福建省泉州市安溪第一中学2023-2024学年高一下学期6月份质量检测数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省泉州市安溪第一中学2023-2024学年高一下学期6月份质量检测数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-09 14:24:06 | ||
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文档简介
福建省安溪第一中学
2023-2024学年高一年下学期6月份质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知向量，，若，则
A． B． C． D．
2．已知复数满足，且，则
A．2 B． C． D．
3．根据河北省第七次全国人口普查结果，2020年11月1日零时全省各地区的人口数据如下表所示，则这14个地区的数据的第85百分位数为
地区 石家庄 唐山 秦皇岛 邯郸 邢台 保定 张家口
人口数 10640458 7717983 3136879 9413990 7111106 9242610 4118908
地区 承德 沧州 廊坊 衡水 定州 辛集 雄安新区
人口数 3354444 7300783 5464087 4212933 1095986 594628 1205440
A．1095986 B．7717983 C．9242610 D．9413990
4．一个内壁底面半径为2的圆柱体玻璃杯中盛有体积为的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱体玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则
A． B． C． D．
5．队共有甲、乙两名队员回答某道题，有1人答出则此题回答正确，甲答出的概率为，乙答出的概率为，则此题队回答正确的概率是
A． B． C． D．
6．在平行四边形中，，，，将沿折起，使得平面平面，则到平面的距离为
A． B． C． D．
7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图．
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图3所示，盛水桶（视为质点）的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为
A． B． C． D．
8．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，，，为所在平面上的点，满足，，，，，分别为的内角，，的对边），则欧拉线一定过
A．，， B．，， C．，， D．，，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数，则下列说法正确的是
A．若为实数，则
B．若为纯虚数，则或
C．在复平面内对应的点不可能在第二象限
D．在复平面内对应的点不可能在第三象限
10．已知点是的重心，点，，，点是上靠近点的三等分点，则
A． B． C． D．
11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则
A． B．
C．的取值范围是 D．的取值范围是，
第II卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则实数的值为 ．
13．正边长为2，点满足，则 ．
14．已知两个非零向量与，它们的夹角为，定义为向量与的向量积，是一个向量，它的模．若，则
（1）当时， ；
（2）若向量与为单位向量，当时，在上的投影向量（与同向的单位向量为为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知复数满足，．
（1）求；
（2）若复数满足，求．
16．（本小题满分15分）
某市对该市全体高中学生举行了一次关于环境保护相关知识的测试，统计人员从校随机抽取了300名学生，从校随机抽取了400名学生，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间，内，并将收集到的数据按照，，，，，，，，，分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．
（1）估计校这300名学生成绩的分位数；
（2）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计校抽取的300名学生成绩的平均值为，校抽取的400名学生成绩的平均值为，以及，两校抽取的700名学生成绩的平均值为，试比较和的大小．
17．（本小题满分15分）
如图，在三棱锥中，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
18．（本小题满分17分）
如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，设．
（1）试建立矩形的面积关于的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，当为何值时，取最大值，并求出最大值．
19．（本小题满分17分）
如图，在三棱台中，平面，，，，．
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
福建省安溪第一中学
2023-2024学年高一年下学期6月份质量检测
数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．【解答】解：因为向量，，，所以，即．故选：．
2．【解答】解：设，，由，，
得，即，．．故选：．
3．【解答】解：将这14个地区的数据按从小到大排列：594628，1095986，1205440，3136879，3354444，4118908，4212933，5464087，7111106，7300783，7717983，9242610，9413990，10640458，
因为，
所以这14个地区的数据的第85百分位数为第12个数据，
即这14个地区的数据的第85百分位数为9242610．故选：．
4．【解答】解：由题意，玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积，
已知玻璃球的半径等于圆柱形玻璃杯的底面半径为2，
则玻璃球的体积为，圆柱的底面面积为，
若放入一个玻璃球后，水恰好淹没玻璃球，此时水面的高度为4，
，可得．故选：．
5．【解答】解：根据题意，队中，甲答出的概率为，乙答出的概率为，则甲、乙答不出的概率分别为，，故队答出的概率为．故选：．
6．【解答】解：由，，，得，，则，，又四边形为平行四边形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
在平面内，作于点，平面平面，平面平面，
平面，则即为所求点到平面的距离，
在直角三角形中，，又，．
到平面的距离为．故选：．
7．【解答】解：设初始位置对应的角为，则，则，
因为筒车转动的角速度为，
所以水桶到水面的距离，
当时，则有，故选：．
8．【解答】解：因为，，，为所在平面上的点，则有：
由，可知点为的外心，设边的中点为，则，
又，，
所以，即，，三点共线且点为靠近点的三等分点，故点为的重心，
由可知，当时，点是的重心，反之则不是，
由可得：，即，
同理可得：，，故点为的垂心，
由欧拉线定义可知，欧拉线一定经过，，三点．故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【解答】解：，对于，若为实数，则，故正确；对于，若为纯虚数，则，解得，故错误；
对于，因为，所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，错误，正确．故选：．
10．【解答】解：点是的重心，点，，，
对于，设点，则，所以，故正确；
对于，点是上靠近点的三等分点，则，
设，则，，，即，
解得，所以，故正确；
对于，因为，，，则，
即，故错误；
对于，，，故错误．
故选：．
11．【解答】解：因为，，所以，
由正弦定理得，由二倍角公式得，
可得，由和差化积公式可得，
即，因为为锐角三角形，
所以，，所以，
所以或（舍去），即，故正确，错误；
因为，由正弦定理可得，即，
由题意得，解得，又，解得，，
又，可得，，
所以，，，，
即的取值范围是，，故错误，正确．故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【解答】解：，则，即．故答案为：0．
13．【解答】解：已知正边长为2，则，因为，
所以，所以．
故答案为：2．
14．【解答】解：（1），且，
，
与为两个非零向量，，，，
又，，；
（2）当时，，，
向量与为单位向量，，，
又，，，
，，，，，
，
，
在上的投影向量（与同向的单位向量为为．
故答案为：（1）；（2）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
【解答】解：（1）由题意得，
，所以或（舍去），
故；
（2）设，则，
所以，解得或，
所以或．
16．（本小题满分15分）
【解答】解：（1）不妨设分位数为，此时，，
则，解得，
所以估计校这300名学生成绩的分位数为88.75；
（2）易知，
，
此时，
因为统计人员从校随机抽取了300名学生，从校随机抽取了400名学生，
所以校与校抽取的学生人数比值为，
则校抽取的学生人数占总数的校抽取的学生人数占总数的，
所以，两个学校抽取的700名学生成绩的平均值，
因为，所以．
17．（本小题满分15分）
【解答】（1）证明：连接．
在中，因为，是的中点，所以，
．
在等边中，．
在中，，，，
所以，所以，即．
又，平面，平面，所以平面．
（2）解：分别取，的中点，，连接、、．
因为，，分别是，，的中点，
所以，分别是，的中位线，
所以，，
所以（或其补角）就是异面直线与所成的角，
在中，，．
因为是斜边上的中线，所以．
在等腰中，．所以异面直线与所成角的余弦值为．
18．（本小题满分17分）
【解答】解：（1）在中，，，
在中，，
所以，
矩形的面积为
．
（2）由
．
由，得，当，即时，．
因此，当时，取最大值，且最大值为．
（本小题满分17分）
【解答】（1）证明：因为平面，，
所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，4，，，0，，，0，，，2，，，0，，
所以，0，，，，，所以，即．
（2）解：由（1）知，，2，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，所以，，，
设与平面所成角为，则，，
故与平面所成角的正弦值为．
2023-2024学年高一年下学期6月份质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知向量，，若，则
A． B． C． D．
2．已知复数满足，且，则
A．2 B． C． D．
3．根据河北省第七次全国人口普查结果，2020年11月1日零时全省各地区的人口数据如下表所示，则这14个地区的数据的第85百分位数为
地区 石家庄 唐山 秦皇岛 邯郸 邢台 保定 张家口
人口数 10640458 7717983 3136879 9413990 7111106 9242610 4118908
地区 承德 沧州 廊坊 衡水 定州 辛集 雄安新区
人口数 3354444 7300783 5464087 4212933 1095986 594628 1205440
A．1095986 B．7717983 C．9242610 D．9413990
4．一个内壁底面半径为2的圆柱体玻璃杯中盛有体积为的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱体玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则
A． B． C． D．
5．队共有甲、乙两名队员回答某道题，有1人答出则此题回答正确，甲答出的概率为，乙答出的概率为，则此题队回答正确的概率是
A． B． C． D．
6．在平行四边形中，，，，将沿折起，使得平面平面，则到平面的距离为
A． B． C． D．
7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图．
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图3所示，盛水桶（视为质点）的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为
A． B． C． D．
8．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，，，为所在平面上的点，满足，，，，，分别为的内角，，的对边），则欧拉线一定过
A．，， B．，， C．，， D．，，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数，则下列说法正确的是
A．若为实数，则
B．若为纯虚数，则或
C．在复平面内对应的点不可能在第二象限
D．在复平面内对应的点不可能在第三象限
10．已知点是的重心，点，，，点是上靠近点的三等分点，则
A． B． C． D．
11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则
A． B．
C．的取值范围是 D．的取值范围是，
第II卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则实数的值为 ．
13．正边长为2，点满足，则 ．
14．已知两个非零向量与，它们的夹角为，定义为向量与的向量积，是一个向量，它的模．若，则
（1）当时， ；
（2）若向量与为单位向量，当时，在上的投影向量（与同向的单位向量为为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知复数满足，．
（1）求；
（2）若复数满足，求．
16．（本小题满分15分）
某市对该市全体高中学生举行了一次关于环境保护相关知识的测试，统计人员从校随机抽取了300名学生，从校随机抽取了400名学生，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间，内，并将收集到的数据按照，，，，，，，，，分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．
（1）估计校这300名学生成绩的分位数；
（2）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计校抽取的300名学生成绩的平均值为，校抽取的400名学生成绩的平均值为，以及，两校抽取的700名学生成绩的平均值为，试比较和的大小．
17．（本小题满分15分）
如图，在三棱锥中，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
18．（本小题满分17分）
如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，设．
（1）试建立矩形的面积关于的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，当为何值时，取最大值，并求出最大值．
19．（本小题满分17分）
如图，在三棱台中，平面，，，，．
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
福建省安溪第一中学
2023-2024学年高一年下学期6月份质量检测
数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．【解答】解：因为向量，，，所以，即．故选：．
2．【解答】解：设，，由，，
得，即，．．故选：．
3．【解答】解：将这14个地区的数据按从小到大排列：594628，1095986，1205440，3136879，3354444，4118908，4212933，5464087，7111106，7300783，7717983，9242610，9413990，10640458，
因为，
所以这14个地区的数据的第85百分位数为第12个数据，
即这14个地区的数据的第85百分位数为9242610．故选：．
4．【解答】解：由题意，玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积，
已知玻璃球的半径等于圆柱形玻璃杯的底面半径为2，
则玻璃球的体积为，圆柱的底面面积为，
若放入一个玻璃球后，水恰好淹没玻璃球，此时水面的高度为4，
，可得．故选：．
5．【解答】解：根据题意，队中，甲答出的概率为，乙答出的概率为，则甲、乙答不出的概率分别为，，故队答出的概率为．故选：．
6．【解答】解：由，，，得，，则，，又四边形为平行四边形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
在平面内，作于点，平面平面，平面平面，
平面，则即为所求点到平面的距离，
在直角三角形中，，又，．
到平面的距离为．故选：．
7．【解答】解：设初始位置对应的角为，则，则，
因为筒车转动的角速度为，
所以水桶到水面的距离，
当时，则有，故选：．
8．【解答】解：因为，，，为所在平面上的点，则有：
由，可知点为的外心，设边的中点为，则，
又，，
所以，即，，三点共线且点为靠近点的三等分点，故点为的重心，
由可知，当时，点是的重心，反之则不是，
由可得：，即，
同理可得：，，故点为的垂心，
由欧拉线定义可知，欧拉线一定经过，，三点．故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【解答】解：，对于，若为实数，则，故正确；对于，若为纯虚数，则，解得，故错误；
对于，因为，所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，错误，正确．故选：．
10．【解答】解：点是的重心，点，，，
对于，设点，则，所以，故正确；
对于，点是上靠近点的三等分点，则，
设，则，，，即，
解得，所以，故正确；
对于，因为，，，则，
即，故错误；
对于，，，故错误．
故选：．
11．【解答】解：因为，，所以，
由正弦定理得，由二倍角公式得，
可得，由和差化积公式可得，
即，因为为锐角三角形，
所以，，所以，
所以或（舍去），即，故正确，错误；
因为，由正弦定理可得，即，
由题意得，解得，又，解得，，
又，可得，，
所以，，，，
即的取值范围是，，故错误，正确．故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【解答】解：，则，即．故答案为：0．
13．【解答】解：已知正边长为2，则，因为，
所以，所以．
故答案为：2．
14．【解答】解：（1），且，
，
与为两个非零向量，，，，
又，，；
（2）当时，，，
向量与为单位向量，，，
又，，，
，，，，，
，
，
在上的投影向量（与同向的单位向量为为．
故答案为：（1）；（2）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
【解答】解：（1）由题意得，
，所以或（舍去），
故；
（2）设，则，
所以，解得或，
所以或．
16．（本小题满分15分）
【解答】解：（1）不妨设分位数为，此时，，
则，解得，
所以估计校这300名学生成绩的分位数为88.75；
（2）易知，
，
此时，
因为统计人员从校随机抽取了300名学生，从校随机抽取了400名学生，
所以校与校抽取的学生人数比值为，
则校抽取的学生人数占总数的校抽取的学生人数占总数的，
所以，两个学校抽取的700名学生成绩的平均值，
因为，所以．
17．（本小题满分15分）
【解答】（1）证明：连接．
在中，因为，是的中点，所以，
．
在等边中，．
在中，，，，
所以，所以，即．
又，平面，平面，所以平面．
（2）解：分别取，的中点，，连接、、．
因为，，分别是，，的中点，
所以，分别是，的中位线，
所以，，
所以（或其补角）就是异面直线与所成的角，
在中，，．
因为是斜边上的中线，所以．
在等腰中，．所以异面直线与所成角的余弦值为．
18．（本小题满分17分）
【解答】解：（1）在中，，，
在中，，
所以，
矩形的面积为
．
（2）由
．
由，得，当，即时，．
因此，当时，取最大值，且最大值为．
（本小题满分17分）
【解答】（1）证明：因为平面，，
所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，4，，，0，，，0，，，2，，，0，，
所以，0，，，，，所以，即．
（2）解：由（1）知，，2，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，所以，，，
设与平面所成角为，则，，
故与平面所成角的正弦值为．
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