数学人教A版（2019）必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件（共29张ppt）

(共29张PPT)
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
问题3：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？
问题4：棱柱、棱台、棱锥的体积公式如何推导？
问题2：棱柱、棱锥、棱台的体积公式式什么？
问题1：棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？用的什么方法？
阅读教材P114-115，思考以下几个问题：
装修时，时常需要知道它们的表面积和体积以计算装修时所需要的用料、工时和花费
如何计算多面体的表面积和体积呢？
预备知识——平面图形的面积
面积:平面图形所占平面的大小
S=ab
a
b
A
a
h
B
C
a
b
h
a
b
A
r
圆心角为n°
r
c
预备知识——平面图形的面积
特殊平面图形的面积
正三角形的面积
正六边形的面积
正方形的面积
a
a
a
空间问题
平面问题
1.多面体的表面积公式
初中阶段是通过怎样的方式研究长方体和正方体的表面积的？
多面体的表面积：围成它的各个面的面积之和。
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱的表面积
=2 底面积+侧面积
棱锥的表面积
=底面积+侧面积
棱台的表面积
=上底面积+下底面积+侧面积
棱柱、棱锥、棱台的展开图
1.多面体的表面积公式
多面体的表面积：围成它的各个面的面积之和。
如：棱长为2的正四面体的表面积
1. 正六棱台的上，下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.
解：如图示，AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm.
因此，正六棱台的表面积为
A
D
B
C
F
E
A'
D'
B'
C'
F'
E'
教材116页
棱柱、棱锥、棱台的体积
2.多面体的体积公式
(S,h分别为棱柱的底面积和高)
(1)棱柱的体积：
(2)棱锥的体积：
(S,h分别为棱锥的底面积和高)
(3)棱台的体积：
(S',S分别为上/下底面积，h为棱台的高)
思考1：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？
思考2：棱柱、棱台、棱锥的体积公式如何推导？
上底扩大
上底缩小
新知探究
问题：同一摞白纸，当改变摆放白纸的形状时（如图所示），这摞白纸的总体积是否会改变？
祖暅原理
祖暅原理
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
祖暅原理：幂势既同，则积不容异。
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
祖暅原理
祖暅，字景烁，是著名数学家祖冲之的儿子，也是南北朝时代的伟大科学家。他于5世纪末提出祖暅原理。在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出相关结论，比西方国家的数学家早一千多年。
幂势即同
积不容异
祖冲之
祖暅（geng）
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异”：两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。
前后体积不变
底面积和高都相等的棱柱，体积相等。
底面积和高都相等的柱体，体积相等。
两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。
结论：等底面积等高的两个锥体的体积相等
祖暅原理——推导棱锥体积公式
祖暅原理——推导棱锥体积公式
将三棱柱分割成3个小三棱锥，由等底等高易证得V1=V2=V3
1
2
3
1
2
3
棱台是由棱锥截出来的，因此可利用两个锥体的体积差，
得到棱台的体积公式．
推导棱台体积公式
根据面积比=相似比的平方，得
S为底面面积，h为柱体高
S分别为上、下底面面积，h为台体高
S为底面面积，h为锥体高
上底扩大
上底缩小
柱体、椎体、台体体积公式的关系
[变式]如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为_________,体积为_______.
P119-1.如图，八面体的每一个面都是正三角形，且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，若四边形ABCD是边长为30cm的正方形，则该八面体的表面积为____.
棱柱、棱锥、棱台的体积
教材119页
2.正三棱锥S-ABC的底面边长为1，高为，
则该三棱锥的表面积为______.
P120-3.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点，
则当底面ABC水平放置时，水面高为多少？
解：设底面ABC的面积为S，
底面ABC水平放置时，水面高为h.
棱柱、棱锥、棱台的体积
3.如图，棱长为1的正方体的8个顶点中，有4个为正四面体的顶点，(1)这个正四面体与正方体的表面积之比为_________.
(2)三棱锥B-ACB1的体积为_________.
(3)正四面体B1-ACD1的体积为_________.
(换底法)
(割补法)
求三棱锥体积通常可用
换底法(也叫等积法).
P116-3.广场的石凳：
棱长为50cm的正方体石块截去八个相同的四面体，求表面积和体积
(割补法)
棱柱、棱锥、棱台的体积
变式练习.“鲁班锁”玩具：
每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为（ ）
鲁班锁可看成是1个棱长为_______的正方体截去了8个底面边长为___，侧棱为___的正三棱锥所余下来的几何体.
2
2
鲁班锁可看成由6个边长为__的正六边形和8个边长为__的正三角形围成的多面体.
P119-2.如图，将一个长方体沿相邻3个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比.
[变式]设长方体的长宽高分别为4,3,5，求棱锥B'-A'C'B的体积.
(换底法)
【变式2】.如图，正方体棱长为1，E,F分别为棱AA1,B1C上的点，求三棱锥D1-EDF的体积.
(换底法)
(割补法)
S为底面面积，h为柱体高
S分别为上、下底面面积，h为台体高
S为底面面积，h为锥体高
上底扩大
上底缩小
柱体、椎体、台体体积公式的关系
课堂小结
备选例题
4.如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF//AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，EF ⊥面FBC，则该多面体的体积为_________.
(分割法)
[变式]如图，多面体ABCDEF中，面ABCD是边长为4的正方形，EF//AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，则该多面体的体积为_____.
(分割法+换底法)