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2023-2024学年第二学期上海市八年级数学期末练习卷
（时间100分钟，满分100分）
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．下列函数中，其图像不经过第一象限的函数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， ABCD中，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AB＝CD
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．AC＝BA
D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
3．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
4．如果二次三项式能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5．以下描述和的关系不正确的是（ ）
A. 方向相反 B. 模相等 C. 平行 D. 相等
小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：
①；②；③；④，⑤．
从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满分24分）
7．若与成正比例，且当时，，则与的函数关系式是 .
8．点（m，y1），（m+1，y2）都在函数y=kx+b的图象上，若y1-y2=3，则k= ．
9． 方程的解是_________．
关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），
则方程的解是 ．
11．若y=++1，求3x+y的值是 ．
12．一次函数的图像经过点(1，0)．当y>0时，x的取值范围是 ．
13．已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则第三边长为 ．
如图，一个正五边形和一个正方形各有一边在直线上，且只有一个公共顶点A，
则的大小为 度．
15．如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为 .
16．若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的面积为 ．
17．用换元法解方程：时，如果设，
那么原方程可以化为关于的整式方程是______．
18．如图，是正方形的边上的一点，沿折叠，使点落在点，已知，若使为等边三角形，则线段的长是 ．
解答题（本大题共8题，第19、20、21、22题每题6分，
第23、24、25题每题8分，第26题10分）
19．解方程
20．解方程
21．有四张形状、大小和质地一样的卡片A、B、C、D，正面分别画有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张，接着再随机抽取一张．
(1)请你用树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果，并求两次抽取的正多边形边数和最小的概率；
(2)求两次抽取的正多边形既是中心对称又是轴对称图形的概率．
22．解方程：
(1)；
(2)．
23.如图，平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接EF．
（1）写出与相等的向量______；
（2）填空：_____；
（3）求作：．（在原图上保留作图痕迹，不要求写作法）
24．“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店在世界读书日之际，计划购进A类和B类图书，因为A类图书每本进价比B类图书每本进价高，所以用960元购进A类图书的数量比用同样的费用购进B类图书的数量少12本，
（1）求A、B两类图书每本的进价：
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：，解得，经检验是原方程的解
乙：，解得，经检验是原方程的解．
那么甲同学所列方程中的x表示_______，乙同学所列方程中的x表示_________．
按以上两类图书的进价，该书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本．
然后将A类图书的售价定为每本52元，B类图书的售价定为每本40元，
书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元，那么书店分别购进了这两类图书多少本？
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B、C，与直线相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）已知点P在线段上．
①若点P是的中点，求线段的长度；
②点D在直线上，点H在x轴上，当四边形是正方形时，求点P的坐标．
26．如图，在△ABC中，点D为直线BC上一动点，∠DAE＝90°，AD＝AE．
(1)如果∠BAC＝90°，AB＝AC．
①如图1，当点D在线段BC上时，线段CE与BD的位置关系为__________，数量关系为__________；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由；
(2)如图3，若△ABC是锐角三角形，∠ACB=45°，当点D在线段BC上运动时，证明：CE⊥BD．
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2023-2024学年第二学期上海市八年级数学期末练习卷解析
（时间100分钟，满分100分）
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．下列函数中，其图像不经过第一象限的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：函数不经过第一象限，所以k<0，b<0
故选A.
2．如图， ABCD中，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AB＝CD
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．AC＝BA
D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质，菱形的判定及矩形的判定可得出答案．
【详解】解：A、平行四边形对边相等，选项说法正确，不符合题意；
B、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，选项说法正确，不符合题意；
C、△ABC不一定是等腰三角形，选项说法错误，符合题意；
D、有一个角是90°的平行四边形是矩形，选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
3．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据根的判别式依次判断即可.
【详解】A、，，有实数根，故A选项错误；
B、，，有实数根，故B选项错误；
C、，，没有实数根，故C选项正确；
D、，，由实数根，故D选项错误；
故选C.
4．如果二次三项式能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出的范围即可．
【详解】解：二次三项式能在实数范围内分解因式，
，
解得：，
故选：A．
5．以下描述和的关系不正确的是（ ）
A. 方向相反 B. 模相等 C. 平行 D. 相等
【答案】D
【解析】
【分析】利用单位向量的定义和性质直接判断即可．
【详解】解：A、和的关系是方向相反，正确；
B、和的关系是模相等，正确；
C、和的关系是平行，正确；
D、和的关系不相等，错误；
故选：D．
小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：
①；②；③；④，⑤．
从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的判定方法求解即可．
【详解】解：：①；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定是菱形；
②；根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，可判定是矩形；
③；是本身具有的性质，无法判定是菱形；
④，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形；
⑤．根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定是矩形
∴共有5种等可能结果，其中符合题意的有2种
∴能判定是菱形的概率为
故选：B．
二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满分24分）
7．若与成正比例，且当时，，则与的函数关系式是 .
【答案】
【分析】设，再利用待定系数法求解即可.
【详解】解：设，把，代入得：，解得：.
所以与的函数关系式是：，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，属于常考题型，掌握求解的方法是关键.
8．点（m，y1），（m+1，y2）都在函数y=kx+b的图象上，若y1-y2=3，则k= ．
【答案】-3
【分析】将（m，y1），（m+1，y2）分别代入函数y=kx+b，可得y1=mk+b，y2=k（m+1）+b，再根据y1-y2=3，即可得到k的值．
【详解】解：将（m，y1），（m+1，y2）分别代入函数y=kx+b，可得
y1=mk+b，y2=k（m+1）+b，
∵y1-y2=3，
∴mk+b-k（m+1）-b=3，
∴k=-3，
故答案为-3．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
9． 方程的解是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
移项得出，两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：移项，得，
两边平方，得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解是．
故答案为：．
关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），
则方程的解是 ．
【答案】
【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】解：∵关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），
∴方程变形为，
即此方程中或，
解得或．
故方程的解为．
故答案为．
11．若y=++1，求3x+y的值是 ．
【答案】3
【分析】先根据二次根式有意义的条件，列出关于x的不等式组，求出x的取值，问题得解．
【详解】解：∵y＝有意义，
∴，解得x=，
∴y=1，
∴3x+y=2+1=3．
12．一次函数的图像经过点(1，0)．当y>0时，x的取值范围是 ．
【答案】x<1
【分析】先用待定系数法，求出a的值．当y>0时，用含x的代数式表示y，解不等式即可．
【详解】解：把(1，0)代入一次函数，得
a+2=0，
解得：a=-2，
∴，
当y>0时，即，
解得：x<1．
故答案为：x<1．
13．已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则第三边长为 ．
【答案】5或8
【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质，三角形的三边关系，根据5和8为腰长分类讨论即可．分类讨论是解题的关键．
【详解】解：当5的边长为腰时，三角形的三边为5、5、8
，满足三角形的三边关系；
当8的边长为腰时，三角形的三边为5、8、8
也满足三角形的三边关系
∴三角形的第三边长为5或8
故答案为：5或8．
如图，一个正五边形和一个正方形各有一边在直线上，且只有一个公共顶点A，
则的大小为 度．
【答案】18
【分析】利用正多边形的性质求出的度数，即可解决问题．
【详解】解：正五边形的每个内角是，正方形的每个内角是
故答案为：18．
15．如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为 .
【答案】6
【分析】延长AO交BC于D，过O作BC的垂线，设垂足为E，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，设AB的长为xcm，由此可表示出OD、BD和DE的长；在Rt△ODE中，根据∠ODE的度数，可得出OD=2DE，进而可求出x的值．
【详解】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，
设AB的长为xcm，
∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°，
∴△ADB为等边三角形；
∴BD=AD=AB=xcm；
∵OE⊥BC，
∴BE=BC=5cm，
∴DE=（x-5）cm，OD=（x-4）cm，
又∵∠ADB=60°，∴∠DOE=30°，
∴DE=OD，
∴x-5=（x-4），
解得：x=6．
故答案为6．
16．若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的面积为 ．
【答案】10
【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的面积公式，先求解一元二次方程，得到两根即为菱形对角线的长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可求解．
【详解】解：
解得：，即菱形对角线的长分别为5和4，
菱形的面积为：，
故答案为：10．
17．用换元法解方程：时，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了换元法解分式方程，设，则方程可转化为：然后再去分母，将该分式方程转化为整式方程即可．
【详解】解：设，
则方程可转化为：，
去分母，方程两边同时乘以y，得：，
故答案为：．
18．如图，是正方形的边上的一点，沿折叠，使点落在点，已知，若使为等边三角形，则线段的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、含角的直角三角形的性质、等边对等角、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，由正方形的性质可得，，由等边三角形的性质可得，从而得出，由折叠的性质可得，作交于，则，从而得出，，由含角的直角三角形的性质、等边对等角结合勾股定理得出，，结合即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
为等边三角形，
，
，
由折叠的性质可得：，
如图，作交于，则，
，
，，
，，，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
解答题（本大题共8题，第19、20、21、22题每题6分，
第23、24、25题每题8分，第26题10分）
19．解方程
【答案】x=1
【分析】把无理方程转化为有理方程，通常把方程两边平方，逐步使含有未知数的根式有理化．
【详解】解: ,化为：，
两边平方得：3x-2=9-6+x+3,
整理得：6=14-2x,3=7-x,
两边平方得：9(x+3)=49-14x+x ,整理得：x -23x+22=0,解得：x=1或x=22,
检验：把x=1代入原方程，左边=右边，故x=1是原方程的解；
把x=22代入原方程，左边≠右边，所以x=22是增根.
故原方程的解是x=1.
20．解方程
【答案】，．
【解析】
【分析】先把化为，得到或，再分别联立求出x,y即可．
【详解】可以化为：，
所以：或
原方程组可以化为：（Ⅰ）与（Ⅱ）
解（Ⅰ）得，解（Ⅱ）得
答：原方程组的解为与．
21．有四张形状、大小和质地一样的卡片A、B、C、D，正面分别画有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张，接着再随机抽取一张．
(1)请你用树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果，并求两次抽取的正多边形边数和最小的概率；
(2)求两次抽取的正多边形既是中心对称又是轴对称图形的概率．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据题意画出树状图，进而即可求解；
（2）根据中心对称与轴对称图形的定义，可得正方形与正六边形既是中心对称又是轴对称图形，根据（1）的树状图即可求解．
【详解】（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
两次抽取的正多边形边数和最小的结果数为2，
所以两次抽取的正多边形边数和最小的概率．
（2）解：∵正方形与正六边形既是中心对称又是轴对称图形，共有12种等可能的结果数；
其中两次抽取的正多边形既是中心对称又是轴对称图形的有2种可能，
∴两次抽取的正多边形既是中心对称又是轴对称图形的概率为．
22．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）两边直接开平方求解即可．
【详解】（1）解：，
，
则或，
解得，；
（2），
或，
解得，．
23.如图，平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接EF．
（1）写出与相等的向量______；
（2）填空：_____；
（3）求作：．（在原图上保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】（1）
（2）或
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，向量问题熟练掌握平行四边形法则与三角形法则是解题的关键，要注意向量要从方向与大小两个方面考虑求解．
（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，，然后求出，再根据向量的定义解答；
（2）求出，连接，根据向量的三角形法则可得，再根据，利用三角形法则求解即可；
（3）过点作，取，根据向量的三角形法则求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，，
，，
，
，
与相等的向量是；
故答案： ；
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
又，
（或；
故答案为： 或；
【小问3详解】
解：如图，即为所作．
24．“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店在世界读书日之际，计划购进A类和B类图书，因为A类图书每本进价比B类图书每本进价高，所以用960元购进A类图书的数量比用同样的费用购进B类图书的数量少12本，
（1）求A、B两类图书每本的进价：
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：，解得，经检验是原方程的解
乙：，解得，经检验是原方程的解．
那么甲同学所列方程中的x表示_______，乙同学所列方程中的x表示_________．
（2）按以上两类图书的进价，该书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本．然后将A类图书的售价定为每本52元，B类图书的售价定为每本40元，书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元，那么书店分别购进了这两类图书多少本？
【答案】（1）B类图书每本进价；A类图书的数量
（2）书店分别购进了A类图书50本，B类图书70本
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，正确地理解题意是解题的关键．
（1）根据所列方程即可判断出的意义；
（2）根据“书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本”和“书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元”列出方程组，解方程组即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据所列方程即可知，甲所列方程中的表示B类图书每本进价；
乙所列方程中的表示A类图书的数量；
故答案为：B类图书每本进价；A类图书的数量；
【小问2详解】
根据甲同学计算可得：A类图书每本进价元，B类图书每本进价30元，
根据题意得：，
解得：，
∴书店分别购进了A类图书50本，B类图书70本，
答：书店分别购进了A类图书50本，B类图书70本．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B、C，与直线相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）已知点P在线段上．
①若点P是的中点，求线段的长度；
②点D在直线上，点H在x轴上，当四边形是正方形时，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】该题主要考查了正方形的性质，一次函数交点求解，等知识点，解题的关键是数形结合．
（1）联立解析式即可求解；
（2）①求出点P坐标，点的坐标，即可求解；
②当四边形是正方形时，正确画出图象，根据正方形性质即可求解；
【小问1详解】
解：联立函数解析式得，
解得．
∴点的坐标为．
【小问2详解】
①若点P是的中点，
则，
把代入得，
解得：，
∴点的坐标为，
．
②如图，
当四边形是正方形时，，
设，
则，
解得或3（舍去），
即点P的坐标为．
26．如图，在△ABC中，点D为直线BC上一动点，∠DAE＝90°，AD＝AE．
(1)如果∠BAC＝90°，AB＝AC．
①如图1，当点D在线段BC上时，线段CE与BD的位置关系为__________，数量关系为__________；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由；
(2)如图3，若△ABC是锐角三角形，∠ACB=45°，当点D在线段BC上运动时，证明：CE⊥BD．
【答案】(1)①CE⊥BD；CE=BD；②结论仍成立，理由见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；
②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；
（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．
【详解】（1）①∵∠BAD=90°－∠DAC，∠CAE=90°－∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
又 BA=CA，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE=∠B=45°，CE=BD．
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，
即 CE⊥BD．
故答案为：CE⊥BD；CE=BD．
②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．
∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
又AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴CE=BD，∠ACE=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即 CE⊥BD；
（2）证明：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB=45°，
∴∠AGC=45°，
∴AC=AG，
即△ACG是等腰直角三角形，
∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC，
∴∠GAD=∠CAE，
又∵DA=EA，
∴△GAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠AGD=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即CE⊥BD．
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