【北师大版八上同步练习】 7.5 三角形的内角和定理（含答案）

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【北师大版八上同步练习】 7.4三角形内角和定理
一、单选题
1．如图，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，中，弦相交于点，则（　　）
A． B． C． D．
3．线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
4．将一副直角三角板如图放置，已知，，，则（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
5．如图，在中，已知O为AC上一点，以为半径的圆经过点A，且与，分别交于点E，D．设，，则（　　）
A．若，则的度数为
B．若，则的度数为
C．若，则的度数为
D．若，则的度数为
二、填空题
6．如图，在中，，点D在上，于点交与点F．若，则　 　．
7．如图，在中，和的平分线相交于点P，若，则的度数为　 　．
8．如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为　 　.
三、计算题
9．如图所示，已知∠A=48°，∠D=25°，FD⊥BC于E，求∠B的度数．
四、解答题
10．如图，在中，，，求的度数．
11．如图，已知，，将沿射线的方向平移至，使为的中点，连结，记与的交点为．
（1）求证：≌；
（2）若平分，求的度数．
12．如图1，AB，BC被直线AC所截，点是线段AC上的点，过点作，连接．
（1）请说明的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ.
①如图2，当DE⊥DQ时，求的度数；
②在整个运动中，当时，求的度数．
③在整个运动中，之间的等量关系为： ▲ ．（直接写出答案）
五、综合题
13．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
14．如图，已知：．
（1）求证：．
（2）若，
①求证：．
②若，，则的度数为 ▲ ．
15．在中，，点是直线上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接E．
（1）如图1，当点在线段上，如果．
①则与全等吗？请说明理由；
②求的度数；
（2）如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是　 　；
（3）如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？
六、实践探究题
16．在沪科版数学八年级上册第80页探索了“三角形的内角和等于180°”，晓波在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，他的研究过程如下：
（1）【图形再现】
如图1，对任意三角形，延长到，过点作的平行线，就可以证明：，即三角形的内角和等于180°，请完成上述证明过程；
（2）【图形探究】
如图2，在中，的平分线与的平分线交于点，过点作，点在射线上，且，的延长线与的延长线交于点.
①求的度数；
②探究与的数量关系，并说明理由.
17．将一个直角三角形纸板ABC放置在锐角△PMN上，使该直角三角形纸板的两条直角边AB，AC分别经过点M，N．
【发现】
（1）如图1，若点A在△PMN内，当∠P＝40°时，则∠PMA+∠PNA＝　 　；
（2）如图2，若点A在△PMN内，当∠P＝60°时，∠PMA+∠PNA＝　 　；
（3）【探究】
若点A在△PMN内，请你判断∠PMA，∠PNA和∠P之间满足怎样的数量关系，并写出理由；
（4）【应用】
如图3，点A在△PMN内，过点P作直线EF∥AB，若∠PNA＝18°，求∠NPE的度数；
（5）【拓展】
如图4，当点A在△PMN外，请直接写出∠PMA，∠PNA和∠P之间满足的数量关系 　 　．
18．已知直线 ， 点 为平行线 之间的一点， 如图 1 所示，若 平分 平分 ．
（1） 则 　 　， 　 　.
（2）【探究】如图 2 所示， 当点 在直线 的上方时， 若 ， 和 的平分线交于点 与 的角平分线交于点 ， 与 的角平分线交于点 以此类推， 求 的度数， 并猜想 的度数．
（3）【变式】如图 3 所示， 的角平分线的反向延长线和 的补角的角平分线交于点 ， 试直接写出 与 的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
2．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
3．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；同位角
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；圆周角定理
6．【答案】42°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
7．【答案】116°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
8．【答案】40°
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
9．【答案】解：∵∠A=48°，∠D=25°，
∴∠BFE=∠A+∠D=73°（三角形外角定理）；
又∵FD⊥BC于E，
∴∠BEF=90°；
∴Rt△BFE中，∠B=180°﹣∠BEF﹣∠BFE=17°，即∠B=17°．
【知识点】三角形内角和定理
10．【答案】解：，
，
，，
．
【知识点】垂线；三角形内角和定理
11．【答案】（1）证明：由平移可知，AB=A'B'，AB∥A'B'，
∴四边形ABB'A'是平行四边形，
∴AA'=BB'，AA'∥BB'，
∴∠A'AO=∠C=50°，
∵点B'是BC的中点，
∴BB'=CB'，
∴B'C=AA'，
在△AOA'与△COB'中，
∵∠A'AO=∠C，∠AOA'=∠COB'，B'C=AA'
∴△AOA'≌△COB'（AAS）；
（2）解：平分，∠A'AO=∠C=50°，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
12．【答案】（1）解：，
（2）解：①如图2，过D作交AB于，
线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，
，
，
，
②当P点在AD之间，如图3，过作交AB于，
由
；
当点在DA的延长线上，如图4，过作交AB于，
，
，
，
，
，
，
，
由
，
，
综上所述，或，
③．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理
13．【答案】（1）证明：∵EA∥FB，
∴∠A=∠FBD，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=BD，
在△EAC与△FBD中，
∴△EAC≌△FBD（SAS）
（2）解：∵△EAC≌△FBD，
∴∠ECA=∠D=80°，
∵∠A=40°，
∴∠E=180°-40°-80°=60°，
答：∠E的度数为60°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
14．【答案】（1）解：，
（2）解：①由（1）可知，
；
②
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
15．【答案】（1）解：①与全等
证明：，
，即．
在与中，
，
②，
，
，
，
，
，
，
（2）
（3）解：当点运动到中点时，的周长最小．
，
，
为等边三角形
，
的周长
；
当最小时，即当点运动到中点时，的周长最小．
【知识点】垂线段最短；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
16．【答案】（1）证明：由题意知，
，.
，
，即三角形的内角和等于180°.
（2）解：如图.
①，.
是的平分线，
，.
又，，
，，
②
理由：是的平分线，.
在中，，即.
，.
又，，
，
，
.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
17．【答案】（1）50°
（2）30
（3）解：∠PMA+∠PNA+∠P=90°理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
∴∠AMN+∠ANM＝90°，
∴∠PMN+∠PNM＝180°﹣∠P，
∴∠PMA+∠AMN+∠ANM+∠PNA＝180°﹣∠P，
∴∠PMA+∠PNA+（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣∠P﹣90°＝90°﹣∠P，
即：∠PMA+PNA+∠P＝90°
（4）解：∠NPE=108°理由如下：
由上可知，∠PMA+PNA+∠MPN＝90°，
∵∠PNA＝18°，
∴∠PMA+∠MPN＝90°﹣∠PNA＝72°，
∵EFAB，
∴∠PMA＝∠FPM，
∴∠FPM+∠MPN＝72°，
即：∠FPN＝72°，
∴∠NPE＝180°﹣∠FPN＝108°，
（5）∠PMA+∠PNA+∠P=270°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
18．【答案】（1）110°；55°
（2）解：∵∠ABP与∠CDP的平分线交于点E1
∴∠ABE1=∠ABP=α，∠CDE1=∠CDP=β
∵AB∥CD
∴∠CDF=∠AFE1=β
∴∠E1=∠AFE1-∠ABE1=β-α=（β-α）
∵∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2
∴∠ABE2=∠CDE1=α，∠CDE2=∠CDE1=β
∴∠E2=∠AGE2-∠ABE2=（β-α）
同理，可得∠E3=（β-α）；
以此类推，可得∠En=（β-α）.
（3）解：∠E=∠DEB=90°-∠P；
过点E作EG∥AB，可得AB∥EG∥CD，如下图：
∵AB∥EG∥CD
∴∠MBE=∠BEG，∠FDE=∠GED
∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE
∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E
∴∠FDE=∠PDF=（180°-∠CDP），∠ABQ=∠ABP
∴∠DEB=∠ABP+（180°-∠CDP）=90°-（∠CDP-∠ABP）
∵AB∥CD
∴∠CDP=∠AHP
∴∠DEP=90°-（∠CDP-∠ABP）=90°-（∠AHP-∠ABP）=90°-∠P
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
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