【北师大版八上同步练习】 第七章 平行线的证明（培优）检测题（含答案）

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【北师大版八上同步练习】
第七章平行线的证明（培优）检测题
一、单选题
1．如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
2．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示，光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则（　　）．
A．58° B．68° C．32° D．122°
4．如图5，点在延长线上，交于，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值．
其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．将一副三角板按如图所示的方式放置，60°和45°两个角的顶点重合，等腰直角三角板的斜边与另一个三角板的较长直角边平行，且直角顶点在较长直角边上，则图中（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
二、填空题
6．一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2=　 　度
7．如图，AB∥CD，直线l与AB，CD相交于点E，F，∠AEF=72°，点P是AB上一点，且PF平分∠EFC，过点P作PG⊥CD，交CD于点G，将△EPF沿射线EA方向平移，点F落在点F’处，若∠FPF’=3∠GPF’，则∠EPF’的度数为　 　．
8．如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图．车身为四边形ABCD，，BC⊥AB，底座AB上装着两个半径为30cm的轮胎切于水平地面，AB＝169cm，BC＝120cm．挡货架AE上有一固定点T与AD的中点N之间由液压伸缩杆TN连接．当TN⊥AD时，TN的延长线恰好经过B点，则AD的长度是 　 　cm；一个长方体物体准备装卸时，AE绕点A左右旋转，托物体的货叉PQ⊥AE（PQ沿着AE可上下滑动），PQ＝65cm，AE＝AD．当AE旋转至AF时，PQ下降到P'Q'的位置，此时F，D，C三点共线，且FQ'＝52cm，则点P'到地面的离是 　 　cm．
三、计算题
9．如图，在△ABC中，∠B=24°，∠ACB=104°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
10．如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．
（1）若和互补．
①求的度数；
②当，且时，求的度数；
（2）设，．若，求m，n满足的等量关系．
四、解答题
11．如图，，且，连接，与相交于点O．求证：．
12．在中，M是斜边AB的中点，D为直线AB外一点，，连接AD，BD．
（1）如图1，若AD平分，求证：；
（2）如图2，若，，求AD的长；
（3）如图3，已知点D和边AC上的点E满足，．连接CD，求证：．
13．
已知I是的内心，AI的延长线交的外接圆于点D，连接DC，DB．
（1）在图1中：①证明：；②判断外心的位置，并证明；
（2）如图2，若AB为的外接圆直径，取AB中点O，且于点I，DE切圆O于点D，求的值．
五、综合题
14．如图，在 中，D是 边上的一点， ， 平分 ，交 边于点E，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数.
15．如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
16．如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，且顶点D的坐标为，对称轴与直线交于点E，与x轴交于点F，连接，．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在上方二次函数图象上，且的面积等于6，求点P的坐标；
（3）在二次函数图象上是否存在一点M，使得？若存在，求出直线与x轴的交点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
六、实践探究题
17．在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角．
（1）【简单应用】
如图2，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，现放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底（即射线），与水平线的夹角的度数为　 　．
（2）【类比拓展】
如图3，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：．
（3）【尝试探究】
两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图4，光线与相交于点，则的度数是多少？（用含的式子表示）（三角形内角和）
18．
（1）问题发现：
如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC，请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知）
∴EF∥DC（ 　 　）．
∴∠C＝∠CEF．（ 　 　）．
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF （同理）．
∴∠B+∠C＝　 　（等量代换），即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）拓展探究：
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠C+∠BEC＝360°．
（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系．
19． 综合实践．
我们发现平行线具有“等角转化”的功能，通过添加平行线可将不同位置的角“凑”在一起，得出角之间的关系．根据平行线的“等角转化”功能，解答下列问题：
（1）阅读理解：如图1，相交于点，请说明．阅读并补充下面推理过程．
解：如图1，过点作．
_▲_．
，
_▲_．
_▲_．
．
即．
（2）方法掌握：如图2，已知交于点．请写出之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）拓展运用：如图3，已知，点在直线上，平分平分．若，求度数（用含的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的判定
2．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质
4．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
6．【答案】90
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
7．【答案】108°
【知识点】平行线的性质；平移的性质；角平分线的定义
8．【答案】130；77
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
9．【答案】解：在△ABC中，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠B=24°，∠ACB=104°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣24°﹣104°=52°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC= ∠BAC= 52°=26°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=104°，
∴∠ACD=180°﹣∠ACB=180°﹣104°=76°，
∴∠CAD=14°，
∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=40°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
10．【答案】（1）解：①和互补，
．
，
，
；
②由①得，
，
，
又，
，
．
，
，
；
（2）解：，
．
设，
，，
，
，
又，
，
，
，
即m，n满足的等量关系为．
【知识点】角的运算；平行线的性质；邻补角
11．【答案】证明：，
，，
在与中，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
12．【答案】（1）证明：如图，MD与BC交于点E，
∵AD平分，∴，
∵，∴，
∴，∴，
又∵是直角三角形，，
∴，∴；
（2）解：∵M是斜边AB的中点，，
∴，∴，，
在中，，
∴，
∵，，∴，
由勾股定理得：；
（3）证明：如图，延长BD、AC，交于点F，
则，
∵，，∴．
又∵，∴四边形BDEM是平行四边形．∴．
∵M是AB的中点，∴．
∴．∴四边形AMDE是平行四边形．
∵，∴平行四边形AMDE是菱形．∴．
∵，∴，，
∴，∴，
即点D是斜边的中点．∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义；直角三角形斜边上的中线
13．【答案】（1）解：①
∵I是的内心
∴AI平分，
∴
②D为外心，证明如下：
∵I是的内心
∴BI平分，，∵，
∴
∴，即
∴D为外心
（2）解：连接OD
∵AB为的外接圆直径，O为AB中点
∴O为的外接圆圆心
∵DE切圆O于点D
∴，即，
∵，∴，
∵AB为的外接圆直径
∴，∴，
∵，，∴
∵由（1）得，∴
∴
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形
14．【答案】（1）证明： 平分 ，
，
在 和 中， ，
；
（2）解： ， ，
，
平分 ，
，
在 中， .
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
15．【答案】（1）由折叠的性质可知，DE垂直平分线段AB，
根据垂直平分线的性质可得：DA=DB，
所以，DA+DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=14cm；
（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x，
∵DA=DB，
∴∠B=∠BAD=2x，
在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=90°，
即：2x+2x+x=90°，x=18°，
∠B=2x=36°．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
16．【答案】（1）解：设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k
把顶点D（﹣2，8）代入，得
y= a（x +2）2+8.把点（﹣6，0）代入得：
0= a（﹣6+2）2+8.
∴ a =﹣
∴二次函数的解析式为y=﹣（x +2）2+8；
（2）解：∵y=﹣（x +2）2+8=﹣x2﹣2x+6
∴C（0，6），
设直线AC的解析式为y=kx+b，把A，C的坐标代入，得
解得：
直线AC的解析式为y=x+6，
∵二次函数的对称轴是直线，
∴E点的横坐标是-2
∴
∴
∴
∴DE=4，
∴
∴h=3，
∴P点的横坐标为-5，
∴
∴
（3）解：存在
∵A(﹣6，0) ，C（0，6）
∴ OA=OC=6
∴△ AOC为等腰直角三角形，
∴∠ ACO= 45°
令y=0
0=﹣x2﹣2x+6
解得：x1=2，x2=﹣6
∴点B（2，0）
①当CM在∠ ACO内部时，如图
∵∠ACM + ∠OCB=45°，∠ACM+∠MCO=∠ ACO= 45°
∴∠OCB=∠MCO
∴OQ=OB=2
∴点Q（﹣2，0）
②当CM在∠ ACO外部时，如图：
∵∠ACM + ∠OCB=45°，∠ ACO= 45°
∴∠BCQ=90°
设点Q（t，0）
则BQ=2- t
CQ2=OC2+OQ2= t 2+62
BC2=OB2+OC2=22+62
∵BQ2= CQ2+ BC2
∴（2﹣ t）2= t 2+62+22+62
t =﹣18
综上所述，直线CM与x轴的交点Q的坐标为（﹣2，0）或（﹣18，0）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
17．【答案】（1）65°
（2）解：如图1，∵OM⊥ON，
∴∠CON＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∠DCB+∠ABC＝180°，
AB∥CD；
（3）解：如图4，在△OBC中，
∵∠MON＝α，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴
∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD
＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣a）﹣180°
＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α；
【知识点】垂线；平行线的性质
18．【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF
（2）解：如图②，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，
∴∠B+∠C+∠BEC＝360°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（∠BEF+∠CEF），
即∠B+∠C+∠BEC＝360°；
（3）解：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4，理由如下：
如图，过点F作FM∥AB，则AB∥FM∥CD，
由（1）得，∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质
19．【答案】（1）解：如图1，过点P作，
∴
∵
∴
∴
∴
即
（2）解：，理由如下：
过点M作，如图2：
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
即
（3）解：，理由如下：
∵平分平分
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
即
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
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