2023-2024学年湖州二中高一第二学期数学5月月考数学（含解析）

湖州二中2023学年第二学期5月月考
高一数学试卷
总分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．已知为单位向量，则“的夹角为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知事件相互独立，，则（ ）
A．0.58 B．0.9 C．0.7 D．0.72
4．从3名男老师和4名女老师中任选3名老师，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一名男老师与都是男老师
B．至少有一名男老师与都是女老师
C．恰有一名男老师与恰有两名男老师
D．至少有一名男老师与至少有一名女老师
5．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和,侧面积分别为和．若,则（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C．
7．某测量爱好者在城市核心区测量一座国际金融中心摩天大楼时，过国际金融中心摩天大楼底部（当作点）一直线上位于同侧两点分别测得摩天大楼顶部点的仰角依次为，，已知的长度为330米，则金融中心的高度约为（ ）
A．350米 B．400米 C．450米 D．500米
8．在平行四边形中，为的中点，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列关于向量的说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若单位向量夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．若与不共线，且，那么
D．若且，则
10．在中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．如图，在长方体中，分别为棱的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A．直线与为相交直线
B．异面直线与所成角为
C．若是棱上一点，且，则四点共面
D．平面截该长方体所得的截面为六边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若复数为纯虚数，则实数______．
13．某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为______。
14．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有两道满分均为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答，某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题成绩随机编号为。若采用分层随机抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中选择题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1，则估计该校900名学生的选做题得分的平均数为______，方差为______。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知的内角的对边分别是的面积为，且满足
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值。
16．（15分）我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年100个家庭的月均用水量（单位：），将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图。
（1）求全市家庭月均用水量不低于的频率；
（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值；
（3）求全市家庭月均用水量的分位数的估计值（精确到0.01）。
17．（15分）如图所示，在正三棱柱中，，点是的中点。
（1）证明：平面；
（2）求异面直线和所成角的余弦值。
18．（17分）如图1，在矩形中，已知为的中点。将沿向上翻折，进而得到多面体，如图2．
（1）当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值；
（2）在翻折过程中，求二面角的最大值。
19．（17分）已知函数。
（1）若函数为偶函数，求的值；
（2）设函数，已知当时，存在最大值，记为。
（i）求的表达式；
（ii）求的最大值。
参考答案
1．C
【分析】由复数的乘法运算和除法运算可得答案。
【详解】。
2．C
【详解】由题意为单位向量，的夹角为，
则，则，
即充分性成立；
若，则，即，
则，而，故，即必要性成立，
故“的夹角为”是“”的充要条件，
3．A
【详解】由题意
故
4．C
【详解】对于A，至少有一名男老师与都是男老师不是互斥，故A不正确；
对于B，至少有一名男老师与都是女老师是互斥也是对立，故B不正确；
对于C，恰有一名男老师与恰有两名男老师是互斥但不是对立，故C正确；
对于D，至少有一名男老师与至少有一名女老师不是互斥，故D不正确。
故选：C
5．B
【详解】设甲圆柱底面圆半径为，高为，乙圆柱底面圆半径为，高为，
则，。又，则。
6．A
【详解】设球的半径为，则，解得，所以球的表面积为，
7．D
【详解】如图，连接
在长方体中，因为，所以与所成角等于与所成的角；
在三角形中，，由余弦定理得．
8．C
【分析】根据平面向量基本定理，将用和表示，再利用三点共线，求得，再利用基本不等式求得最值。
【详解】由共线，可设
由三点共线，故可设，
则有，解得：，故，由题意，三点共线，
故可设，则，整理得，
故，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为；
9．BC
【分析】根据零向量与任意向量平行可判断A错误，根据向量投影的定义可判断B正确，根据非零向量之和为零向量判断两系数为0可判断C正确，根据数量积的运算律可判断D错误。
【详解】选项，若，则与不一定平行，A错误。
选项B，向量在向量上的投影为，B正确。
选项C，，且与不共线，则为非零向量，则，C正确。
选项，由可得，，则，不能推出，D错误。
10．ACD
【详解】对A，由三角形大边对大角可得若则，再由正弦定理可得，故A正确；
对，若，则，故B错误；
对，在中，，又在上为减函数，故，故C正确；
对D，由可得，若，则，则，故
，即，故D正确。
11．AC
【详解】因为且，可得四边形为梯形，所以与，必相交，所以A正确：
由题意，在正方体中，因为平面，
平面，所以，
假设异面直线与所成角是，即平面，
可得平面，而平面，则，在长方形中，因为，取中点，可知正方形中，
可得与不垂直，矛盾，
所以异面直线与所成角不是，所以B错误；
点是棱上一点，且，取的中点，连接，
因为分别是和的中点，所以，
由四边形为平行四边形，所以，所以四点共面，所以C正确；
由选项C可知，为截面的边，截面又与平面及相交，
可得截面的两条边，所以截面共有五边形，所以D错误。
故选：AC。
12．-1【详解】由题意得，，解得
13．【详解】到达第3台阶的方法有两种：
第一种：每步上一个台阶，上两步，则概率为；第二种：只上一步且上两个台阶，则概率为，
所以到达第3阶台阶的概率为，
14．解析：设样本中选择题目的成绩的平均数为，方差为，样本中选择B题目的成绩的平均数为，方差为，则，
所以样本的平均数为，
方差为。
则估计该校900名学生选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56。
答案：7.2 3.56
15．（1）（2）12
【详解】（1），
则，
，又；
（2），
由余弦定理得，即，
所以，（当且仅当时取“”），
故，
的最大值为8，的最大值为12，
周长的最大值为12．
16．（1）0.3（2）（3）6.56
【详解】（1）全市家庭月均用水量不低于的频率为．
（2）全市家庭月均用水量平均数的估计值为
（t）；
（3）因为，
所以全市家庭月均用水量的分位数为。
17．（1）证明见解析；（2）。
【详解】（1）
如图，连接交于，易得为的中点，又点是的中点，则
，
又平面平面，则平面；
（2）连接，易得，则或其补角即为异面直线和所成角，
又由正三棱柱可得，
，则，
则，即异面直线和所成角的余弦值为。
18．
22．解（1）在题图1中，连接交于点，易知。
因为，所以，可得。
易知，则，因为平面平面，平面平面平面，所以平面。
则是直线与平面所成角，。
（2）如图，作出，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接。由可知平面，则平面，且平面，可得。
且平面，所以平面。
由平面，可得。
又因为平面，所以平面，由平面，可得，所以是二面角的平面角，设，由（1）可知
在Rt中，，则，
因为，则，可得，所以，
在Rt中，。
设，则，其中，
即，解得，当，即时，等号成立，所以，
又因为，则，所以二面角的最大值为。
19．（1）（2）（i）；（ii）24
【分析】（1）根据偶函数的性质得到方程，解得即可；
（2）（i）首先可得，再分段结合对勾函数及的性质分别求出函数的最大值，再判断各段最大值的大小关系，即可得到；
（ii）根据函数的单调性计算可得；
【详解】（1）解：因为为偶函数，所以，
即，即，所以，
即，所以；
（2）解：（i）因为，
所以，因为，
所以，
①当时，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以当即时，，
当即时，，
②当时，又在上单调递增，所以，
因为，所以当时，
又，所以当时，当时，
综上可得：，
（ii）因为函数与均在定义域上单调递增，又，
所以；