【多媒体导学案】人教版七年级数学上册第4章第6课时《直线、射线、线段习题课》（教师版，含答案）
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| 名称 | 【多媒体导学案】人教版七年级数学上册第4章第6课时《直线、射线、线段习题课》（教师版，含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 164.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-12-13 13:36:51 | ||
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文档简介
一、学习目标 1．会统计图中直线、射线、线段的数量；2．解决线段有关的动点问题；3．解决与线段长短有关的证明问题．
二、知识回顾 填空:AD=AB+（ BD ）=AC+（ CD ） =BC+（ AB ）+（ CD ）AD-CD=（ AC ）AD-BC=（ AB+CD ）
三、新知讲解 “四法”教你学会数线段①用基本线段数利用基本线段，依照分类讨论的方法数线段的条数时，可以做到不重不漏．问题1：数出图中线段的数量．解答：我们把AB，BC，CD，DE这四条线段成为基本线段．只含1条基本线段的有AB,BC,CD,DE,共4条；只含2条基本线段的有AC,BD,CE,共3条；只含3条基本线段的有AD,BE,共3条；只含4条基本线段的有AE,共1条；因此图中共有4+3+2+1=10条线段．②按端点数当直线上的点比较多时，按端点的位置采用分类讨论的方法数线段条数：从左到右，一次改变一个端点，只能向前，不能回头．问题2：如图，六个点O,A,B,C,D,E在同一条直线上，图中有几条线段？解答：以O为端点开始向右数，依次为OA，OB，OC，OD，OE，共5条；以A为端点开始向右数，依次为AB，AC，AD，AE，共4条；以B为端点开始向右数，依次为BC，BD，BE，共3条；以C为端点开始向右数，依次为CD，CE，共2条；以D为端点开始向右数，依次为DE，共1条；因此，图中共有5+4+3+2+1=15条线段．③利用规律计算通过上面两种方法的列式可以总结出如下规律：若基本线段有n条，则图形中共有n+(n-1)+(n-2)+…+1条线段.若端点数有m个，则图形中共有（m-1）+(m-2)+(m-3)+...+1条线段.④利用公式计算线段总条数=端点数×（端点数-1）÷2，即：线段总条数=（n为端点的个数）．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．求图中直线、射线、线段的数量【例1】如图，A、B、C三点在同一直线上．（1）用上述字母表示的不同线段共有______条；（2）用上述字母表示的不同射线共有______条．总结：求线段条数，可以先数端点数，然后按照从端点开始依次向右数的方法数，或者直接套用公式线段总条数=（n为端点的个数）．求射线条数，先看端点，依次累加各端点出发 ( http: / / www.21cnjy.com )的射线条数即可.但是如果题目要求用字母表示的不同射线条数时，要看各端点出发的射线是否能用字母表示，不能用字母表示的射线不能算.练1乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可 ( http: / / www.21cnjy.com )到达B站，那么在A、B两站之间需要安排不同的车票__________种．（友情提示：A站到B站与B站到A站车票不同．）2．线段上的动点问题【例2】如图，B是线段AD上一动点，沿A→ ( http: / / www.21cnjy.com )D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD=10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t=2时，①AB=_______cm；②求线段CD的长度．（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长．（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．总结：题设图形中存在一个或多个动点在线段、射线或弧线上运动的一类开放性问题，我们称为动点型问题.动点问题一定要把握运动变化的起点、终点、转折点及运动方式，采用“动中取静”的方法来解，注意研究各线段之间的等量关系.动点问题要时刻注意分类讨论.练2如图，已知数轴上点A表 ( http: / / www.21cnjy.com )示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，（1）写出数轴上点B所表示的数；（2）点P所表示的数（用含t的代数式表示）；（3）M是AP的中点，N为PB的中点， ( http: / / www.21cnjy.com )点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．3．与线段长短有关的证明问题【例3】如图，点C在线段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且 ( http: / / www.21cnjy.com )满足AC﹣BC=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？总结：利用中点性质得出线段之间的等量关系是解题的关键．我们可以发现：无论点C在线段AB的什么位置（包括延长线），无论AC、BC的值是多少，MN都恒等于AB的一半.练3如图，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．
五、课后小测 一、选择题1．如下图，点A，B，C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是（ ）．A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．如下图，线段、射线或直线的条数说法正确的是（ ）． ( http: / / www.21cnjy.com )A．五条线段，三条射线 B．一条直线，三条射线C．三条线段，三条射线 D．三条线段，两条射线二、填空题3．如图3，能读出的线段共有______条． ( http: / / www.21cnjy.com )4．（2013秋 天柱县期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，平面内有公共端点的六条射线：OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字：1，2，3，4，5，6，7，…．根据规律将射线OD上的第n个数字（从O向D数）用含正整数n的式子表示为____________． ( http: / / www.21cnjy.com )5．（2014秋 定陶县期末）过两点最多可以画1条直线；过三点最多可以画3条直线；过四点最多可以画_______条直线；…；过同一平面上的n个点最多可以画________条直线．6．（2013秋 北流市期末）如图，共有_______条射线．7．（2014秋 金华期末）如图，该图中不同的线段数共有_________条． ( http: / / www.21cnjy.com )8．（2014秋 顺义区期末）直线AB外有C、D两个点，由点A、B、C、D可确定的直线条数是_______．三、解答题9．（2013秋 河西区期末）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若AC=8cm，CB=6cm，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？写出你的结论并说明理由；（3）若点C在线段AB的延长线上，且满足AC ( http: / / www.21cnjy.com )﹣BC=b，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形并写出你的结论（不必说明理由）．10．（2014秋 贵港期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点同时从P、B出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）．已知C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC．（1）线段AP与线段AB的数量关系是：_________；（2）若Q是线段AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求证：AP=PQ；（3）若C、D运动5秒后，恰好有CD=AB，此时C点停止运动，D点在线段PB上继续运动，M、N分别是CD、PD的中点，问 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． ( http: / / www.21cnjy.com )11．（2013秋 高新 ( http: / / www.21cnjy.com )区期末）已知：如图，数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为2，点C表示的数为﹣8，动点P从点A出发，沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．点M为线段BC中点，点N为线段BP中点．设运动时间为t秒．（1）线段AC的长为个单位长度；点M表示的数为________；（2）当t=5时，求线段MN的长度；（3）在整个运动过程中，求线段MN的长度．（用含t的式子表示）．12．（2014秋 盐都区校级期末）（ ( http: / / www.21cnjy.com )1）如下图，已知点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度．（2）在（1）中，如果AC=acm，BC=bcm，其它条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律．（3）对于（1）题，如果我们这样叙述它 ( http: / / www.21cnjy.com )：“已知线段AC=6cm，BC=4cm，点C在直线AB上，点M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．13．（2014秋 望江县期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和8．（1）求线段AB的长；（2）若P为射线BA上的一点（点P ( http: / / www.21cnjy.com )不与A、B两点重合，M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA上运动时；MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
典例探究答案：
【例1】【解析】（1）线段的表示方法：用线段两端的字母表示，字母无先后顺序，故表示的不同线段；
（2）射线的表示法：射线的端点在前，后面加上射线上的一个字母即可，表示的不同射线．
解：（1）用上述字母表示的不同线段共有3条，分别是AB、AC、BC；
（2）射线AC、射线BC、射线BA、射线CA，故共是4条．
练1 【解析】先求出A、B两站之间共有多少条线段，根据线段的条数即可求出车票的种数．
解：
设点C、D、E是线段AB上的三个点，根据题意可得：
图中共用条线段
∵A站到B站与B站到A站车票不同．
∴A、B两站之间需要安排车票共10×2=20种
故答案为20．
【例2】【解析】（1）①根据AB=2t即可得出结论；
②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得出CD的长；
（2）分类讨论；
（3）直接根据中点公式即可得出结论．
解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，
∴当t=2时，AB=2×2=4cm．
故答案为：4；
②∵AD=10cm，AB=4cm，
∴BD=10﹣4=6cm，
∵C是线段BD的中点，
∴CD=BD=×6=3cm；
（2）∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，
∴当0≤t≤5时，AB=2t；
当5＜t≤10时，AB=10﹣（2t﹣10）=20﹣2t；
（3）不变．
∵AB中点为E，C是线段BD的中点，
∴EC=（AB+BD）=AD=×10=5（cm）．
练2【解析】（1）由已知得OA=6，则OB=AB﹣OA=4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；
（2）动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t；
（3）可分两种情况，通过计算表示出线段MN的长都为AB，所以得出结论线段MN的长度不发生变化．
解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA=6，
则OB=AB﹣OA=4，
点B在原点左边，
所以数轴上点B所表示的数为﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t，
故答案为：6﹣6t；
（3）线段MN的长度不发生变化，
理由：
分两种情况：
①当点P在A、B两点之间运动时，如图
MN=MP+NP=BP+PA=AB=5
②当点P运动到B的左边时，如图
MN=MP﹣NP=AP﹣PB=AB=5
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．
【例3】【解析】（1）根据M、N分别是A ( http: / / www.21cnjy.com )C、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半，那么MC、CN的和就应该是AC、BC和的一半，也就是说MN是AB的一半，有了AC、CB的值，那么就有了AB的值，也就能求出MN的值了；
（2）方法同（1）只不过AC、BC的值换成了AC+CB=a cm，其他步骤是一样的；
（3）当C在线段AB的延长线上时，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半．于是，MC、NC的差就应该是AC、BC的差的一半，也就是说MN是AC﹣BC即AB的一半．有AC﹣BC的值，MN也就能求出来了；
（4）综合上面我们可发现，无论C在线段AB的什么位置（包括延长线），无论AC、BC的值是多少，MN都恒等于AB的一半．
解：（1）
∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，CN=BC，
∵MN=MC+CN，AB=AC+BC，
∴MN=AB=7cm；
（2）MN=，
∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，CN=BC，
又∵MN=MC+CN，AB=AC+BC，
∴MN=（AC+BC）=；
（3）∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
又∵AB=AC﹣BC，NM=MC﹣NC，
∴MN=（AC﹣BC）=；
（4）如图，只要满足点C在线段AB所在直线上，点M、N分别是AC、BC的中点．那么MN就等于AB的一半．
练3 【解析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度；
（2）与（1）同理，先用AC、BC表示出MC、CN，MN的长度就等于AC与BC长度和的一半．
解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM=AC=4cm，CN=BC=3cm，
∴MN=CM+CN=4+3=7cm；
（2）同（1）可得CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=（AC+BC）=a．
课后小测答案：
一、选择题
1．C
2．D
二、填空题
3．10
4．【解析】写出线段上的数据，再寻找并发现规律．
解：射线OD上的第1个数字为4，
第2个为旋转一周后，是第10个，
第3个，再旋转一周，转过了6个数字；
…
由此发现规律：每两个数字之差为6，那么射线OD上的第n个数字表示为6n﹣2．
5．【解析】根据已知所反映的规律1= ，3=，6=得出即可．
解：过过四点最多可以画=6条直线，
过同一平面上的n个点最多可以画条直线．
故答案为：6，．
6．【解析】根据射线的定义解答．
解：分别以点A、B、C、D为端点向左各有一条射线，
共4条．
故答案为：4．
7．【解析】根据图形数出线段的条数即可，注意不要重复和漏数．
解：线段AB，线段AD，线段BC，线段DC，线段AC，线段BD，共6条，
故答案为：6．
8．【解析】在明确两点确定一条直线的前提下，根据点的位置分类确定直线的条数．
解：当A、B、C、D4个点有3点在一条直线上时，可以确定4条直线，
当4点两两在一直线上时能确定6条直线．
故答案为：6或4．
三、解答题
9．【解析】（1）据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可．
（2）据题意画出图形即可得出答案．
（3）据题意画出图形即可得出答案．
解：（1）点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM=AC=4cm，
CN=BC=3cm，
∴MN=CM+CN=4+3=7cm．
所以线段MN的长为7cm．
（2）MN的长度等于a，
根据图形和题意可得：MN=MC+CN=AC+BC=（AC+BC）=a．
（3）MN的长度等于b，
根据图形和题意可得：
MN=MC﹣NC=AC﹣BC=（AC﹣BC）=b．
10．【解析】（1）根据BD=2PC可知PD=2AC，故可得出BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；
（2）由题意得AQ＞BQ，故AQ=AP+PQ，再根据AQ﹣BQ=PQ，可知AQ=BQ+PQ，故AP=BQ，由（1）得，AP=AB，故PQ=AB﹣AP﹣BQ=AB；
（3）当C点停止运动时，有CD=AB，故AC+BD=AB，所以AP﹣PC+BD=AB，再由AP=AB，PC=5cm，BD=10cm，所以AB﹣5+10=AB，解得AB=30cm，再根据M是CD中点，N是PD中点可得出MN的长，进而可得出结论．
解：（1）根据C、D的运动速度知：BD=2PC，
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，
∴点P在线段AB上的处，即AB=3AP．
故答案为：AB=3AP；
（2）证明：如图1，由题意得AQ＞BQ，
∴AQ=AP+PQ，
又∵AQ﹣BQ=PQ，
∴AQ=BQ+PQ，
∴AP=BQ．由（1）得，AP=AB，
∴PQ=AB﹣AP﹣BQ=AB．
（3）的值不变．
理由：如图2，当C点停止运动时，有CD=AB，
∴AC+BD=AB，
∴AP﹣PC+BD=AB，
∵AP=AB，PC=5cm，BD=10cm，
∴AB﹣5+10=AB，
解得AB=30cm．
∵M是CD中点，N是PD中点，
∴MN=MD﹣ND=CD﹣PD=CP=cm，
∴=．
11．【解析】（1）根据两点间的距离公式可得AC=6﹣（﹣8），根据中点坐标公式可得M点表示的数为﹣8+[2﹣（﹣8）]；
（2）当t=5时，可得P表示的数，再根据中点坐标公式可得N点表示的数，再根据两点间的距离公式可得线段MN的长度；
（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．
解：（1）线段AC的长为AC=6﹣（﹣8）=14个单位长度；
点M表示的数为﹣8+[2﹣（﹣8）]=﹣3；
（2）当t=5时，点P表示的数为6﹣5×1=1，
点N表示的数为2﹣[2﹣1]=1.5，
线段MN的长度为1.5﹣（﹣3）=4.5；
（3）①当点P在点A、B两点之间运动时，点P表示的数为6﹣t，
点N表示的数为2+[（6﹣t）﹣2]=4﹣t，
线段MN的长度为4﹣t﹣（﹣3）=7﹣t；
②当点P运动到点B的左侧时，点P表示的数为6﹣t，点N表示的数为2﹣[2﹣（6﹣t）]=4﹣t，
线段MN的长度为|4﹣t﹣（﹣3）|=|7﹣t|．
故答案为：14，﹣3．
12．【解析】（1）（2）在一条直线或 ( http: / / www.21cnjy.com )线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，最好准确画出几何图形，再根据题意进行计算；
（3）会出现两种情况：①点C在线段AB上；②点C在AB或BA的延长线上．不要漏解．
解：（1）∵AC=6cm，BC=4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN=（AC+CB）=×10=5cm；
（2）MN=，直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；
（3）如图，有变化，会出现两种情况：
①当点C在线段AB上时，MN=（AC+BC）=5cm；
②当点C在AB或BA的延长线上时，MN=（AC﹣BC）=1cm．
13．【解析】（1）根据数轴与绝对值知，AB=|OB|+|OA|；
（2）分两种情况进行讨论：①当点P在A、B两点之间运动时；②当点P在点A的左侧运动时．
解：（1）∵A，B两点所表示的数分别为﹣2和8，
∴0A=2，OB=8∴AB=OA+OB=lO．（5分）
（2）线段MN的长度不发生变化，其值为5．分下面两种情况：
①当点P在A、B两点之间运动时（如图甲）．
MN=MP+NP=AP+BP=AB=5（3分）
②当点P在点A的左侧运动时（如图乙）．
MN=NP﹣MP=BP﹣AP=AB=5
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．
二、知识回顾 填空:AD=AB+（ BD ）=AC+（ CD ） =BC+（ AB ）+（ CD ）AD-CD=（ AC ）AD-BC=（ AB+CD ）
三、新知讲解 “四法”教你学会数线段①用基本线段数利用基本线段，依照分类讨论的方法数线段的条数时，可以做到不重不漏．问题1：数出图中线段的数量．解答：我们把AB，BC，CD，DE这四条线段成为基本线段．只含1条基本线段的有AB,BC,CD,DE,共4条；只含2条基本线段的有AC,BD,CE,共3条；只含3条基本线段的有AD,BE,共3条；只含4条基本线段的有AE,共1条；因此图中共有4+3+2+1=10条线段．②按端点数当直线上的点比较多时，按端点的位置采用分类讨论的方法数线段条数：从左到右，一次改变一个端点，只能向前，不能回头．问题2：如图，六个点O,A,B,C,D,E在同一条直线上，图中有几条线段？解答：以O为端点开始向右数，依次为OA，OB，OC，OD，OE，共5条；以A为端点开始向右数，依次为AB，AC，AD，AE，共4条；以B为端点开始向右数，依次为BC，BD，BE，共3条；以C为端点开始向右数，依次为CD，CE，共2条；以D为端点开始向右数，依次为DE，共1条；因此，图中共有5+4+3+2+1=15条线段．③利用规律计算通过上面两种方法的列式可以总结出如下规律：若基本线段有n条，则图形中共有n+(n-1)+(n-2)+…+1条线段.若端点数有m个，则图形中共有（m-1）+(m-2)+(m-3)+...+1条线段.④利用公式计算线段总条数=端点数×（端点数-1）÷2，即：线段总条数=（n为端点的个数）．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．求图中直线、射线、线段的数量【例1】如图，A、B、C三点在同一直线上．（1）用上述字母表示的不同线段共有______条；（2）用上述字母表示的不同射线共有______条．总结：求线段条数，可以先数端点数，然后按照从端点开始依次向右数的方法数，或者直接套用公式线段总条数=（n为端点的个数）．求射线条数，先看端点，依次累加各端点出发 ( http: / / www.21cnjy.com )的射线条数即可.但是如果题目要求用字母表示的不同射线条数时，要看各端点出发的射线是否能用字母表示，不能用字母表示的射线不能算.练1乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可 ( http: / / www.21cnjy.com )到达B站，那么在A、B两站之间需要安排不同的车票__________种．（友情提示：A站到B站与B站到A站车票不同．）2．线段上的动点问题【例2】如图，B是线段AD上一动点，沿A→ ( http: / / www.21cnjy.com )D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD=10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t=2时，①AB=_______cm；②求线段CD的长度．（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长．（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．总结：题设图形中存在一个或多个动点在线段、射线或弧线上运动的一类开放性问题，我们称为动点型问题.动点问题一定要把握运动变化的起点、终点、转折点及运动方式，采用“动中取静”的方法来解，注意研究各线段之间的等量关系.动点问题要时刻注意分类讨论.练2如图，已知数轴上点A表 ( http: / / www.21cnjy.com )示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，（1）写出数轴上点B所表示的数；（2）点P所表示的数（用含t的代数式表示）；（3）M是AP的中点，N为PB的中点， ( http: / / www.21cnjy.com )点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．3．与线段长短有关的证明问题【例3】如图，点C在线段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且 ( http: / / www.21cnjy.com )满足AC﹣BC=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？总结：利用中点性质得出线段之间的等量关系是解题的关键．我们可以发现：无论点C在线段AB的什么位置（包括延长线），无论AC、BC的值是多少，MN都恒等于AB的一半.练3如图，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．
五、课后小测 一、选择题1．如下图，点A，B，C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是（ ）．A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．如下图，线段、射线或直线的条数说法正确的是（ ）． ( http: / / www.21cnjy.com )A．五条线段，三条射线 B．一条直线，三条射线C．三条线段，三条射线 D．三条线段，两条射线二、填空题3．如图3，能读出的线段共有______条． ( http: / / www.21cnjy.com )4．（2013秋 天柱县期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，平面内有公共端点的六条射线：OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字：1，2，3，4，5，6，7，…．根据规律将射线OD上的第n个数字（从O向D数）用含正整数n的式子表示为____________． ( http: / / www.21cnjy.com )5．（2014秋 定陶县期末）过两点最多可以画1条直线；过三点最多可以画3条直线；过四点最多可以画_______条直线；…；过同一平面上的n个点最多可以画________条直线．6．（2013秋 北流市期末）如图，共有_______条射线．7．（2014秋 金华期末）如图，该图中不同的线段数共有_________条． ( http: / / www.21cnjy.com )8．（2014秋 顺义区期末）直线AB外有C、D两个点，由点A、B、C、D可确定的直线条数是_______．三、解答题9．（2013秋 河西区期末）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若AC=8cm，CB=6cm，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？写出你的结论并说明理由；（3）若点C在线段AB的延长线上，且满足AC ( http: / / www.21cnjy.com )﹣BC=b，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形并写出你的结论（不必说明理由）．10．（2014秋 贵港期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点同时从P、B出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）．已知C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC．（1）线段AP与线段AB的数量关系是：_________；（2）若Q是线段AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求证：AP=PQ；（3）若C、D运动5秒后，恰好有CD=AB，此时C点停止运动，D点在线段PB上继续运动，M、N分别是CD、PD的中点，问 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． ( http: / / www.21cnjy.com )11．（2013秋 高新 ( http: / / www.21cnjy.com )区期末）已知：如图，数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为2，点C表示的数为﹣8，动点P从点A出发，沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．点M为线段BC中点，点N为线段BP中点．设运动时间为t秒．（1）线段AC的长为个单位长度；点M表示的数为________；（2）当t=5时，求线段MN的长度；（3）在整个运动过程中，求线段MN的长度．（用含t的式子表示）．12．（2014秋 盐都区校级期末）（ ( http: / / www.21cnjy.com )1）如下图，已知点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度．（2）在（1）中，如果AC=acm，BC=bcm，其它条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律．（3）对于（1）题，如果我们这样叙述它 ( http: / / www.21cnjy.com )：“已知线段AC=6cm，BC=4cm，点C在直线AB上，点M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．13．（2014秋 望江县期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和8．（1）求线段AB的长；（2）若P为射线BA上的一点（点P ( http: / / www.21cnjy.com )不与A、B两点重合，M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA上运动时；MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
典例探究答案：
【例1】【解析】（1）线段的表示方法：用线段两端的字母表示，字母无先后顺序，故表示的不同线段；
（2）射线的表示法：射线的端点在前，后面加上射线上的一个字母即可，表示的不同射线．
解：（1）用上述字母表示的不同线段共有3条，分别是AB、AC、BC；
（2）射线AC、射线BC、射线BA、射线CA，故共是4条．
练1 【解析】先求出A、B两站之间共有多少条线段，根据线段的条数即可求出车票的种数．
解：
设点C、D、E是线段AB上的三个点，根据题意可得：
图中共用条线段
∵A站到B站与B站到A站车票不同．
∴A、B两站之间需要安排车票共10×2=20种
故答案为20．
【例2】【解析】（1）①根据AB=2t即可得出结论；
②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得出CD的长；
（2）分类讨论；
（3）直接根据中点公式即可得出结论．
解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，
∴当t=2时，AB=2×2=4cm．
故答案为：4；
②∵AD=10cm，AB=4cm，
∴BD=10﹣4=6cm，
∵C是线段BD的中点，
∴CD=BD=×6=3cm；
（2）∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，
∴当0≤t≤5时，AB=2t；
当5＜t≤10时，AB=10﹣（2t﹣10）=20﹣2t；
（3）不变．
∵AB中点为E，C是线段BD的中点，
∴EC=（AB+BD）=AD=×10=5（cm）．
练2【解析】（1）由已知得OA=6，则OB=AB﹣OA=4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；
（2）动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t；
（3）可分两种情况，通过计算表示出线段MN的长都为AB，所以得出结论线段MN的长度不发生变化．
解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA=6，
则OB=AB﹣OA=4，
点B在原点左边，
所以数轴上点B所表示的数为﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t，
故答案为：6﹣6t；
（3）线段MN的长度不发生变化，
理由：
分两种情况：
①当点P在A、B两点之间运动时，如图
MN=MP+NP=BP+PA=AB=5
②当点P运动到B的左边时，如图
MN=MP﹣NP=AP﹣PB=AB=5
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．
【例3】【解析】（1）根据M、N分别是A ( http: / / www.21cnjy.com )C、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半，那么MC、CN的和就应该是AC、BC和的一半，也就是说MN是AB的一半，有了AC、CB的值，那么就有了AB的值，也就能求出MN的值了；
（2）方法同（1）只不过AC、BC的值换成了AC+CB=a cm，其他步骤是一样的；
（3）当C在线段AB的延长线上时，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半．于是，MC、NC的差就应该是AC、BC的差的一半，也就是说MN是AC﹣BC即AB的一半．有AC﹣BC的值，MN也就能求出来了；
（4）综合上面我们可发现，无论C在线段AB的什么位置（包括延长线），无论AC、BC的值是多少，MN都恒等于AB的一半．
解：（1）
∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，CN=BC，
∵MN=MC+CN，AB=AC+BC，
∴MN=AB=7cm；
（2）MN=，
∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，CN=BC，
又∵MN=MC+CN，AB=AC+BC，
∴MN=（AC+BC）=；
（3）∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
又∵AB=AC﹣BC，NM=MC﹣NC，
∴MN=（AC﹣BC）=；
（4）如图，只要满足点C在线段AB所在直线上，点M、N分别是AC、BC的中点．那么MN就等于AB的一半．
练3 【解析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度；
（2）与（1）同理，先用AC、BC表示出MC、CN，MN的长度就等于AC与BC长度和的一半．
解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM=AC=4cm，CN=BC=3cm，
∴MN=CM+CN=4+3=7cm；
（2）同（1）可得CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=（AC+BC）=a．
课后小测答案：
一、选择题
1．C
2．D
二、填空题
3．10
4．【解析】写出线段上的数据，再寻找并发现规律．
解：射线OD上的第1个数字为4，
第2个为旋转一周后，是第10个，
第3个，再旋转一周，转过了6个数字；
…
由此发现规律：每两个数字之差为6，那么射线OD上的第n个数字表示为6n﹣2．
5．【解析】根据已知所反映的规律1= ，3=，6=得出即可．
解：过过四点最多可以画=6条直线，
过同一平面上的n个点最多可以画条直线．
故答案为：6，．
6．【解析】根据射线的定义解答．
解：分别以点A、B、C、D为端点向左各有一条射线，
共4条．
故答案为：4．
7．【解析】根据图形数出线段的条数即可，注意不要重复和漏数．
解：线段AB，线段AD，线段BC，线段DC，线段AC，线段BD，共6条，
故答案为：6．
8．【解析】在明确两点确定一条直线的前提下，根据点的位置分类确定直线的条数．
解：当A、B、C、D4个点有3点在一条直线上时，可以确定4条直线，
当4点两两在一直线上时能确定6条直线．
故答案为：6或4．
三、解答题
9．【解析】（1）据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可．
（2）据题意画出图形即可得出答案．
（3）据题意画出图形即可得出答案．
解：（1）点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM=AC=4cm，
CN=BC=3cm，
∴MN=CM+CN=4+3=7cm．
所以线段MN的长为7cm．
（2）MN的长度等于a，
根据图形和题意可得：MN=MC+CN=AC+BC=（AC+BC）=a．
（3）MN的长度等于b，
根据图形和题意可得：
MN=MC﹣NC=AC﹣BC=（AC﹣BC）=b．
10．【解析】（1）根据BD=2PC可知PD=2AC，故可得出BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；
（2）由题意得AQ＞BQ，故AQ=AP+PQ，再根据AQ﹣BQ=PQ，可知AQ=BQ+PQ，故AP=BQ，由（1）得，AP=AB，故PQ=AB﹣AP﹣BQ=AB；
（3）当C点停止运动时，有CD=AB，故AC+BD=AB，所以AP﹣PC+BD=AB，再由AP=AB，PC=5cm，BD=10cm，所以AB﹣5+10=AB，解得AB=30cm，再根据M是CD中点，N是PD中点可得出MN的长，进而可得出结论．
解：（1）根据C、D的运动速度知：BD=2PC，
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，
∴点P在线段AB上的处，即AB=3AP．
故答案为：AB=3AP；
（2）证明：如图1，由题意得AQ＞BQ，
∴AQ=AP+PQ，
又∵AQ﹣BQ=PQ，
∴AQ=BQ+PQ，
∴AP=BQ．由（1）得，AP=AB，
∴PQ=AB﹣AP﹣BQ=AB．
（3）的值不变．
理由：如图2，当C点停止运动时，有CD=AB，
∴AC+BD=AB，
∴AP﹣PC+BD=AB，
∵AP=AB，PC=5cm，BD=10cm，
∴AB﹣5+10=AB，
解得AB=30cm．
∵M是CD中点，N是PD中点，
∴MN=MD﹣ND=CD﹣PD=CP=cm，
∴=．
11．【解析】（1）根据两点间的距离公式可得AC=6﹣（﹣8），根据中点坐标公式可得M点表示的数为﹣8+[2﹣（﹣8）]；
（2）当t=5时，可得P表示的数，再根据中点坐标公式可得N点表示的数，再根据两点间的距离公式可得线段MN的长度；
（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．
解：（1）线段AC的长为AC=6﹣（﹣8）=14个单位长度；
点M表示的数为﹣8+[2﹣（﹣8）]=﹣3；
（2）当t=5时，点P表示的数为6﹣5×1=1，
点N表示的数为2﹣[2﹣1]=1.5，
线段MN的长度为1.5﹣（﹣3）=4.5；
（3）①当点P在点A、B两点之间运动时，点P表示的数为6﹣t，
点N表示的数为2+[（6﹣t）﹣2]=4﹣t，
线段MN的长度为4﹣t﹣（﹣3）=7﹣t；
②当点P运动到点B的左侧时，点P表示的数为6﹣t，点N表示的数为2﹣[2﹣（6﹣t）]=4﹣t，
线段MN的长度为|4﹣t﹣（﹣3）|=|7﹣t|．
故答案为：14，﹣3．
12．【解析】（1）（2）在一条直线或 ( http: / / www.21cnjy.com )线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，最好准确画出几何图形，再根据题意进行计算；
（3）会出现两种情况：①点C在线段AB上；②点C在AB或BA的延长线上．不要漏解．
解：（1）∵AC=6cm，BC=4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN=（AC+CB）=×10=5cm；
（2）MN=，直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；
（3）如图，有变化，会出现两种情况：
①当点C在线段AB上时，MN=（AC+BC）=5cm；
②当点C在AB或BA的延长线上时，MN=（AC﹣BC）=1cm．
13．【解析】（1）根据数轴与绝对值知，AB=|OB|+|OA|；
（2）分两种情况进行讨论：①当点P在A、B两点之间运动时；②当点P在点A的左侧运动时．
解：（1）∵A，B两点所表示的数分别为﹣2和8，
∴0A=2，OB=8∴AB=OA+OB=lO．（5分）
（2）线段MN的长度不发生变化，其值为5．分下面两种情况：
①当点P在A、B两点之间运动时（如图甲）．
MN=MP+NP=AP+BP=AB=5（3分）
②当点P在点A的左侧运动时（如图乙）．
MN=NP﹣MP=BP﹣AP=AB=5
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．