【北师大版八上同步练习】 第七章 平行线的证明（能力提升）检测题（含答案）

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【北师大版八上同步练习】
第七章平行线的证明（能力提升）检测题
一、单选题
1． 如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a需顺时针旋转的最小度数是（　　）
A． B． C． D．
2．已知：如图，AB∥CD，∠DCP=80°，则∠BPQ的度数为(　　)
A．80° B．100° C．110° D．120°
3．物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知∠1 = 40°，∠2=40°，∠3 = 140°，则∠4的度数等于（　　）
A．40° B．36° C．44° D．100°
5．如图，在中，，，延长到点，使，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图所示的长方形纸条，将纸条沿折叠，与交于点，若，则　 　.
7．如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=80°，则∠2的度数是　 　．
8．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，，，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝　 　．
三、计算题
9．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE=10°，∠B=60°，求∠A的度数．
10．在平面直角坐标系xOy中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来．
第一组：A（﹣3，3）、C（4，3）；
第二组：D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1）．
（1）直接写出线段AC与线段DE的位置关系；
（2）在（1）的条件下，线段AC，DE分别与y轴交于点B，F．若点M为射线OB上一动点（不与点O，B重合）．
①当点M在线段OB上运动时，连接AM、DM，补全图形，用等式表示∠CAM、∠AMD、∠MDE之间的数量关系，并证明．
②当△ACM与△DEM面积相等时，求点M的坐标．
四、解答题
11．如图，直线，直线与a， b分别相交于点A， B， 交直线b于点C．
（1）若， 求的度数；
（2）若， 求直线a与b的距离．
12．如图，四边形内接于，是的直径，，交的延长线于点E，且平分．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
13． 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，过D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当∠BAC＝60°，AB＝8时，求EG的长；
（3）当AB＝5，BC＝6时，求tanF的值．
五、综合题
14．如图，BE是△ABC的角平分线，点D是AB边上一点，且∠DEB＝∠DBE.
（1） DE与BC平行吗？为什么？
（2）若∠A＝40°，∠ADE＝60°，求∠C的度数.
15．如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，点E在线段AC上，∠4=∠C．
（1）∠1与∠2是否相等，请说明理由；
（2）若∠4=2∠3，求∠C的度数．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，且实数a、b满足．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．的中点C的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在这样的t，使得的面积等于面积的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且y轴平分，点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究之间的数量关系，并证明你的结论．
六、实践探究题
17．如图，在四边形中，，，，，，，点F从点A出发，以2cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点E从点B出发，以1cm/s的速度向终点C匀速运动，设运动时间为ts（）.
（1）求证：.
（2）求的长.
（3）试探究：能为等腰三角形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.
18．问题背景：如图1，已知AB∥CD，李老师说∠B，∠D，∠BED存在某种数量关系，小明同学经过认真思考，得出了结论，
（1）请直接写出∠B，∠D，∠BED存在的数量关系.
（2）问题探究：爱动手实践的小芳同学有一块如图2七巧板，小芳同学发现∠A，∠P，∠B，∠C存在某种确定的数量关系，请写出你发现的∠A，∠P，∠B，∠C存在的数量关系，并写出证明过程.
（3）拓展应用：如图3，若∠PAQ=2∠CAQ，∠PBQ=2∠CBQ，∠C=α，∠Q=β，请直接写出∠P度数（用α，β表示）.
19． 【动手操作】如图1，小明把一副三角板的直角顶点重叠在一起．如图2固定三角板，将三角板绕点以每秒的速度顺时针转动，当边与边的反向延长线重合时，转动停止，转动时间为秒．
【解决问题】
（1）在转动过程中，与之间的数量关系为　 　．
（2）当时，求的值；
（3）当为何值时，能使图2中的，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的判定
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
4．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
6．【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
7．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
8．【答案】5秒
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的判定与性质；数学思想
9．【答案】解：∵CE是AB边上的高，
∴∠A+∠ACE=90°，∠B+∠BCE=90°．
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB，
又∵∠DCE=10°，∠B=60°，
∴∠BCE=90°﹣∠B=30°，∠BCD=∠BCE+∠DCE=40°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠BCD+∠DCE=50°，
∴∠A=90°﹣∠ACE=40°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
10．【答案】（1）解：∵A（﹣3，3）、C（4，3），
∴AC∥x轴，
∵D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1），
∴DE∥x轴，
∴AC∥DE；
（2）①如图，∠CAM+∠MDE＝∠AMD．
理由如下：
过点M作MN∥AC，
∵MN∥AC（作图），
∴∠CAM＝∠AMN（两直线平行，内错角相等），
∵AC∥DE（已知），
∴MN∥DE（平行公理推论），
∴∠MDE＝∠NMD（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAM+∠MDE＝∠AMN+∠NMD＝∠AMD（等量代换）．
②由题意，得：AC＝7，DE＝4，
设M（0，m），
（i）当点M在线段OB上时，BM＝3﹣m，FM＝m+1，
∴S△ACM＝ AC BM＝ ×7×（3﹣m）＝ ，
S△DEM＝ DE FM＝ ×4×（m+1）＝2m+2，
∵S△ACM＝S△DEM，
∴ ＝2m+2，
解得：m＝ ，
∴M（0， ）；
（ii）当点M在线段OB的延长线上时，BM＝m﹣3，FM＝m+1，
∴S△ACM＝ AC BM＝ ×7×（m﹣3）＝ ，
S△DEM＝ DE FM＝ ×4×（m+1）＝2m+2，
∵S△ACM＝S△DEM，
∴ ＝2m+2，
解得：m＝ ，
∴M（0， ）；
综上所述，点M的坐标为（0， ）或（0， ）．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；三角形的面积
11．【答案】（1）
（2）
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高
12．【答案】（1）证明：平分
四边形是平行四边形．
（2）解：
是直径
在中，
答：的长为10．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；圆周角定理
13．【答案】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BG、AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB＝∠ADB＝90°，
即BG⊥AC，AD⊥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴BD＝CD，△ABC是等边三角形，
∴AC＝AC＝8，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BG，
∴CE：EG＝CD：BD，
∴CE＝EG，
∵BG⊥AC，
∴CG＝AG＝AC＝4，
∴EG＝CG＝2；
（3）解：∵AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝3，
∴AD＝＝＝4，sinC＝＝＝，
∴DE＝CD＝×3＝，
∴AE＝＝＝，
∵OD∥AC，
∴△ODF∽△AEF，
∴，即，
解得：DF＝，
在Rt△ODF中，OD＝AB＝，
∴tanF＝＝＝．
【知识点】平行线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
14．【答案】（1） 与 平行.
是 的角平分线 ，
（2）
∴
中：
【分析】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
15．【答案】（1）解：∠1=∠2，理由如下：∵AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∴∠ADC=∠EFC=90°，∴AD∥EF，∴∠1=∠3，∵∠4=∠C．∴AC∥DG，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2；
（2）解：∵∠4=2∠3，∠4=∠C．∴∠C=2∠3，∵AD⊥BC于D，∴∠3+∠C=90°，∴∠3+2∠3=90°，∴∠3=30°，∴∠C=60°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
16．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
由运动知，，
∴，
∵，
∴，，
∵的面积是的面积2倍，
∴，
∴，
∴存在时，使得的面积是的面积2倍；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵y轴平分，
∴，
∴，
∴，
如图，过点H作交x轴于F，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴．
【知识点】点的坐标；平行线的性质；三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的定义；三角形-动点问题；求代数式的值-化简代入求值
17．【答案】（1）证明：，.
，，
，
.
（2）解：在中，.
由（1）知，
，即，解得
（3）解：能.
由题意，得，.
当为等腰三角形时，可分下列三种情况：
①当时，，解得；
②如图1，当时，过点E作，垂足为G，
.
易得，
，即，解得；
③如图2，当时，过点F作，垂足为H，
.
易得，
，即，解得.
综上所述，当为等腰三角形时，t的值为或或
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；四边形-动点问题
18．【答案】（1）解：
（2）解：过点作，过点作
（3）解：
【知识点】平行线的判定与性质；猪蹄模型
19．【答案】（1）
（2）解：当时，
，
，
解得：，
当时，不存在，
即当时，的值为4；
（3）解：当为或秒时，能使图2中的，理由如下：
由三角板可知，，
如图，当时，向位置旋转，此时，
，
，
，
解得：；
如图，当时，过向边的反向延长线旋转，此时，
，
，
，
解得：，
综上可知，当为或秒时，能使图2中的．
【知识点】平行线的性质；三角形-动点问题
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