【多媒体导学案】人教版七年级数学上册第4章第5课时《尺规作图（一）—作线段》（教师版，含答案）

一、学习目标 1．会用尺规画一条线段等于已知线段；2．会比较两条线段的长短；3．理解线段中点的概念，了解“两点之间，线段最短”的性质；4．体验运用“两点之间，线段最短”解决生活中的问题；5．了解两点之间的距离的定义，并会求两点之间的距离．
二、知识回顾 1．已知一条线段，如何画一条线段等于已知线段？先量出已知线段的长，再画一条这个长度的线段.2. 怎样比较两条线段的长短？用刻度尺分别量出两条线段的长度来比较.
三、新知讲解 尺规作图和基本作图在几何里，把只用直尺和圆规画图的方法称为 尺规作图 ；最基本、最常用的尺规作图，通常成为基本作图.作一条线段等于已知线段已知线段a,画一条线段等于已知线段．作法：（1）作射线AM（2）在AM上截取AB= a．则线段AB为所求．3．比较两条线段的长短两条线段可能相等，也可能不相等，那么怎样比较两条线段的长短呢？（1）　　度量法　　：用刻度尺分别量出两条线段的长度从而进行比较．（2）　　叠合法　　：把一条线段移到另一条线段上，使一端对齐，从而进行比较．（如下图） ( http: / / www.21cnjy.com )4．线段的中点及等分点如图(1)，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点；记作AM=MB或AM=MB=1/2AB或2AM=2MB=AB．如图(2)，点M、N把线段AB分成相等的三段AM、MN、NB，点M、N叫做线段AB的三等分点．类似地，还有四等分点，等等．5．线段的性质两点所连的线中，　　线段最短．　　简单地说成：　　两点之间，线段最短．　　6．两点间的距离　　连接两点间的线段的长度　　，叫做这两点的距离．注意：距离是用“数”来度量的，它是线段的长度，而不是线段本身．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．用尺规作已知线段的和、差【例1】如下图，已知线段a，b，画一条线段，使它等于a+b． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：画线段的和时，一般在第一条线段向右的延长线上画，画图工具可选用直尺和圆规，注意保留圆弧的痕迹．画线段的差时，一般从被减的那线段的右端点向左在线段上画．所画线段含已知线段的和、差时，通常先画和，再画差.画完线段后，最后别忘了写结论.练1如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a－b+c． ( http: / / www.21cnjy.com )2．线段中点的有关计算【例2】如图，已知线段AD=6，线段AC=BD=4，E、F分别是线段AB，CD的中点，求线段EF的长．总结：一条线段的中点只有一个.某一点要成为一条线段的中点，必须同时满足两个条件：①点必须在这条线段上；②它把这条线段分为相等的两条线段.若点C是线段AB 的中点，则AB=2AC=2BC，或AC=BC=AB.反之，若AB=2AC=2BC，或AC=BC=AB，则点C是线段AB 的中点．练2已知线段AB=12，直线AB上有一点C，且BC=6，M是线段AC的中点，求线段AM的长．3．两点之间线段最短的实际应用【例3】如图，A、B是公路l两旁的两个村 ( http: / / www.21cnjy.com )庄，若两村要在公路上合修一个汽车站，使它到A、B两村的距离和最小，试在l上标注出点P的位置，并说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：解决平面图形中最短路径（即最小距离或距离之和最小）问题时，通常会运用到线段的基本性质：两点之间，线段最短．练3如下图，一只壁虎要从圆柱体A点沿着表面尽快地爬到B点，因为B点有它要吃的一只蚊子，而它饿的十分厉害，问壁虎怎样爬行路线最短？ ( http: / / www.21cnjy.com )4．两点之间的距离问题【例4】A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（）A．1cm B．9cmC．1cm或9cm D．以上答案都不对总结：对于题目中没有给出图的几何问题，要注意考虑全面，必要时需分类讨论. 结合题目已知条件正确画图很重要，既直观形象，又不易漏掉情况．练4已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB=5cm，BC=3cm，那么点A与点C之间的距离是（ ）A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．4cm
五、课后小测 一、选择题1．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（ ）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边2．（2014 长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm3．（2014 亳州一模）已知线段AB=16cm，O是线段AB上一点，M是AO的中点，N是BO的中点，则MN=（ ）A．10cm B．6cm C．8cm D．9cm4．（2014 安庆一模）如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CD=3cm，AB=10cm，那么BC的长度是（ ）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm5．在直线l上顺次取A、B、C三点，使得AB=5cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（ ）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm6．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（ ）A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b7．如图，O是线段AB的中点，C在线段OB上，AC=4，CB=3，则OC的长等于（ ）A．0.5 B．1 C．1.5 D．28．（2014秋 渝中区校级期末）已知A，B两点之间距离是10cm，C是线段AB上任意一点，则AC的中点与BC的中点距离是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定9．下列说法中，正确的有（）A．两点之间，直线最短B．连结两点的线段叫做两点的距离C．过两点有且只有一条直线D．AB=BC，则点B是线段AC的中点10．（2012秋 诸城市期末）下列说法错误的是（）A．若AP=BP，则点P是线段的中点B．若点C在线段AB上，则AB=AC+BCC．若AC+BC＞AB，则点C一定在线段AB外D．两点之间，线段最短11．A、B两点的距离是（ ）A．连接A、B两点的线段B．连接A、B两点间的线段的长度C．过A、B两点的直线D．过A、B两点的射线12．下列说法正确的是（）A．两点之间的连线中，直线最短B．如果AP=BP，那么点P是线段AB的中点C．两点之间的线段叫做这两点之间的距离D．如果点P是线段AB的中点，那么AP=BP13．（2012秋 定陶县校级月考）下列说法中，正确的是（）A．若AC=AB，则C是AB的中点B．若AC=BC，则C是AB的中点C．若C在线段AB上，且AC=BC，则C是AB的中点D．若C在直线AB上，且AC=AB，则C是线段AB的中点二．填空题14．（2013秋 宝坻区校级期末）已知线段AB=10，如图，若C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA=6，DB=4，则CD的长度是．15．（1）线段的大小比较可以用测量出它们的长度来比较，也可以把一条线段另一条线段上来比较；（2）将一条线段分成两条相等的线段的点叫做_________，若P是AB的中点，则PA=_____，或AB=2________．三、解答题16．如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a+3b－2c．17．如图，P是线段AB上一点，M，N分别是线段AB，AP的中点，若AB=16，BP=6，求线段MN的长．18．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． ( http: / / www.21cnjy.com )19．（2012秋 青州市校级月考）平面上 ( http: / / www.21cnjy.com )有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离之和最小（A，B，C，D四个村庄的地理位置如图所示），你能说明理由吗？ ( http: / / www.21cnjy.com )20．（2014秋 赵县期末）如图，线段A ( http: / / www.21cnjy.com )C=6cm，线段BC=15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB=1：2，求MN的长．21．（2014秋 丹东期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图所示，A，B，C三棵树在同一直线上，量得树A与树B的距离为4m，树B与树C的距离为3m，小亮正好在A，C两树的正中间O处，请你计算一下小亮距离树B多远？ ( http: / / www.21cnjy.com )22．（2013秋 合浦县期末）如图所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，已知点C是线段AB的中点，D是AC上任意一点，M、N分别是AD、DB的中点，若AB=16，求MN的长．
典例探究答案：
【例1】【解析】线段的a，b的和比线段a要长，所以先画出一条线段等于线段a，再在这条线段线的延长线上画一条线段等于线段b．
作法：（1）如图，画射线AM，在射线AM上画线段AB=a．
（2）在线段AB的延长线上画线段BC=b．
线段AC就是所求的线段．
　　
练1 【解析】由于线段a比b短，所以不能先画a－b，可以先画a+ c,再减去b．
作法：a－b+ c= a + c－b，如图4，（1）画射线AM，在射线AM上画线
段AB=a．
（2）在线段AB的延长线上画线段BC= c．
（3）在线段AC上画线段CD=b．
线段AD就是所求的线段．
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【例2】【解析】先利用中点性质以及 ( http: / / www.21cnjy.com )线段的和、差关系找出未知线段和已知线段的关系.因为AD=6，AC=BD=4，所以AB=AD-BD=2，CD=AD-AC=2.
所以BC=AD-AB-CD=6-2-2=2.
又因为E、F分别是线段AB,CD的中点，所以EB=AB=×2=1，CF=CD=×2=1，
所以EF=EB+BC+CF=1+2+1=4．　　
练2 【解析】题中没有给出图形，应 ( http: / / www.21cnjy.com )先根据题目的具体要求画出图形，由于点C的位置不确定，要分两种情况进行讨论.即充分利用数形结合的思想以及分类讨论的思想.
①当点C在线段AB上时，如图3(1)，因为M是AC的中点，
所以，即.
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②当点C在线段AB的延长线上时，如图3（2），因为M是AC的中点，
所以．即.　　
【例3】【解析】根据线段的性质：两点之间线段最短，即可得出答案．
解：点P的位置如下图所示：
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作法是：连接AB交l于点P，则P点为汽车站位置，
理由是：两点之间，线段最短．　　
练3 【解析】将圆柱体的侧面展开，如下图所示，连接AB（B为矩形长边的中点），则AB就是壁虎爬行的最短路线．
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【例4】【解析】由已知条件知A，B，C三点在同一直线上，做本题时应考虑到A、B、C三点之间的位置，分情况可以求出A，C两点的距离．
解：第一种情况：C点在AB之间上，故AC=AB﹣BC=1cm；
第二种情况：当C点在AB的延长线上时，AC=AB+BC=9cm．
故选C．　　
练4 【解析】由于点A、B、C都是直线l上的 ( http: / / www.21cnjy.com )点，所以有两种情况：①当B在AC之间时，AC=AB+BC，代入数值即可计算出结果；②当C在AB之间时，此时AC=AB﹣BC，再代入已知数据即可求出结果．
解：∵点A、B、C都是直线l上的点，
∴有两种情况：
①当B在AC之间时，AC=AB+BC，
而AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=AB+BC=8cm；
②当C在AB之间时，
此时AC=AB﹣BC，
而AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=AB﹣BC=2cm．
点A与点C之间的距离是8或2cm．
故选C．　　
课后小测答案：
一、选择题（共13小题）
1．【解析】此题为数学知识的应用，由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．
解：要想缩短两地之间的里程，就尽量是两地在一条直线上，因为两点间线段最短．
故选：C．
2．【解析】由AB=10cm，BC=4cm，可求出AC=AB﹣BC=6cm，再由点D是AC的中点，则可求得AD的长．
解：∵AB=10cm，BC=4cm，
∴AC=AB﹣BC=6cm，
又点D是AC的中点，
∴AD=AC=3cm，
答：AD的长为3cm．
故选：B．
3．【解析】因为M是AO的中点，N是BO的中点，则MO=AO，ON=OB，故MN=MO+ON可求．
解：∵M是AO的中点，N是BO的中点，
∴MN=MO+ON=AO+OB=AB=8cm．
故选C．
4．【解析】根据线段中点的定义求出AC，再根据BC=AB﹣AC计算即可得解．
解：∵点D是AC的中点，
∴AC=2CD=2×3=6cm，
∴BC=AB﹣AC=10﹣6=4cm．
故选C．
5．【解析】作图分析
由已知条件可知，AB+BC=AC，又因为O是线段AC的中点，则OB=AB﹣AO，故OB可求．
解：根据上图所示OB=5cm﹣OA，
∵OA=（AB+BC）÷2=4cm，
∴OB=1cm．
故选B．
6．【解析】根据AB两点之间的距离即为0到B的距离与0到A的距离之和，由数轴可知a＜0，b＞0，得出AB的距离为b﹣a．
解：∵A、B两点所对的数分别为a、b，
∵a＜0，b＞0，
∴AB之间的距离为b﹣a，
故选C．
7．【解析】先计算出AB=AC+CB=4+3=7，再根据线段中点的定义得到OB=AB=3.5，然后利用OC=OB﹣CB进行计算．
解：∵AC=4，CB=3，
∴AB=AC+CB=4+3=7，
∵O是线段AB的中点，
∴OB=AB=3.5，
∴OC=OB﹣CB=3.5﹣3=0.5．
故选A．
8．【解析】
解：∵AC+BC=AB，
∴AC的中点与BC的中点距离=AB=5CM
故选C．
9．【解析】根据直线的性质，可得答案．
解：两点确定一条直线，故C正确，
故选：C．
10．【解析】根据线段中点的定义，线段的和的定义，线段的性质对各选项分析后，利用排除法求解．
解：A、如果点P不在线段A ( http: / / www.21cnjy.com )B上，例如AP、BP是等腰三角形ABP的两条腰，那么AP=BP，但是点P不是线段AB的中点，原说法错误，故本选项符合题意；
B、若点C在线段AB上，则AB=AC+BC，原说法正确，故本选项不符合题意；
C、若AC+BC＞AB， ( http: / / www.21cnjy.com )则点C不可能在线段AB上，因为如果点C在线段AB上，那么AC+BC=AB，与已知条件AC+BC＞AB矛盾，则点C一定在线段AB外，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、两点之间，线段最短，原说法正确，故本选项不符合题意．
故选A．
11．【解析】根据两点间距离的定义进行解答即可．
解：∵连接两点间的线段的长度叫两点间的距离，
∴连接A、B两点间的线段的长度叫A、B两点的距离．
故选B．
点评：本题考查的是两点间距离的定义，即连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
12．【解析】根据两点之间的连线中，线 ( http: / / www.21cnjy.com )段最短即可判断A；举出反例图形即可判断B，根据两点之间的距离是指垂线段的长度，即可判断C；根据线段中点的定义即可判断D．
解：A、两点之间的连线中，线段最短，故本选项错误；
B、如图 ( http: / / www.21cnjy.com )AP=BP，但P不是线段AB的中点，故本选项错误；
C、两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离，故本选项错误；
D、如果点P是线段AB的中点，则AP=BP，故本选项正确；
故选D．
13．【解析】根据线段之间的关系判定点的位置有几种情况来解答．
解：A、若AC=AB，则C是AB的中点，点C不在线段AB上时不成立，故A选项错误；
B、若AC=BC，则C是AB的中点，在AB中垂线的点都满足AC=BC，但只有一个是AB的中点，故B选项错误；
C、若C在线段AB上，且AC=BC，则C是AB的中点，故C选项正确；
D、若C在直线AB上，且AC=AB，则C是线段AB的中点，当C点在A点的左边时不成立，故D选项错误．
故选：C．
二．填空题（共2小题）
14．【解析】先根据线段AB=10，C为线段AB的中点求出BC的长，再根据DB=4即可得出CD的长．
解：∵线段AB=10，C为线段AB的中点，
∴BC=AB=×10=5，
∵DB=4，
∴CD=BC﹣DB=5﹣4=1．
故答案为：1．
15．（1）刻度尺，移到；
（2）线段的中点，AB，PA（或PB）．．
三、解答题（共７小题）
16．【解析】画a+3b时，可在线段a的延长线上依次向右画3条等于线段b的线段，同样减去2c时，可依次相左画两条等于c的线段．
作法：如图，（1）画射线AM，在射线AM上画线段AB=a．
（2）在线段AB的延长线上依次画线段BC=CD=DE=b．
（3）在线段AE上画线段EF=FG=c．
线段AG就是所求的线段．
17．【解析】因为M是AB的中点，
所以AM=AB=×16=8．
因为AP=AB－PB=16－6=10，
又因为N是AP中点，
所以AN=AP=×10=5．
所以MN=AM－AN =3．
18．【解析】因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；
解：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；
19．【解析】根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使他在AC与BD的交点处．
解：如答图所示，连接AC，BD，它们的交点是H，点H就是修建水池的位置，这一点到A，B，C，D四点的距离之和最小．
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20．【解析】因为点M是AC的中点，则有MC=AM=AC，又因为CN：NB=1：2，则有CN=BC，故MN=MC+NC可求．
解：∵M是AC的中点，
∴MC=AM=AC=×6=3cm，
又∵CN：NB=1：2
∴CN=BC=×15=5cm，
∴MN=MC+NC=3cm+5cm=8cm．
21．【解析】在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，最好准确画出几何图形，再根据题意进行计算．
解：AC=AB+BC=7m；设A，C两点的中点为O，即AO=3.5，
则OB=AB﹣AO=4﹣3.5=0.5．
即小亮距离树B0.5m．
22．【解析】由图可看出AD+BD等于AB的长，已知N，M分别是AD，DB的中点，所以NM即AB的一半．
解：∵点C是线段AB的中点，D是AC上任意一点，M、N分别是AD、DB的中点，AB=16
∴AD+BD=AB=16
∴MN=MD+DN=（AD+BD）=8．