【多媒体导学案】人教版七年级数学上册第4章第9课时《角的比较与运算》（教师版，含答案）

一、学习目标 根据图形比较几个角的大小；理解角的和、差的概念；掌握角平分线的概念及简单应用；掌握角度的运算．
二、知识回顾 1．已知线段AB和线段CD（如图），你如何比较这两条线段的大小？　　1．测量法；2．叠合法　　2．如图，图中共有几个角？如何表示这些角？这些角之间有什么关系？ ( http: / / www.21cnjy.com )3个角；∠AOB，∠AOC，∠BOC　　∠AOB=∠AOC—∠BOC　　∠AOC=∠AOB+∠BOC　　∠BOC=∠AOC∠AOB　　
三、新知讲解 1．角的比较1．度量法先用量角器分别量出各角的度数，再按度数比较角的大小．具体方法如下；（1）对“中”——角的顶点对量角器的中心；（2）重合——角的一边与量角器的零线重合；（3）读数——读出角的另一边所对的度数；（4）比较度数——根据度数的大小确定两个角的大小.如下图所示，通过度量法得出∠ABC>∠DEF．2．重叠法要比较∠ABC和∠DEF两角的大小，只要使这两个角的顶点B,E重合，一边BA和ED重合，使另一边落在BA的同旁．具体方法如下：（1）将两个角的顶点及一边重合；（2）两个角的另一边落在重合一边的同侧；（3）由两个角的另一边的位置确定两个角的大小．2．角的运算角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算．（1）角的度、分、秒是60进制的，1°=60′，1′=60″；（2）角度加减时，要将度分秒分别相加、相减，分秒相加时逢60要进位，相减不够时要向高级单位借1作60：（3）度、分、秒形式乘一个数时，将度、分、秒分别乘这个数，分、秒逢60进位；（4）度、分、秒形式除以一个数时，将度、分、秒分别除以这个数，注意将高位的余数转化成低位，与原位上的数相加后再除以这个数．3．角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.如下图，OC平分∠AOB，可以得到以下结论：AOC=∠BOC；②∠AOB=2∠AOC，或者∠AOB=2∠BOC；AOC=∠AOB，或者∠BOC=∠AOB．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．角的比较【例1】如图所示，比较∠α与∠β的大小． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：比较两个角的大小，通常有以下方法：目测法.对于两个角大小差别比较大的情况，目测即可比较出谁大谁小；度量法.用量角器量出角的度数，角的大小按其度数比较，度数大的角则大，度数小的角则小；叠合法.把两个角的顶点及一边重合，另一边在重合边的同侧，由另一边的位置确定两个角的大小.特殊角的大小比较：锐角<直角<钝角<平角<周角．2．角的大小只与开口大小有关，而与所画边的长短无关.练1．（2014秋 故城县校级月考）将∠ ( http: / / www.21cnjy.com )1、∠2的顶点和其中一边重合，另一边都落在重合边的同侧，且∠1＞∠2，那么∠1的另一边落在∠2的（　　）A．另一边上 B．内部 C．外部 D．无法判断练2．如图所示，小于平角的角有（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．9个 B．8个 C．7个 D．6个2．角度的四则运算【例2】计算：（1）（2014秋 罗甸县校级期末）18.3°+26°34′=　 ．（2）（2014秋 营口期末）计算：（13.9°+5°4′3″）×2﹣（6°5′+2°8′23″）（结果用度分秒表示）总结：进行角度的运算时，为了计算方便，一般都先统一角度的表示方法，即：都转化为度的表示，或都转化为度分秒的表示.题目有要求的，按照题目要求的来.度分秒的加减法运算，仍然满足“进位加法”和“借位减法”的原则，只不过进制是60，即满60进1,借1当60．度分秒的乘除法运算：（1）乘法可运用乘法法则和分配律进行运算，算出结果的度、分、秒是多少，再按照满60进1的原则将结果化简；（2）除法可先除得整数度，再把余下的度化成分，除得整数分，再把余下的分化成秒，最后除得整数秒(有时要用四舍五入法取舍).练3．（2014秋 利辛县校级期末）①3.76°=　　　　　　；②15°48′36″+37°27′59″=　 　．练4．（2014秋 韶关期末）90°﹣27°32′42″=　 　．3．角的和、差与角平分线的综合计算【例3】（2014秋 郑州期末）已知∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（　　）A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°总结：学分线的知识，可以类比线段中点的学习 ( http: / / www.21cnjy.com )方法．比如线段的中点有“等长”、“倍长”和“半长”三种不同的表示方法，相应的角平分线也有“等角”、“倍角”和“半角”三种不同的表示方法．应用角平分线的定义时，要根据已知条件和要求的角灵活选择等、倍、分关系式.当题目中没有给出图形时，要按要求先画出相应图形，再解答，注意可能画出多种不同的图形.必要时进行分类讨论.练5．（2013秋 仪征市期末）如图，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB=80°，则∠MON=　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )练6.（2014秋 丹东期末）如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小． ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 一、选择题1．如图，∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠DOB的大小关系是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．∠AOC＞∠DOB B．∠AOC＜∠DOBC．∠AOC=∠DOB D．∠AOC与∠DOB无法比较大小2．比较∠CAB与∠DAB时，把它们的顶点A和边AB重合，把∠CAB和∠DAB放在AB的同一侧，若∠CAB＞∠DAB，则（　　）A．AD落在∠CAB的内部 B．AD落在∠CAB的外部C．AC和AD重合 D．不能确定AD的位置二、填空题3．（2014秋 开封期末）如图所示，其中 ( http: / / www.21cnjy.com )最大的角是　 　，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )4．（2014秋 江都市校 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）在同一平面内已知∠AOB=80°，∠BOC=20°，OM、ON分别是∠AOB和∠BOC的平分线，则∠MON的度数是　 　．三、解答题5．（2013秋 昆明校级期末）如图，数一数以O为顶点且小于180°的角一共有多少个？你能得到解这类问题的一般方法吗？ ( http: / / www.21cnjy.com )6．（2013秋 大兴区期末）计算：38°49′×3．7．（2014秋 岳池县期末）计算：85°16′﹣18°47′﹣（35°22′﹣26°52′）．8．（2014秋 北京期末）如下图，已 ( http: / / www.21cnjy.com )知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC=30°，OE是∠COB的平分线．当∠COE=40°时，求∠AOB的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )9．（2014秋 杭州期末）已知：如图，∠AOB=80°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）当∠AOC=30°时，求∠MON的大小；（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？请说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com )
例题答案：
【例1】
分析：根据度量法或叠合法即可得出结论．
解答：解：方法一：∵用量角器∠α=60°，∠β=46°，
∴∠α＞∠β．
方法二：①作∠AOB=∠α；
②用点O作顶点，一边为射线OA，在与OB同侧的方向作∠AOC=∠β，
∵射线OC在∠AOB的内部，
∴∠α＞∠β．
点评：本题考查的是角的大小比较，熟知比较角的大小的两种方法是解答此题的关键．
【例2】
分析：（1）根据分加分，度加度，可得答案；
（2）利用度、分、秒的换算即可，再注意运算顺序，秒的结果若满60，则转化为1分，分的结果若满60，则转化为1度．
解答：解：（1）18.3°+26°34′=44° 52′，
（2）（13.9°+5°4′3″）×2﹣（6°5′+2°8′23″）
=18°58′3″×2﹣8°13′23″
=37°56′6″﹣8°13′23″
=29°42′43″．
故答案为：（1）44°52′；（2）29°42′43″
点评：本题考查了度、分、秒的加、减、乘混合运算，相对比较复杂，注意运算顺序即可．
【例3】
分析：分为两种情况，当∠AOB在∠AOC内部时，当∠AOB在∠AOC外部时，分别求出∠AOM和∠AOD度数，即可求出答案．
解答：解：分为两种情况：
( http: / / www.21cnjy.com )
如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，
∴∠AOC=80°，
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=10°，∠AOM=∠COM=∠AOC=40°，
∴∠DOM=∠AOM﹣∠AOD=40°﹣10°=30°；
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；
故选C．
点评：本题考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想．
练习答案：
练1．分析：如果两个角的顶点重合， ( http: / / www.21cnjy.com )且有一边重合，两角的另一边均落在重合边的同旁：如果这两边也重合，说明两角相等；如果两边不重合，另一条边在里面的小，在外面的大；由此方法求解即可．
解答：解：将∠1、∠2的顶点和其中一边重合，另一边都落在重合边的同侧，且∠1＞∠2，那么∠1的另一边落在∠2的外部．
故选C．
点评：此题考查利用叠合法比较两个角的大小，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
练2．
分析：分别根据以A，B，C，D，E为顶点得出角的个数即可．
解答：解：符合条件的角中以A为顶点的角有1个，
以B为顶点的角有2个，
以C为顶点的角有1个，
以D为顶点的角有1个，
以E为顶点的角有2个，
故有1+2+1+1+2=7个角．
故选C．
点评：此题主要考查了角的定义，根据已知分别得出角的个数是解题关键．
练3．
分析：①把0.76°变成分，再把0.6′变成秒，即可得出答案；
②把度、分、秒分别计算，最后得出结果即可．
解答：解：①0.76°=45.6′，0.6′=36″，
所以3.76°=3°45′36″，
故答案为：3，45，36；
②15°48′36″+37°27′59″=52°75′95″=53°16′35″
故答案为：53°16′35″；
点评：本题考查了度、分、秒之间的换算的应用，主要考查学生的计算能力，注意：1°=60′，1′=60″．
练4．解：原式=89°59′60″﹣27°32′42″
=（89﹣27）°+（59﹣32）′+（60﹣42）″
=62°27′18″，
故答案为：62°27′18″．
点评：此题考查了角的计算，解题的关键是设出∠1=2x，∠2=3x，∠3=6x，根据∠3比∠1大60°列出算式，求出x的值．
练5．
分析：根据角平分线的定义可得∠COM=∠AOC，∠CON=∠BOC，然后根据∠MON=∠COM﹣∠CON整理得到∠MON=∠AOB，代入数据计算即可得解．
解答：解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM=∠AOC，∠CON=∠BOC，
∴∠MON=∠COM﹣∠CON=∠AOC﹣∠BOC=（∠AOB+∠BOC）﹣∠BOC=∠AOB，
∵∠AOB=80°，
∴∠MON=×80°=40°．
故答案为：40．
点评：本题考查了角平分线的定义，是基础题，熟记概念并准确识图确然后求出∠MON=∠AOB是解题的关键，也是本题的难点．
练6．
分析：由∠AOB=110°，∠CO ( http: / / www.21cnjy.com )D=70°，易得∠AOC+∠BOD=40°，由角平分线定义可得∠AOE+∠BOF=40°，那么∠EOF=∠AOB+∠AOE+BOF．
解答：解：∵∠AOB=110°，∠COD=70°
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=40°
∵OA平分∠EOC，OB平分∠DOF
∴∠AOE=∠AOC，∠BOF=∠BOD
∴∠AOE+∠BOF=40°
∴∠EOF=∠AOB+∠AOE+∠BOF=150°．
故答案为150°．
点评：解决本题的关键利用角平分线定义得到所求角的两边的角的度数．
课后小测答案：
1．
解：∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB．
故选C．
2．
解：比较∠CAB与∠DAB时，把它们的顶点A和边AB重合，把∠CAB和∠DAB放在AB的同一侧，若∠CAB＞∠DAB，
则AD落在∠CAB的内部．
故选：A．
3．
解：由图可知，最大的角是∠AOD；∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．
故答案为：∠AOD，∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．
4．解：∠BOC在∠AOB内部时，
∵∠AOB=80°，其角平分线为OM，
∴∠MOB=40°，
∵∠BOC=20°，其角平分线为ON，
∴∠BON=10°，
∴∠MON=∠MOB﹣∠BON=40°﹣10°=30°；
∠BOC在∠AOB外部时，
∵∠AOB=80°，其角平分线为OM，
∴∠MOB=40°，
∵∠BOC=20°，其角平分线为ON，
∴∠BON=10°，
∴∠MON=∠MOB+∠BON=40°+10°=50°，
故答案为：30°或50°．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．
解：7+6+5+4+3+2+1==28，
一般地如果MOG小于180，且图中一共有几条射线，
则一共有：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=．
6．
解：原式=38°×3+49′×3
=114°147′
=116°27′．
7．解：85°16′﹣18°47′﹣（35°22′﹣26°52′）．
=85°16′﹣18°47′﹣8°30′．
=66°29′﹣8°30′
=57°59′．
8．
解：∵OE是∠COB的平分线，
∴∠COB=2∠COE（角平分线定义）．
∵∠COE=40°，
∴∠COB=80°．
∵∠AOC=30°，
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=110°．
故答案是：2∠COE，角平分线定义，∠COB=80°，30°，∠COB．
9．
解：（1）∵∠AOB=80°，∠AOC=30°，
∴∠AOB+∠AOC=80°+30°=110°，
∵OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，
∴∠COM=∠BOC=×110°=55°，∠CON=∠AOC=×30°=15°，
∴∠MON=∠COM﹣∠CON=55°﹣15°=40°
（2）不改变．
∵∠AOB=80°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∴∠COM=∠BOC，∠CON=∠AOC，
∴∠MON=∠COM﹣∠CON=（∠BOC﹣∠AOC）=∠AOB=40°．