；
(2)当该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为2000元时，请求出销售价格．
3．（22-23九年级上·广东惠州·期中）某网店销售一款童装，每件售价60元时每周可卖300件，已知该款童装每件成本价为40元．
(1)每件的利润是 元；每周利润是 元；
(2)为避免产品积压，最大限度地减少库存，该店决定销售，经市场调查发现，每降价1元每周可多卖30件．若总利润要达到6480元，问每件童装的售价应降价多少元？
【变式训练6 动态几何问题】
1．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，在直角三角形中，，，，点从点开始沿以的速度向点A运动，同时，点从点开始沿以的速度向点运动．问点出发几秒后可使四边形的面积为面积的？
2．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，求运动时间．
3．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的度移动．当点Q到达C点时，点P，点Q停止运动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？
(2)在（1）中，当的面积等于时，求P点的运动时间．
【变式训练7 工程问题】
1．（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
2．（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．
(1)求、两点各有多少名医护人员？
(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？
3．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．
【变式训练8 行程问题】
1．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．
(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？
(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值．
2．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小凤每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？
3．（2023·浙江台州·一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）
(1)当时，求关于t的函数关系式；
(2)求图中a的值；
(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．
【变式训练9 图表信息题】
1．（23-24九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求规定用水量a的值
2．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
（1）当时，请直接写出的值；
（2）当时，求的值．
3．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得．
任务：
（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）．
（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）．
【变式训练10 其他问题】
1．（2024·江苏泰州·二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息：
信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩；
信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元．
根据以上信息完成下列问题：
(1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本；
(2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？
2．（23-24八年级下·广西百色·期中）【阅读材料】
一般地，我们把按一定顺序排列的一列数称为数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式来计算等差数列的和，公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值．
例如：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21．
就是一个等差数列，公差，，，
所以．
用上面的知识解决下列问题
【完成任务】
（1）等差数列：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43．则_____，_____，_____；
【能力提升】
（2）有一等差数列的和为450，用式子表示为：，求这个数列中数的个数n；
【延伸拓展】
（3）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2011年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2011、2012、2013、2014四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．
2011年 2012年 2013年 2014年
植树后坡荒地的实际面积(公顷) 25200 24000 22400 20400
3．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）某宾馆有房间40间，当每间房间定价为300元/天时，可全部住满．每间房间定价每增加10元/天，未入住的房间将增加1间．入住的房间的维护费为20元/天，未入住的房间的维护费为5元/天．
(1)当每间房间定价为360元/天时，入住的房间有 间；
(2)若该宾馆每天的收入为11350元，每间房间定价为多少元/天？（宾馆每天的收入=入住的房费-维护费）
1．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广东中山·二模）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺．
A．2 B．10 C．8 D．6
3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，一张等腰直角三角形纸片，已知，先裁剪出①号长方形，然后在剩余的大纸片三角形中剪出②号长方形，且满足，当①号长方形的面积为时，则②号长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九年级·全国·竞赛）由于技术水平的不断提高，某些石材加工设备的生产成本不断降低，下表是甲、乙两种设备分别在2012年和2014年每套的生产成本情况．
年份 甲种设备的生产成本（元/台） 乙种设备的生产成本（元/台）
2012年 50000 60000
2014年 28125 33750
现有下列结论：
①从2012年到2014年，甲种设备的生产成本年平均下降率为；
②从2012年到2014年，乙种设备的生产成本的年平均下降率比甲种设备大；
③按甲种设备生产成本的年平均下降率估计，2013年甲种设备平均每台的生产成本为元；
④若乙种设备生产成本的年平均下降率不变，则估计2016年，乙种设备每台的生产成本为元．其中正确的结论有（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③ D．②③④
6．（2024·山东济宁·三模）习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程 ．
7．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元．
8．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图， 矩形中， 为对角线， 点E在上， ，若 ，则线段的长为 ．
9．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是．
10．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解x的值为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的正方形，已知图2中阴影部分的面积和为56，则方程的正数解x的值为 ．
11．（2024·陕西渭南·二模）现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完）
12．（2024八年级下·浙江·专题练习）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
13．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．
图1 图2
(1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．
(2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
14．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，中，，，．
(1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发．
①经过多少秒钟，的面积等于；
②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为．
15．（2022·重庆·二模）某汽车租赁公司用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元．
(1)求该公司购进A、B两种型号的轿车数量分别是多少；
(2)据统计，每辆A型车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加300元，未租出的车将增加1辆．B型车的月租金为每辆3000元，因价格相对较低，每月均能全部租出．租出的车每辆每月的平均维护费为500元，未租出的车辆每月平均维护费为100元．规定每辆车月租金不能超过5000元，当每辆A型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元？中小学教育资源及组卷应用平台
21.3 实际问题与一元二次方程 同步题型专练+随堂检测
题型一 传播问题
题型二 增长率问题
题型三 与图形有关的问题
题型四 数字问题
题型五 营销问题
题型六 动态几何问题
题型七 工程问题
题型八 行程问题
题型九 图表信息题
题型十 其他问题
知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；
③依据等量关系式和未知数x建立方程；
④解方程并解答。
注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。
知识点02 一元二次方程应用题常见类型：
1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。
知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础
1.增长率问题
a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
2.降低率问题
a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
总结：有关增长率和降低率的有关数量关系
增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”).
知识点04 传播问题实例探索
数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
知识点05 碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m=
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m=
【典型例题一 传播问题】
1．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后，共有64人患了该病，求每轮传染中平均一人传染了几个人？
【答案】每轮传染中平均一人传染了7个人．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出数量关系正确列方程是解题关键．设每轮传染中平均一人传染了个人，由题意可知，第一轮患病人数为人，第二轮患病人数为人，据此列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一人传染了个人，
由题意得：，
解得：，（舍），
答：每轮传染中平均一人传染了7个人．
2．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？
【答案】主干长出了6个支干
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
设主干长出x个支干，则长出个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43列出关于x的一元二次方程求解即可．
【详解】解：设主干长出x个支干，则长出个小分支，
根据题意得：，
即，
解得： 或（不合题意舍去）．
答：主干长出了6个支干．
3．（23-24九年级上·江西赣州·期中）有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病．
(1)设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示）
(2)求x的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）根据这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人即可求解；
（2）根据题意可列方程求解．
【详解】（1）解：∵这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴一个人可致使x个人患这种疾病，
∴第一轮后共有个人患病，
同理：第二轮后共有个人患病，
故答案为：，；
（2）解：列方程，
解方程，得（不合题意，舍去），
故的值为．
4．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有288人被感染，设每轮传染中平均一个传染了x人．
(1)经过第一轮传染后，共有__________人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案）
(2)在每轮传播中，平均一人传染了几个人？
【答案】(1)
(2)在每轮传播中，平均一人传染了11个人
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用：
（1）有两人最初感染了病毒，则第一轮会新感染人，再加上最初的两人即可得到答案；
（2）第一轮会新感染人，再加上第一轮感染后的人数即为第二轮感染后感染病毒的人数，据此列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵最初有两个人感染这种病毒，每轮传染中平均一个传染了x人，
∴经过第一轮传染后，共有人感染了病毒，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：在每轮传播中，平均一人传染了11个人．
【典型例题二 增长率问题】
1．（2024·福建福州·模拟预测）“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，3月份售出150个，5月份售出216个．求该品牌头盔月销售量的平均增长率．
【答案】该品牌头盔月销售量的平均增长率为．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该品牌头盔月销售量的平均增长率为x，根据题意列一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设该品牌头盔月销售量的平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔月销售量的平均增长率为．
2．（23-24八年级下·吉林长春·期中）列方程解应用题：某中学2023年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，预计2025年投资万元，求该学校为新增电脑投资的年平均增长率．
【答案】该学校为新增电脑投资的年平均增长率为
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率模型．
设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该学校为新增电脑投资的年平均增长率为 ．
3．（2024·安徽淮北·三模）直播购物逐渐走进人们的生活．某电商在淘宝上对一款标价为元/件的商品进行直播销售，为了尽快减少库存，直播期间，经过两次降价后的价格为元/件，并且两次降价的百分率相同．求该商品每次降价的百分率．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的应用．正确理解题意、列出方程是解题的关键．
设每次降价的百分率为x，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，
依题意得，，
∴，
或，
解得：，（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率为．
4．（23-24九年级下·山东烟台·期中）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩．
(1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率．
(2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？
【答案】(1)该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为
(2)销售单价应定位元
【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为；
（2）解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：
∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠
∴销售单价应定位元．
【典型例题三 与图形有关的问题】
1．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．
(1)若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？
(2)围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由．
【答案】(1)鸡场的长为15米，宽为10米
(2)不能
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．
（1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；
（2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，根据根的判别式的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得：
，
解得：，
当时，，
当时，，（舍去），
则养鸡场的宽是，长为．
（2）解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
，
整理得：，
，
∵方程没有实数根，
∴围成养鸡场的面积不能达到160平方米．
2．（2024·河北唐山·二模）某校开展劳动实践活动，九（1）班分到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的矩形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形，不重叠两块是矩形和矩形．设长为米，长为y米．
(1)用含x的代数式表示y；
(2)九（1）班的小明同学说：“矩形的面积与矩形的面积的差一定大于0.”请你判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1)
(2)他的说法正确．理由见详解
【分析】（1）根据长方形的周长公式解答即可；
（2）用含的代数式分别表示出矩形的长和宽，根据长方形的面积公式写出其面积表达式；利用作差法判断两个面积的大小即可．
本题考查一元二次方程的应用、矩形和正方形的性质，掌握矩形和正方形的性质及其周长和面积公式、二次函数求最值的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：根据长方形的周长公式，得，即，
关于的函数表达式为．
（2）解：他的说法正确．理由如下：
，
，
，
，，
，
，
，
．
即矩形的面积与矩形的面积的差一定大于0．
3．（2024·广东汕头·一模）实践课上，老师出示了两个长方形，如图1，长方形的两边长分别为，；如图2，长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数）
请解答下列问题：
(1)图1中长方形的面积_______；图2中长方形的面积_______；
(2)比较与的大小；
(3)现有一面积为25的正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)1
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用、整式的加减的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握运算法则以及方法是解此题的关键．
（1）根据长方形面积公式结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出答案；
（2）计算出，结合为正整数得出，即可得解；
（3）由题意得出正方形的边长为，结合正方形的面积为即可得出关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，，
故答案为：，；
（2）解：，
由于为正整数，
所以，
所以，
即；
（3）解：因为图1中长方形的周长为，
所以正方形的边长为；
依题意得，
解得，（不合题意，舍去），
答：的值为1．
4．（2024·江苏徐州·一模）如图，有一块矩形纸板，长为，宽为，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周沿虚线折起就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么在矩形纸板四角切去的正方形边长是多少？
【答案】在矩形纸板四角切去的正方形边长是
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设在矩形纸板四角切去的正方形边长是，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设在矩形纸板四角切去的正方形边长是，根据题意得，
解得：（舍去）
答：在矩形纸板四角切去的正方形边长是．
【典型例题四 数字问题】
1．（2024八年级下·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
【答案】257
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解数字与每个位上的数字的关系是关键．设该三位数的百位数字是，则十位数字是，个位数字是．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程．
【详解】解：设该三位数的百位数字是为正整数），则十位数字是，个位数字是．则：
，
整理，得：，
所以．
所以或，
解得，或（舍去），
则，，
则该三位数是257．
答：这个数是257．
2．（23-24九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数：
(1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？
(2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？
【答案】(1)
(2)这两个正整数分别是4和5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）首先求出这两个连续的正整数中较大的数是4，然后列式求解即可；
（2）设较小的整数是，则较大的整数是，根据题意列出方程，然后解方程即可．
【详解】（1）∵这两个连续的正整数中，较小的数是3，
∴较大的数是4，
∴它们的平方之和为；
（2）设较小的整数是，则较大的整数是，
由题可得：，
方程可化为：，
把方程左边因式分解，得：，
解得：，（舍去），
答：这两个正整数分别是4和5．
3．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）．
【答案】这个最小数为5
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65，列出方程求解即可．
【详解】解：设这个最小数为x，则最大数为，根据题意，
得．
解得或（不符合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
4．（23-24九年级上·辽宁·期中）一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．
【答案】两位数为92或29
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据个位数字与十位数字的平方和为85，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设个位数字为 x，则十位数字为，
，
解得：，
当时，两位数为92，
当时，两位数为29．
答：两位数为92或29．
【典型例题五 营销问题】
1．（2024·安徽滁州·三模）2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？
【答案】下调后每辆汽车的售价为21万元．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设下调后每辆汽车的售价万元，售价降低万元，则平均每周多售出辆，根据总利润=每辆汽车的销售利润×销售量建立方程，求解即可
【详解】解：设下调后每辆汽车的售价万元，每辆汽车的销售利润为万元时，
，
整理可得：，解得：，，
因为要尽量让利顾客，所以．
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
2．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）某商店以元千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系如图中线段所示．
(1)求与的函数表达式；
(2)要使每天的销售利润达到元，销售单价应定为每千克多少元？
【答案】(1)
(2)元或元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用．
观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出与的函数表达式；
根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出
【详解】（1）解：设与的函数表达式为，
将代入，
得：，
解得：
与的函数表达式为
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：
答：销售单价应定为每千克元或元．
3．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）每年5月上旬，广阳岛回龙枇杷基地都会举办“江南枇杷节”．去年，果农小王自产自销了白玉枇杷800千克、五星枇杷200千克，且白玉枇杷的单价是五星枇杷的单价的2倍，全部售出后，销售总额为45000元．
(1)去年，果农小王销售的白玉枇杷、五星枇杷的单价分别是多少？
(2)因白玉枇杷成熟期较晚，汁多味甜，是广阳岛主力推出的新兴品种．今年，小王扩大果园的规模，并加强了科学管理，白玉枇杷、五星枇杷的产销量分别增加了和，为了推广白玉枇杷，小王决定大力降价促销，将白玉枇杷的单价下调了，五星枇杷的单价不变，全部售出后，销售总额和去年持平，求a的值．
【答案】(1)五星枇杷的单价为25元，白玉枇杷的单价为50元
(2)a的值为12.5
【分析】本题考查了一元一次方程及一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决问题的关键．
（1）设五星枇杷的单价为x元，则白玉枇杷的单价为元，根据题意列方程求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）设五星枇杷的单价为x元，则白玉枇杷的单价为元，
根据题意可得，，
解得，
∴，
∴五星枇杷的单价为25元，白玉枇杷的单价为50元．
（2）根据题意可知，，
令，整理得，
解得（舍去）或，
∴．
即a的值为12.5．
4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型，已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元，为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价5元，平均每天可以售出________个模型，此时每天获利________元．
(2)在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【答案】(1)30，
(2)要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键．
（1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润；
（2）设每个模型降价x元，则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程和不等式，解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：
降价5元后每件利润：（元），
降价5元后销量：（个），
降价5元后每天获利：（元），
答：每个模型降价5元，平均每天可以售出30个模型，此时每天获利元．
故答案为：30，．
（2）解：设每个模型降价x元，
则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，
依题意得：
即：，
解得，，
因为每个模型盈利不少于元，
所以
即，
故，
答：要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元．
【典型例题六 动态几何问题】
1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？
【答案】2秒
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设经x秒时间使的面积等于，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解．
【详解】解：设经x秒时间使的面积等于，根据题意得：
，
解得： (不符合题意，舍去)，
答：经2秒时间使的面积等于．
2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为
(1) cm， cm；(用含x的式子表示)
(2)若的面积为，求x的值．
【答案】(1)，
(2)1或5
【分析】（1）根据点，的运动速度及时间，即可用含的代数式表示出当运动时间为时，的长度；
（2）根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，的长度；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，．
故答案为：；．
（2）解：依题意得：，
即，
整理得：，
解得：，．
答：的值为1或5．
3．（23-24九年级上·新疆伊犁·阶段练习）中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ________， ________（用含t的代数式表示）；
(2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)当时，使得的面积为
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键．
（1）根据路程速度时间表示出、，再由即可得到答案；
（2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：，，
，
故答案为：，；
（2）解：由题意得：，
解得：，，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，使得的面积为．
4．（23-24九年级上·青海西宁·期末）如图，中，，，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止运动．经过多长时间的面积是？
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意得，，根据题意列出一元二次方程解题即可．
【详解】解：，，
当运动时间为时，，
，，
根据题意可得，
即，
整理得：，
解得（舍去），
答：经过的面积是．
【典型例题七 工程问题】
1．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米
【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论；
选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论；
【详解】选（1）或（2）
（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米
经检验：是所列方程的解
答：原计划每天修建下水管道的长度为米．
（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米
（舍）
经检验：是所列方程的解．
答：原计划每天修建下水管道的长度为米．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
2．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本；
(2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元
(2)的值为
【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解；
（2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解．
【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，
∴，解得，，
∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元．
（2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，
∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元，
∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去），
∴的值为．
【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键．
3．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2)的值为10
【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，
根据题意得，
，
解得：，
则，
答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
，
整理得，，
解得：，（舍去），
∴的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．
4．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米
(2)m的值为18
【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，
根据题意得，，
解得：，
则，
∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米；
（2）解：根据题意得，
，
整理得，，
解得：（舍去），
∴m的值为18．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．
【典型例题八 行程问题】
1．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)小美每分钟跑360米
(2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键．
（1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可；
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，
根据题意，得，
解得：，
经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意，
则，
答：小美每分钟跑360米．
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟．
2．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
(1)甲运动后的路程是多少？
(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？
【答案】(1)
(2)它们运动了秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键．
（1）将代入，计算求解即可；
（2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：当时，，
答：甲运动后的路程是；
（2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，
∴，整理得，，
∴，
解得，或（舍去）．
答：它们运动了秒．
3．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，）
【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少
(2)小球滚动约用了秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；
（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，
答：小球的滚动速度平均每秒减少．
（2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不符题意，舍去，
，
答：小球滚动约用了秒．
4．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时；
(2)．
【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可；
（）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时；
（2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时，
由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：的值为．
【典型例题九 图表信息题】
1．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【答案】(1)10%
(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：
（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或（张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（23-24八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
【答案】(1)；
(2)9．
【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案；
（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为
故答案为：
（2）设四个数中，最小数为，根据题意，得.
解得（不符合题意负值舍去）
答：这个最小值为9.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）．
(1)补全下列表格：
检测人数（人）
人均检测时间（秒）
(2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？
【答案】(1)40，，29，26
(2)他今日检测总人数为人
【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格；
（2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒，
由题意得：、，
补全表格如下：
检测人数人
人均检测时间秒
（2）解：由题意得，，
解得，，
当时，检测总人数为人，
每位大白的检测人数不超过人，
不符合题意，舍去，
当时，检测总人数为人，
答：他今日检测总人数为人．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键．
4．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
【答案】(1)x（90－x）元
(2)50度
【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解；
（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解．
【详解】（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
∵超过部分按每度元交电费，
∴超过部分应交的电费为x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x1＝30不合题意，舍去．
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【典型例题十 其他问题】
1．（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛．
(1)应邀请多少支球队参加比赛？
(2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？
【答案】(1)设应邀请6支球队参加比赛
(2)实际共比赛22场
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设应该邀请支球队参加比赛，根据双循环比赛安排30场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用比赛总场次数该球队参加的场次数剩下5支球队实行双循环比赛的场次数，即可求出结论．
【详解】（1）解：设应邀请x支球队参加比赛，
由题意得：
解得：，（不合题意，舍去）．
答：设应邀请6支球队参加比赛．
（2）解：（场）
答：实际共比赛22场．
2．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下表：解答下列问题：
线段上的点数（包括、两点） 图例 线段总条数
3
4
5
6
(1)根据表中规律猜测线段总条数与线段上点数（包括线段的两个端点）的关系，用含的代数式表示，则___________．
(2)2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？
(3)2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？
【答案】(1)
(2)36场
(3)16支
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，线段的定义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，掌握从特殊向一般猜想的方法，得出线段的总条数与线段上的点数的关系式．
（1）线段的总条数与线段上的点数的关系式；
（2）先将代入（1）中的关系式求出每小组4个队单循环赛一共比赛的场数，再乘以组数6即可；
（3）设共有几支球队参加比赛，根据所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得．
故答案为：；
（2）解：每小组4个队单循环赛一共比赛：（场，
共6个组，（场．
答：第一轮共要进行36场比赛；
（3）解：设共有几支球队参加比赛，根据题意得：
，
解得或（舍去）．
答：共有16支球队参加比赛．
3．（23-24八年级下·西藏日喀则·期中）为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支举行了筑牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？
【答案】20本
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题中等量关系列出方程是解题的关键．设购买笔记本x本，钢笔为支，根据“笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元”列出方程求解即可．
【详解】解：设购买笔记本x本，钢笔为支，由题意得，
解得：．
答：本次活动中学校购买了20本笔记本．
4．（2024·北京昌平·二模）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的．
某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．
(1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容：
方案一：采用一次漂洗的方式.
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；
方案二：采用两次漂洗的方式.
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）；
通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好.
(2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________．
【答案】(1)；；；二
(2)10；
【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键．
（1）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答：
实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断；
（2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即可解决问题．
【详解】（1）解：方案一：采用一次漂洗的方式．
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的；
方案二：采用两次漂洗的方式．
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的，
若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的
，方案二效果更好；
故答案为：，，；二；
（2）解：，
当时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好，
第一次用 10斤清水，漂洗效果最好，
二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的
故答案为：二，．
【变式训练1 传播问题】
1．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）近期流感病毒传播速度快，我们要做好预防．如果有一个人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了多少人．
【答案】每轮传染中平均一个人传染了15人
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮后有人感染，第二轮会新感染人，再根据经过两轮传染后共有256人患了流感，列出方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了15人．
2．（23-24九年级上·湖北十堰·期中）2020年初，突如其来的新冠给全世界的人们的生活带来极大的不便，甚至夺走了众多人宝贵的生命，至今它的变异病毒还在威胁着我们，让我们时刻警惕！进入秋季，容易感染流感，有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．
(1)问这种流感病毒，一个人会感染多少人？
(2)按照这样的传染速度，经过三轮后患了流感人数共有多少人？
【答案】(1)这种流感病毒，一个人会感染人
(2)
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程；
（1）设一个人会感染人，依题意得，解方程即可求解；
（2）根据题意列出算式，求得经过三轮后患了流感人数即可求解．
【详解】（1）解：设一个人会感染人，依题意得
解得： ( 舍 )
答：这种流感病毒，一个人会感染人
（2）解：（人），
答：按照这样的传染速度，经过三轮后患了流感人数共有人．
3．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）在一次聚会上规定每两人见面必须握手，且只握手1次．
(1)若参加聚会的人数为4，共握手______次；若参加聚会的人数为（为正整数），共握手______次；
(2)若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数；
(3)嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出______张照片．
【答案】(1)6，
(2)10人
(3)
【分析】本题考查了一元二次次方程的应用，解题的关键是：
（1）根据握手次数参会人数（参会人数，即可求出结论，论结合参会人数为，即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合共握手45次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）由每两个人之间互送一张照片可得出每个同学需送出张照片，再乘人数即可求出结论．
【详解】（1）解：参加聚会的人数为4，则共握手（次）；
参加聚会的人数为为正整数），则共握手次．
故答案为：6，；
（2）设有人参加聚会，根据题意得，
，
解得：，（不合题意，舍去），
答：参加聚会的有10人；
（3）根据题意得（张）．
答：共送出张照片，
故答案为：．
【变式训练2 增长率问题】
1．（2024·江苏泰州·二模）随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，该市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，该市充电桩数量的年平均增长率为多少？
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该市充电桩数量的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】设该市充电桩数量的年平均增长率为，可列方程：
解得，（舍去）
答：该市充电桩数量的年平均增长率为．
2．（2024·宁夏吴忠·二模）某电影院对团体购票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．
(1)求每张电影票的原定零售票价；
(2)为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率．
【答案】(1)50元
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程和分式方程的应用，
（1）设每张门票的原定票价为元，则降价后的价格为元，根据按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元，列出方程，解方程即可；
（2）设原定票价平均每次的降价率为，根据原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设每张门票的原定票价为元，则降价后的价格为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：每张门票的原定票价为50元．
（2）解：设原定票价平均每次的降价率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：原定票价平均每次的降价率为．
3．（2024·安徽·模拟预测）现有某公司研发的一个新品种高产农作物，在研发第一阶段实现了亩产量400公斤的目标，第三阶段实现了亩产量2025公斤的目标．
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
(2)按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望在第四阶段实现亩产4500公斤的目标，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【答案】(1)
(2)能，理由见详解
【分析】（1）设亩产量的平均增长率为，根据第三阶段亩产量第一阶段亩产量增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用第四阶段水稻亩产量第三阶段亩产量增长率），可求出第四阶段亩产量，将其与4500公斤比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设亩产量的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为．
（2）解：能，理由如下：
依题意，（公斤）．
∵，
他们的目标能实现．
【变式训练3 与图形有关的问题】
1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）小欣想要硬化自己家的院内的一块空地，经测量后设计了如右图的图纸（单位：厘米），阴影区域为宽度相等的一条“L”形的健身鹅卵石小路，空白部分为地砖铺设区域．要使地砖铺设区域的面积为14平方米，求地砖铺设区域的长和宽．
【答案】地砖铺设区域的长为4米，宽为米
【分析】本题考查了一元二次方程在图形方面的应用，根据题意正确列出方程是关键；设小路的宽为x米，则可分别表示出地砖铺设区域的长和宽，根据等量关系：地砖铺设区域的面积为14平方米，列出方程并解之即可．注意舍去不合题意的解．
【详解】解：设小路的宽为x米，则地砖铺设区域的长为米，宽为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：（舍去），
∴（米），（米）；
答：地砖铺设区域的长为4米，宽为米．
2．（2024·贵州·模拟预测）如图是某公园的一块长方形空地，其长为a，宽为b，公园负责人计划在该空地上修建三条宽均为x的观赏花圃，其中两条和边平行，另一条和边平行，剩下的空白部分打造成休闲区．
(1)若，且6块空地的面积和为80，则每条花圃的宽x为多少？
(2)若，且6块空地的面积和为208，则原来矩形空地的长和宽各为多少？
【答案】(1)2
(2)长为20，宽为15
【分析】本题考查了一元二次方程的运用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；
（1）设每条花圃的宽x，可得出空地的部分合成为一个长，宽为的长方形，结合6块空地的面积和为80列方程求解即可；
（2）设长为，宽为，可得出空地的部分合成为一个长，宽为的长方形，结合6块空地的面积和为208列方程求解即可；
【详解】（1）由题意得：，
解得：（舍），
∴每条花圃宽为2；
（2），
∴可设长为，宽为，
由题意得：，
解得：（舍），
，
∴原矩形空地长为20，宽为15．
3．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
(1)如果要围成面积为36平方米的花圃，的长是多少米？
(2)如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，的长时多少？
【答案】(1)的长是米
(2)的长是米或米
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，利用长方形的面积运算方法列出方程是解题的关键．
（1）设的长为米，则的长为米，根据长方形的面积=长宽列出方程运算即可；
（2）设的长为米，则的长为米，根据长方形的面积=长宽列出方程运算即可．
【详解】（1）解：设的长为米，则的长为米，
根据题意得：，
解得，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
∴的长是6米；
（2）设的长为米，则的长为米，
根据题意得：，
解得，，
当时，，符合题意，
当m＝6时，，符合题意，
∴的长是米或米．
【变式训练4 数字问题】
1．（22-23九年级上·山西临汾·期中）2022年10月1日是我国建国73周年纪念日．如图，在10月份月历表上用一个方框圈出四个数．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数．
【答案】这个最小数是6
【分析】设这个最小数为，则最大数为，根据最小数与最大数的乘积为，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】设这个最小数为，则最大数为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：， (不符合题意，舍去)．
答：这个最小数是6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
2．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数为26．
【分析】设原来的两位数十位上的数字为，根据“原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设原来的两位数的十位数字为，
，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
答：原来的两位数为26．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（22-23九年级上·广东珠海·期中）直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由．
【答案】存在五个连续正整数，它们分别为：
【分析】假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，再根据题意，得出，解出然后再根据题意，得出符合题意的的值，进而即可得出第一个正整数，再通过计算即可得出这五个正整数．
【详解】解：假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，
∴可得：，
解得：或，
∵这五个数为正整数，
∴，
∴，，，，
∴这五个正整数为：，
∴存在五个连续正整数，它们分别为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在设出这五个正整数，再找到等量关系准确列出方程．
【变式训练5 营销问题】
1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为3000元，市场调研表明：当销售价为3500元/台时，平均每天能销售10台；而当销售价每降低20元时，平均每天就能多售出1台．该商场为了减少库存，让利于顾客，且想使这种冰箱的销售利润平均每天达到6000元，那么每台冰箱应降价多少元？
【答案】每台冰箱应降价200元．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每台冰箱应降价x元，根据销售价每降低20元时，平均每天就能多售出1台，销售利润平均每天达到6000元，列出方程进行求解即可．正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】解：设每台冰箱应降价x元，根据题意得：
，
解得，，
∵商场为了减少库存，让利于顾客，，
∴，
答：每台冰箱应降价200元．
2．（2024·广东广州·一模）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x（元/千克）
日销售量y（千克）
(1)试求出y关于x的函数表达式；
(2)当该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为2000元时，请求出销售价格．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用；
（1）根据表格数据，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为，将代入，得
，
解得：，
∴；
（2）解：依题意，，
即，
解得：或（舍去）
答：销售价为元/千克．
3．（22-23九年级上·广东惠州·期中）某网店销售一款童装，每件售价60元时每周可卖300件，已知该款童装每件成本价为40元．
(1)每件的利润是 元；每周利润是 元；
(2)为避免产品积压，最大限度地减少库存，该店决定销售，经市场调查发现，每降价1元每周可多卖30件．若总利润要达到6480元，问每件童装的售价应降价多少元？
【答案】(1)20，6000
(2)每件童装的售价应降价8元
【分析】
本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
（1）根据利润等于售价减成本，总利润等于单件利润乘以销量，计算即可；
（2）设每件童装的售价应降价元，根据，每降价1元每周可多卖30件，总利润要达到6480元，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：（元）；
（元）；
故答案为：20，6000；
（2）设每件童装的售价应降价元，由题意，得：
，
解得：，
∵最大限度地减少库存，
∴每件童装的售价应降价8元．
【变式训练6 动态几何问题】
1．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，在直角三角形中，，，，点从点开始沿以的速度向点A运动，同时，点从点开始沿以的速度向点运动．问点出发几秒后可使四边形的面积为面积的？
【答案】3秒
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据四边形的面积为面积的列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：当运动时间为时，，，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
即当秒时，四边形的面积为面积的
2．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，求运动时间．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设运动时间为，则，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设运动时间为，则，依题意，得：
，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
即当的面积等于时，运动时间为．
3．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的度移动．当点Q到达C点时，点P，点Q停止运动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？
(2)在（1）中，当的面积等于时，求P点的运动时间．
【答案】(1)3秒
(2)P点的运动时间2秒或3秒．
【分析】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设经过t秒后，PQ的长度等于，利用勾股定理列出方程，求解即可；
（2）设经过x秒后，的面积等于，表示出，，则，再由三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）设经过t秒后，PQ的长度等于．
∵点P的速度为，点Q的速度为，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴3秒后，的长度为；
（2）设经过x秒后，的面积等于，
∴，，则，
∵的面积等于
∴，
解得，，
∴P点的运动时间2秒或3秒．
【变式训练7 工程问题】
1．（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵
(2)物业管理公司实际购买两种树共56棵
【分析】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案．
（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到方程式求出满足条件的值，即可得出答案．
【详解】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，
根据题意，可得，
解得，．
答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．
（2）根据题意，可得，
整理得，，
解得：，，
∵，∴，
∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，
答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键．
2．（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．
(1)求、两点各有多少名医护人员？
(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？
【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人
(2)从B检测队中抽调了2人到A检测队
【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人，
依题意得：，分解得：
答：A检测队有6人，B检测队有7人；
（2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人，
依题意得：，
解得：，解得：，，
由于从B对抽调部分人到A检测队，则故，
答：从B检测队中抽调了2人到A检测队．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
3．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．
【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米
(2)18
【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；
（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．
【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得
，
解得，
米，
所以A型设备每小时铺设的路面110米；
（2）根据题意得：，
解得，（舍去），
答：m的值是18．
【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
【变式训练8 行程问题】
1．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．
(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？
(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值．
【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米
(2)的值为
【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可；
（2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可．
【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得
解得
∴（米）
所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米；
（2）解：依题意，得
整理得
解得（舍），
答：的值为．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键．
2．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小凤每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？
【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟；
(2)小凤从地到地锻炼共用70分钟．
【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可；
（2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可．
【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，
原方程的解为，
∴小凤的跑步速度为每分钟，
答：小凤的跑步速度为每分钟；
（2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分，
则小凤从地到地所用时间为（分钟）．
设小凤从地到地用时分钟，
根据题意，得，
解得或（舍去），
则（分钟）．
答：小凤从地到地锻炼共用70分钟．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键．
3．（2023·浙江台州·一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）
(1)当时，求关于t的函数关系式；
(2)求图中a的值；
(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)7，理由见解析
【分析】（1）设关于t的函数关系式为，根据经过点利用待定系数法即可得到答案；
（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为，利用小明在4s时第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；
（3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案．
【详解】（1）解：设关于t的函数关系式为，把点代入得，
，
解得，
∴关于t的函数关系式为；
（2）解：对于球来说，，
小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为，
由小明在4s时第一次追上球可得，，
解得，
即图中a的值为；
（3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑米，由（1）知，，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为，
，，则，
，
第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了米，
，
第三次踢后，变化规律为，
，，则，
，
第三次追上，则，（舍去），，此时又经过了米，
，
又开始下一个循环，
故第四次踢球所需时间为，经过24米，
故第五次踢球所需时间为，经过48米，
故第六次踢球所需时间为，经过24米，
故第七次踢球所需时间为，经过48米，
∵，，
∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次，
故答案为：7
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．
【变式训练9 图表信息题】
1．（23-24九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求规定用水量a的值
【答案】（1） ；（2）10
【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；
（2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，
元；
（2）若 ，有
，解得： ，即 ，不合题意，舍去，
∴ ，
根据题意得： ，
解得： （舍去），
答：规定用水量a的值为10吨．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
2．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
（1）当时，请直接写出的值；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）或；（2）或
【分析】（1）根据题意可得：，然后求解一元二次方程即可；
（2）根据题中计算图可得：，由，代入化简可得：，求解方程，然后代入即可得．
【详解】解：（1）由题意可得：，
，
则或，
解得或；
（2）由题意得：，
，
，
整理得：，
∴，
则或，
解得或，
或．
【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出与之间关系是解题关键．
3．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得．
任务：
（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）．
（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）．
【答案】（1）②；（2）．
【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图；
（2）仿照案例构造图形即可求得x的值．
【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②．
故答案为：②；
（2）首先构造了如图2所示的图形．
图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．
【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想．
【变式训练10 其他问题】
1．（2024·江苏泰州·二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息：
信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩；
信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元．
根据以上信息完成下列问题：
(1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本；
(2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？
【答案】(1)3000元
(2)甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出相应的方程和不等式．
（1）先将代入，得出，求出乙种蔬菜的种植面积，然后求出乙种蔬菜的种植成本即可；
（2）根据甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元，得出，求出x的值，根据甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩，求出，得出结果即可．
【详解】（1）解：令，
∴，
解得：，
∴乙种蔬菜种植面积为（亩），
（元）
答：乙种蔬菜总种植成本为3000元．
（2）解：由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵且，
∴，
∴，此时乙种蔬菜种植（亩）
答：甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩．
2．（23-24八年级下·广西百色·期中）【阅读材料】
一般地，我们把按一定顺序排列的一列数称为数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式来计算等差数列的和，公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值．
例如：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21．
就是一个等差数列，公差，，，
所以．
用上面的知识解决下列问题
【完成任务】
（1）等差数列：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43．则_____，_____，_____；
【能力提升】
（2）有一等差数列的和为450，用式子表示为：，求这个数列中数的个数n；
【延伸拓展】
（3）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2011年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2011、2012、2013、2014四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．
2011年 2012年 2013年 2014年
植树后坡荒地的实际面积(公顷) 25200 24000 22400 20400
【答案】（1）1，3，330；（2）；（3）到2020年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．
（1）根据题意，找出a、d、n，再由公式来计算等差数列的和，即可得到答案；
（2）根据题意，找出a、d、并设出n，再由公式来列方程求解即可得到答案；
（3）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意，得：第一个数字是1，公差为3，共用15个数字，
即，，，，
∵，
∴，
故答案为：1；3；330；
（2）由题意，得：第一个数字是2，公差为4，
即，，
设共用n个数字，
∵，
∴；
解得：，即；
（2）解：由表可知，第一年种了：(公顷)，
第二年种了：(公顷)，
第三年种了：(公顷)，
∴公差为(公顷)，
设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得
，
整理得：，
∴或(负值舍去)．
∴完成年份为：；
答：到年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
3．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）某宾馆有房间40间，当每间房间定价为300元/天时，可全部住满．每间房间定价每增加10元/天，未入住的房间将增加1间．入住的房间的维护费为20元/天，未入住的房间的维护费为5元/天．
(1)当每间房间定价为360元/天时，入住的房间有 间；
(2)若该宾馆每天的收入为11350元，每间房间定价为多少元/天？（宾馆每天的收入=入住的房费-维护费）
【答案】(1)34
(2)400
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键
（1）利用入住的房间数，即可求出结论；
（2）设每间房间定价为x元/天，则入住的房间有间有，根据该宾馆每天的收入要达到11350元，可得出关于x的一元二次方程，求解取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：（间），
∴当每间房间定价为360元/天时，入住的房间有34间．
故答案为： 34；
（2）解：设每间房间定价为x元/天，则入住的房间有 间，
根据题意得：
，
整理得：
解得：
又为正整数，
答：每间房间定价为400元/天．
1．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为：
这两个数的平方和为：，
两数相差4，
．
故选：C．
2．（2024·广东中山·二模）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺．
A．2 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键．
利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可．
【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是尺，根据勾股定理可得：
，
整理得：，
解得（舍去）或．
则门高：．
故选：C．
3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，一张等腰直角三角形纸片，已知，先裁剪出①号长方形，然后在剩余的大纸片三角形中剪出②号长方形，且满足，当①号长方形的面积为时，则②号长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形，关键是设，由矩形的面积公式得到，求出的值，从而求出长方形的面积．由条件判定是等腰直角三角形，设，得到，，，，，由长方形面积公式得到，求出或（舍去），即可求出长方形的面积．
【详解】解：是等腰直角三角形，
，
四边形，是长方形，
，，，，
，，
，
是等腰直角三角形，
设 ，
，
∴，
，，
，
，
长方形的面积，
或（舍去），
长方形的面积．
故选：C．
4．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键．
设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值．
【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2．
则，，，
则．
∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为，
∴，
∴，
∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为
故选：C．
5．（2024九年级·全国·竞赛）由于技术水平的不断提高，某些石材加工设备的生产成本不断降低，下表是甲、乙两种设备分别在2012年和2014年每套的生产成本情况．
年份 甲种设备的生产成本（元/台） 乙种设备的生产成本（元/台）
2012年 50000 60000
2014年 28125 33750
现有下列结论：
①从2012年到2014年，甲种设备的生产成本年平均下降率为；
②从2012年到2014年，乙种设备的生产成本的年平均下降率比甲种设备大；
③按甲种设备生产成本的年平均下降率估计，2013年甲种设备平均每台的生产成本为元；
④若乙种设备生产成本的年平均下降率不变，则估计2016年，乙种设备每台的生产成本为元．其中正确的结论有（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③ D．②③④
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据增长率模型可逐项分析各选项进行判断即可得出结论．
【详解】解：①设甲种设备的生产成本年平均下降率为x，根据题意得：
解得，（舍去）
所以，甲种设备的生产成本年平均下降率为，①正确；
②设乙种设备的生产成本年平均下降率为y，根据题意得：
解得，（舍去）
所以，乙种设备的生产成本年平均下降率为，
即甲、乙两种设备的生产成本年平均下降率相同，②错误；
③2013年甲种设备平均每台的生产成本为，③错误；
④若乙种设备生产成本的年平均下降率不变，则估计2016年，乙种设备每台的生产成本为元，④是正确的
