2024年中考数学复习--二次函数的应用

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二次函数的应用
A基础训练
1.辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间.按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500 元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元.
(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元
(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20 元时，就会有两个房间空闲.如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用.当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元
2.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.
(1)若苗圃园的面积为72 平方米,求x;
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗 如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围.
3.在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买 2 支钢笔和3个笔记本共38元，购买 4 支钢笔和5 个笔记本共 70元.
(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元
(2)经与商家协商，购买钢笔超过30 支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50 支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计 100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元
4.如图,抛物线 经过点(3,12)和(--2,--3),与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)P 是该抛物线上的点，过点 P作l 的垂线,垂足为 D,E 是l上的点，要使以 P，D，E为顶点的三角形与△AOC 全等，求满足条件的点 P、点 E的坐标.
B 能力 提升
5.如图,抛物线 ≠0)的图象经过A(1,0),B(3,0),C(0,6)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点 M 与对称轴l 上的点 N 关于x 轴对称，直线 AN 交抛物线于点 D，直线BE 交AD 于点E,若直线 BE 将△ABD 的面积分为1：2两部分，求点E的坐标；
(3)P 为抛物线上的一动点，Q 为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点 P，使A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
核心素养专练
6.如图,若b是正数,直线l:y=b与y轴交于点A，直线a：y=x--b与y轴交于点B，抛物线L: 的顶点为C，且 L 与x 轴右交点为D.
(1)若AB=8,求b的值,并求此时L的对称轴与a 的交点坐标；
(2)当点C 在l下方时,求点 C与l距离的最大值；
(3)设 x ≠0,点(x ,y ),(x ,y ),(x ,y )分别在l,a 和L上,且y 是 y ,y 的平均数,求点(x ,0)与点 D 间的距离；
(4)在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019 和b=2019.5 时“美点”的个数.
1.解：(1)设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元,
根据题意，得：
解得
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300 元、200 元.
(2)设每天的定价增加了a 个20元，则有 2a个房间空闲，
根据题意有:m =(20- 2a(200 + 20a - 80) =-40a +160a+2400= -40(a-2) +2560,
∵--40<0,
∴当a=2时,m取得最大值,最大值为 2560,此时房间的定价为 200+2×20=240(元).
答：当每间房间定价为 240 元时，乙种风格客房每天的利润m 最大，最大利润是 2560 元.
2.解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)米，依题意,得x(30-2x)=72,解得 ∵30-2x≤18,∴x≥6,∴x=12.
(2)依题意,得8≤30-2x≤18,解得6≤x≤11.
面积 ≤11).
当 时，S有最大值.
当x=11 时,S有最小值, =88.
(3)6≤x≤10.
3.解：(1)设钢笔、笔记本的单价分别为 x 元、y元.根据题意，得
解得
答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元.
(2)设钢笔单价为 a 元，购买数量为 b支，支付钢笔和笔记本总金额为 w元.
①当30≤b≤50时,a=10-0.1(b-30)
= -0.1b+13,
w=b(-0.1b+13)+6(100-b)
∵当 b=30时,w=720,当b=50时,w=700,
∴当 30≤b≤50时,700≤w≤722.5.
②当 50w=8b+6(100-b)=2b+600.
∴700∴当 30≤b≤60时,w的最小值为 700 元,
∴当一等奖学生为 50 人时花费最少，最少为700 元.
4.解:(1)将(3,12),(-2,-3)代入 得 解得 ∴抛物线解析式为：
(2)由(1)知 令x=0,得 y= --3,即 C(0,-3).
令 y=0,得. 即A(-3,0),B(1,0).
∴AO=3,OC=3.
∴△AOC是等腰直角三角形.
∵以点 P，D，E为顶点的三角形与△AOC 全等且∠PDE =90°,
∴DE=PD=AO=OC=3.
由 知,
如图. 或
∴P (-4.5)或P (2,5).∴D(-1,5).
∴E (-1,2)或 E (-1,8).
5.解:(1)∵抛物线 (a≠0)的图象经过 A(1,0),B(3,0),
∴设抛物线解析式为:y=a(x-1)(x-3),
∵抛物线y=a(x-1)(x-3)(a≠0)的图象经过点 C(0,6),∴6=a(0-1)(0-3),
∴a=2,∴抛物线解析式为:y=2(x-1)(x-3)
∴顶点 M的坐标为(2,-2),
∵抛物线的顶点 M 与对称轴l 上的点 N 关于x轴对称,∴点 N(2,2),设直线AN 解析式为:y=kx+b,
由题意可得： 解得： ∴直线AN解析式为:y=2x-2,
联 立 方 程 组 得:解 得:∴点 D(4,6), ×6=6,设点 E(m,2m-2),
∵直线BE将△ABD 的面积分为 1:2两部分,
或
或 ∴m=2或3,∴点 E(2,2)或(3,4).
(3)若AD为平行四边形的边,∵以A,D,P,Q为顶点的四边形为平行四边形，
或 -xp,∴xp=4-1+2=5或xp=2-4+1= -1,
∴点 P坐标为(5,16)或(-1,16);
若AD为平行四边形对角线，
∵以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD 与PQ 互相平分,
∴xp=3,∴点 P 坐标为(3,0),
综上所述,当点 P 坐标为(5,16)或(-1,16)或(3,0)时,使 A,D,P,Q为顶点的四边形为平行四边形.
6.解:(1)当x=0时,y=x-b=-b,∴B(0,-b).
∵AB=8,而A(0,b),∴b-(-b)=8,
∴b=4.∴抛物线 L 的解析式为
∴L的对称轴为x=2,
当 x=2时,y=x-4= -2,
∴L的对称轴与a 的交点为(2,-2).
. L的顶点 ∵点C在l下方,
∴C与l 的距离
∴点 C 与l 距离的最大值为 1.
(3)由题意,得 即
则
解得 或
但 取
对于抛物线L,当 y=0时, 即0=-x(x-b),解得
∵b>0,∴右交点 D(b,0).
∴点(x ,0)与点 D 间的距离为 .
(4)①当b=2019时,抛物线解析式L: +2019x,直线解析式a:y=x-2019,
联立上述两个解析式，得
∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值,且-1 和2019之间(包括-1 和-2019)共有2021 个整数.
∵所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021 个整数点，
∴总计 4042 个点.
∵这两段图象交点有2个点重复，
∴“美点”的个数:4042-2=4040(个).
②当 b=2019.5时,
抛物线解析式L：
直线解析式a:y=x-2019.5,
联立上述两个解析式，得 ∴当x取整数时,在一次函数y=x-2019.5上,y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数 图象上，当 x 为偶数时,函数值 y 可取整数,可知-1 到2019.5之间有2010 个偶数,因此“美点”共有 1010 个.
故 b= 2019 时“美点”的个数为 4040 个,b =2019.5 时“美点”的个数为 1010 个.