【多媒体导学案】人教版七年级数学上册第4章第7课时《角的概念和分类》（教师版，含答案）

一、学习目标 1．理解角的形成，建立几何中角的概念.2．掌握角的两种定义形式和四种表示方法.3. 理解平角、周角的概念.
二、知识回顾 1．如图，时钟的时针与分针，棱锥相交的两条棱，直尺相交的两条边，给我们什么平面图形的形象？　　角　　 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
三、新知讲解 1．角的静态定义有　　公共端点　　的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点是角的　　顶点　　，这两条射线是角的　　两条边　　. ( http: / / www.21cnjy.com )2．角的动态定义角也可以看作由一条射线绕着它的端点从一个 ( http: / / www.21cnjy.com )位置旋转到另一个位置而形成的图形，起始位置的射线叫做角的　　始边　　，终止位置的射线叫做角的　　终边　　.如图（1）所示. ( http: / / www.21cnjy.com )如图（2），当射线旋转到起始位置OA与终止位置OB，OA,OB在一条直线上时，形成　　平　　角；如图（3），继续旋转，OB与OA重合时，又形成　　周　　角；3．角的表示方法①用三个大写字母表示，表示顶点的字母写在中间：∠AOB；②用一个大写字母表示：∠O；③用一个希腊字母表示：∠ａ；④用一个阿拉伯数字表示：∠1. ( http: / / www.21cnjy.com )思考：用适当的方法表示下图中的每个角： ( http: / / www.21cnjy.com )4．角的分类角可分为锐角、直角、钝角、平角和周角，其中周角＞平角＞钝角＞直角＞锐角.
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．角的定义【例1】下列语句中正确的是（ ）A．从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角B．两条直线相交，组成的图形叫做角C．从同一点引出的两条线段组成的图形叫做角D．两条线段相交组成的图形叫做角总结：角的概念：从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角，所以角有两个基本元素：（1）边是两条射线；（2）顶点是这两条射线的公共端点．练1图中包含了（ ）个角． ( http: / / www.21cnjy.com )A．5个 B．6个 C．7个 D．8个2．角的表示方法【例2】如下图，以B为顶点的角有几个？把它们表示出来. ( http: / / www.21cnjy.com )总结：数角时注意不重不漏，按照一定的顺序来数.角的表示方法有三种：(1)用三个大写字母来表示,在角的两条边上 ( http: / / www.21cnjy.com )各取一个点,把表示顶点的字母写在这两个点的字母中间. 如下图（1）中的角，可以记作∠AOB或∠BOA．(2)用一个大写字母来表示,如果某个角的顶点处只有一个角，此时就可以用顶点的大写字母来表示.如下图（1）中的∠AOB也可以记作∠O．(3)用一个小写希腊字母或一个阿拉伯数字来表示，把它们写在角的内部靠近顶点处,并加上弧线.如下图（2）中的∠AOB，∠BOC可以分别记作∠，∠1． ( http: / / www.21cnjy.com ) 图（1） 图（2）练2如图，下列说法错误的是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．∠DAE也可以表示为∠A B．∠1也可以表示为∠ABCC．∠BCE也可以表示为∠C D．∠ABD是一个平角角的分类【例3】下列各角中，是钝角的是（ ）A．周角 B．周角 C．平角 D．平角总结：角按大小可分为5类，分别是周角、平角 ( http: / / www.21cnjy.com )、钝角、直角和锐角，其中，周角=360°，平角=180°.钝角大于90°而小于180°，直角等于90°，锐角大于0°而小于90°．练3小于平角的角可分为（ ）A．锐角、钝角 B．直角、平角C．余角、补角 D．锐角、直角与钝角
五、课后小测 一、选择题1．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )2．（2013秋 大兴区期末）如图，图形表示的是（ ）A．直线 B．射线 C．平角 D．周角3．（2013秋 合浦县期末）如图，射线AB与AC所组成的角不正确的表示方法是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．∠1 B．∠A C．∠BAC D．∠CAB4．若剪去长方形的一个角，剩下的图形有（ ）个角．A．3 B．4 C．5 D．以上都有可能5．如图所示，从O点出发的五条射线，可以组成小于平角的角的个数是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．10个 B．9个 C．8个 D．4个6．如图，∠AOB=90°，以O为顶点的锐角共有（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．6个 B．5个 C．4个 D．3个7．如图，下列说法错误的是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．∠B也可以表示为∠ABCB．∠BAC也可以表示为∠AC．∠1也可以表示为∠CD．以C为顶点且小于180°的角有3个8．两个角是锐角，它们的和（ ）A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．以上都有可能9．下列叙述正确的是（ ）A．1周角=4平角 B．1平角=2直角 C．1周角=180° D．1平角=360°10．下列说法错误的有（ ）（1）平角是一条直线；（2）互补的角就是平角；（3）钝角一定大于它的补角；（4）锐角一定小于它的余角；（5）两条边成一直线的角是平角．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．如图，下列说法：（1 ( http: / / www.21cnjy.com )）∠ECG和∠C是同一个角；（2）∠OGF和∠OGB是同一个角；（3）∠DOF和∠EOG是同一个角；（4）∠ABC和∠ACB不是同一个角，其中正确的说法有（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．如图所示，在∠AOB的内部有4条射线，则图中角的个数为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )A．10 B．15 C．5 D．2013．（2014秋 安陆市期末）钟表上的时间为晚上8点，这时时针和分针之间的夹角（小于平角）的度数是（ ）A．120° B．105° C．100° D．90°二、填空题14．（2014秋 朝阳区期末）如图，图中有 个角（小于180°）． ( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题15．观察下图，回答下列问题：（1）在图①中有几个角？（2）在图②中有几个角？（3）在图③中有几个角？（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？ ( http: / / www.21cnjy.com )16．（2014秋 郑州期末）王老师到 ( http: / / www.21cnjy.com )市场去买菜，发现如果把10千克的菜放到秤上，指标盘上的指针转了180°．如图所示，第二天王老师就给同学们出了两个问题：（1）如果把0.5千克的菜放在秤上，指针转过多少角度？（2）如果指针转了54°，这些菜有多少千克？ ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】【解析】根据角的定义可知：角是有公共端点的两条射线组成的图形，根据定义逐一判断．
解：A、从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角，正确；
B、两条直线相交，形成4个角，错误；
C、角的两条边是射线，错误；
D、从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角，错误．
故选A．　　
练1 【解析】根据角的概念直接写出图中所有的角，看有几个即可．
解：图中所有的角为：∠ABC，∠ACB，∠BCA，∠CAD，∠CDA，∠ADC，∠BAD，∠BCD. 共8个．
故选D．　　
【例2】【解析】以 B 为顶点的角有3个，分别是∠ ABD，∠CBD，∠ABC．　　
练2 【解析】根据角的表示方法在本 ( http: / / www.21cnjy.com )题中，当顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示，也可用三个大写字母表示，顶点处有多个角时，不能只用一个大写字母表示，依次推理即可得出结论．
解：A、A处就有一个角，∴∠DAE也可以表示为∠A正确，
B、∠1也可以表示为∠ABC正确，
C、∵C处有多个角，∴∠BCE不可以表示为∠C，故C错误，
D、ABD在一条线上，∴∠ABD是一个平角正确，
故选C．　　
【例3】【解析】1周角=360°，1平角=180；故平角=120°是钝角．
解：平角=180°，钝角大于90°而小于180°，
平角=×180°=120°．
故选C．　　
练3 【解析】此题要根据平角、钝角、直角、锐角的概念，确定其取值范围，然后进行选择．
解：各种角的取值范围是：0°＜锐角＜90°；
直角=90°；
90°＜钝角＜180°；
平角=180度．
故选D．　　
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】根据角的表示方法和图形选出即可．
解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
故选D．
2．【解析】根据直线、射线、平角、周角的定义，结合图形作出判断．
解：周角可以看做一条射线绕端点旋转一周或始边与终边成一条射线，由图形特点可知图形表示的是周角．
故选D．
点评：周角的特点是两条边重合成射线，但不能说成周角是一条射线，因为角和线是两个不同的概念，二者不能混淆．
3．【解析】根据角的表示方法分别判断得出即可．
解：A、∠1可以表示射线AB与AC所组成的角，故正确，不合题意；
B、∠A不可以表示射线AB与AC所组成的角，故错误，符合题意；
C、∠BAC可以表示射线AB与AC所组成的角，故正确，不合题意；
D、∠CAB可以表示射线AB与AC所组成的角，故正确，不合题意．
故选：B．
4．【解析】分三种情况探讨：①沿着对角线剪；②经过一条和一角剪；③经过两条边剪；由此画出图形直观得出答案即可．
解：剪的情况如下：
①剩下的图形有3个角；
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②剩下的图形有4个角；
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③剩下的图形有5个角；
( http: / / www.21cnjy.com )
故选：D．
5．【解析】按一定的规律数即可．
解：先数出以OA为一边的角，再数出以OB、OC、OD、OE为一边的角，把他们加起来．
也可根据公式：来计算，其中，n指从点O发出的射线的条数．
∵图中共有四条射线，
∴图中小于平角的角共有=10个．
故选A．
点评：此题通过数角的个数，考查了同学们总结规律的能力或公式应用的能力，值得关注．
6．【解析】明确角的概念，依次数出以OA、OD、OC为一边的角的个数即可．
解：以OA为一边的角，∠AOD，∠AOC；
以OD为一边的角，∠DOC，∠DOB；
以OC为一边的角，∠COB．
共5个角．
故选B．
7．【解析】∠ABC、∠BAC的顶点处只有一个角，故可用一个字母来表示；点C处有三个角，每个角只能用三个字母表示．
解：A、∵∠ABC的顶点处只有一个角，∴∠B也可以表示为∠ABC，A正确；
B、∵∠BAC的顶点处只有一个角，∴∠BAC也可以表示为∠A，B正确；
C、点C处有三个角，每个角只能用三个字母表示，∠1不可以表示为∠C，C错误；
D、以C为顶点且小于180°的角有3个，为∠ACB，∠ACD，∠BCD，D正确．
故选C．
8．【解析】首先理解锐角的概念，锐角的范围是0到90°，然后分析两角之和所得角的形状．
解：当两锐角都小于45°时，两角之和为锐角，
当两角都大于45°时，两角之和为钝角，
一角大于45°，一角小于45°，两角之和可能为直角，
故选D．
9．【解析】根据直角、平角和周角的定义得到1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°，然后分别进行判断即可．
解：A、1周角=360°，1平角=180°，所以A选项错误；
B、1平角=180°，1直角=90°，所以B选项正确；
C、1周角=360°，所以C选项错误；
D、1平角=180°，所以D选项错误．
10．【解析】答题时首先知道平角、钝角、锐角、补余角的概念，然后判断．
解：（1）正因为它叫“角”，所以拥有角的最基本性质﹣﹣角是由一个顶点和两条射线构成的，它不是一条直线，故不正确，
（2）互补的角就是平角，不正确，只要两角之和为180°，两角互补，不一定是平角，故（2）不正确，
（3）钝角一定大于它的补角，钝角的补角是锐角，故（3）正确，
（4）锐角一定小于它的余角，当角小于45°时存立，故（4）不正确，
（5）两条边成一直线的角是平角，不正确，还可能是零角，故（5）不正确，
故选D．
11．【解析】角的两个基本元素中，边是两条射线，顶点是这两条射线的公共端点．是同一个角必须满足顶点相同，角的两边必须分别是指同一条射线．
解：根据角的定义可知：
（1）∠ECG与∠C满足顶点相同，两边所在的射线相同．∠ECG和∠C是同一个角，正确；
（2）∠OGF与∠OGB满足顶点相同，两边所在的射线相同．∠OGF和∠OGB是同一个角，正确；
（3）∠DOF与∠EOG的顶点相同，两边所在的射线不相同．∠DOF和∠EOG不是同一个角，错误；
（4）∠ABC与∠ACB的顶点不相同，两边所在的射线也不相同．∠ABC和∠ACB不是同一个角，正确．
说法正确的有三个，故选C．
12．【解析】图中的任意两条射线就可以构成一个角，据此即可求解．
解：图中角的个数是：×6×（6﹣1）=15．
故选B．
13．【解析】由于钟表上的时间为晚 ( http: / / www.21cnjy.com )上8点，即时针指向8，分针指向12，这时时针和分针之间有4大格，根据钟面被分成12大格，每大格为30°即可得到它们的夹角．
解：∵钟表上的时间为晚上8点，即时针指向8，分针指向12，
∴这时时针和分针之间的夹角（小于平角）的度数=（12﹣8）×30°=120°．
故选A．
二．填空题
14．【解析】根据图形和角的概念即可判断．
解：小于180°的角为锐角．
由图可得：
锐角有∠A，∠B，∠ACB，∠ACD共4个．
故答案为：4．
三、解答题
15．【解析】解答此题首先要弄清楚题目的规律：当图中有n条射线时，每条射线都与（n﹣1）条射线构成了（n﹣1）个角，则共有n（n﹣1）个角，由于两条射线构成一个角，因此角的总数为：，可根据这个规律，直接求出（1）（2）（3）的结论；
在解答（4）题时，首先要弄清图中共有多少条射线，已知角内共n条射线，那么图中共有（n+2）条射线，代入上面的规律，即可得到所求的结论．
解：由分析知：
（1）①图中有2条射线，则角的个数为：=1（个）；
（2）②图中有3条射线，则角的个数为：=3（个）；
（3）③图中有4条射线，则角的个数为：=6（个）；
（4）由前三问类推，角内有n条射线时，图中共有（n+2）条射线，则角的个数为个．
点评：解答此类规律型问题，一定要弄清题目的规律，可以从简单的图形入手进行总结，然后得到一般化结论再进行求解．
16．【解析】（1）根据10把千克的菜放到秤上，指标盘上的指针转了180°，得出每千克菜放在秤上，指针转过度数，进而得出答案；
（2）根据（1）中所求得出菜的质量．
解：（1）∵=18°，∴0.5×18°=9°，
0.5千克的菜放在秤上，指针转过9°；
（2）∵=3（千克），
∴菜的质量共有3千克菜．
点评：此题主要考查了钟面角有关知识，根据已知得出每千克菜放在秤上，指针转过度数是解题关键．