湖南省岳阳市汨罗市第一中学2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题(含答案)
文档属性
| 名称 | 湖南省岳阳市汨罗市第一中学2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题(含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 897.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-10 10:07:55 | ||
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文档简介
2024年05月高三数学月考试题
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A．i B．－i C．1 D．－1
3．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．已知某圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
5．某船从A处向东偏北30°方向航行千米后到达B处，然后朝西偏南60°的方向航行2千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（ ）
A．1千米 B．2千米 C．3千米 D．6千米
6．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（ ）
A．16 B．24 C．166 D．180
7．若与的夹角为钝角，则x的取值可能是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
8．三棱柱中，侧棱平面ABC，，P为侧棱的中点，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．13π B．52π C．104π D．208π
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
（多选）9．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重．经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.04
B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20
C．这100名学生体重的众数约为52.5
D．据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25
（多选）10．已知二项式的展开式中，（ ）
A．含项的系数为28 B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项是第五项 D．系数最大的项是第六项
（多选）11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象可以由的图象向右平移个长度单位得到
B．，则
C．是偶函数
D．在区间上单调递增
（多选）12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点P（x，y），点P的纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
A．筒车转动的角速度
B．当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为－2
C．当筒车旋转100秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为6
D．筒车在（0，60]秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为6
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．若抛物线上任意一点到点（1，0）的距离与到直线的距离相等，则______．
14．已知线段PQ两端点的坐标分别为P（－1，1）和Q（2，2），若直线l恒过（0，－1），且与线段PQ有交点，则l的斜率k的取值范围是______．
15．已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为______．
16．设圆的圆心为C，直线l过（2，3），且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为______．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．设函数，已知函数的图象的相邻两对称轴间的距离为π．（10分）
（1）求函数的解析式；
（2）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c（其中），且的面积为，求b，c的值．
18．已知数列的首项为1，前n项和为，且满足．（12分）
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
19．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：（12分）
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生 30
合计
（1）根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数X的分布列和数学期望．
附：．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，，M为棱AE的中点．（12分）
（1）求证：平面平面EFC；
（2）若ED⊥平面ABCD，，求二面角E－AF－B的余弦值．
21．函数．（12分）
（Ⅰ）若，求函数的最大值；
（Ⅱ）若在恒成立，求实数m的取值范围．
22．已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，A，B为椭圆上不同两点，O为坐标原点．（12分）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段AB的中点为M，当面积取最大值时，是否存在两定点G，H，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1-5：CCACA 6-8：BCB
二．多选题（共4小题）
9：ACD．10：BC．11：AD．12：ACD．
三．填空题（共4小题）
13：2．
14．：．
15：．
16：或．
四．解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1），
函数的图象的相邻对称轴的距离为．函数的周期为，
，即函数的解析式．
（2）由，得，即，，
面积为，，即，
由余弦定理得，，
，解得．
18．【解答】解：（1）由，可得，可得时，，
由，可得，当时，，
化为，即有，
所以，
上式对都成立，所以；
（2），前项和，，
上面两式相减可得，
化简可得．
19．【解答】解：（1）2×2列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
则，
所以依据的独立性检验，能认为该校学生喜欢足球与性别有关；
（2）依题意得3人进球总次数的所有可能取值为0，1，2，3，
所以
，
所以ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2 3
P
所以的数学期望为．
20．【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于，连接MO
为正方形，是AC的中点，
又是AE的中点，在中，，
又且四边形BDEF是平行四边形，
，平面平面EFC．
（2）∵ED⊥平面ABCD，ABCD是正方形，
∴以D为空间坐标系原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标D－xyz，
设，则，，
，解得，
，
，
设平面AEF的一个法向量为，则，
取，得，平面ABF的法向量，
则，
由图可知二面角为钝角二面角，二面角的余弦值为．
21【解答】解：（Ⅰ），则．
由，得；由，得．
在递增，在递减．．
（Ⅱ）在恒成立，
在恒成立．
设，则．
当时，，且，．
当时，，设．
在递增，又．
，使得．
当时，；当时，．
当时，；当时，．
函数在递增，在递减，在递增．
由，得，且．
，
，又
则当时，，
的取值范围是．
22．【解答】解：（Ⅰ）由可设，则，则方程化为，
又点在椭圆上，则，解得，
因此椭圆的方程为．
（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设AB直线的方程为，
联立直线AB和椭圆的方程消去得，，
化简得：，
，
当时，取得最大值，即此时，
又，
则，即
令，则，因此平面内存在两点G、H使得．
当直线AB的斜率不存在时，设，
则，
即当取得最大值．
此时AB中点的坐标为，满足方程，即．
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A．i B．－i C．1 D．－1
3．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．已知某圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
5．某船从A处向东偏北30°方向航行千米后到达B处，然后朝西偏南60°的方向航行2千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（ ）
A．1千米 B．2千米 C．3千米 D．6千米
6．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（ ）
A．16 B．24 C．166 D．180
7．若与的夹角为钝角，则x的取值可能是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
8．三棱柱中，侧棱平面ABC，，P为侧棱的中点，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．13π B．52π C．104π D．208π
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
（多选）9．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重．经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.04
B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20
C．这100名学生体重的众数约为52.5
D．据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25
（多选）10．已知二项式的展开式中，（ ）
A．含项的系数为28 B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项是第五项 D．系数最大的项是第六项
（多选）11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象可以由的图象向右平移个长度单位得到
B．，则
C．是偶函数
D．在区间上单调递增
（多选）12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点P（x，y），点P的纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
A．筒车转动的角速度
B．当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为－2
C．当筒车旋转100秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为6
D．筒车在（0，60]秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为6
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．若抛物线上任意一点到点（1，0）的距离与到直线的距离相等，则______．
14．已知线段PQ两端点的坐标分别为P（－1，1）和Q（2，2），若直线l恒过（0，－1），且与线段PQ有交点，则l的斜率k的取值范围是______．
15．已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为______．
16．设圆的圆心为C，直线l过（2，3），且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为______．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．设函数，已知函数的图象的相邻两对称轴间的距离为π．（10分）
（1）求函数的解析式；
（2）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c（其中），且的面积为，求b，c的值．
18．已知数列的首项为1，前n项和为，且满足．（12分）
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
19．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：（12分）
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生 30
合计
（1）根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数X的分布列和数学期望．
附：．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，，M为棱AE的中点．（12分）
（1）求证：平面平面EFC；
（2）若ED⊥平面ABCD，，求二面角E－AF－B的余弦值．
21．函数．（12分）
（Ⅰ）若，求函数的最大值；
（Ⅱ）若在恒成立，求实数m的取值范围．
22．已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，A，B为椭圆上不同两点，O为坐标原点．（12分）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段AB的中点为M，当面积取最大值时，是否存在两定点G，H，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1-5：CCACA 6-8：BCB
二．多选题（共4小题）
9：ACD．10：BC．11：AD．12：ACD．
三．填空题（共4小题）
13：2．
14．：．
15：．
16：或．
四．解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1），
函数的图象的相邻对称轴的距离为．函数的周期为，
，即函数的解析式．
（2）由，得，即，，
面积为，，即，
由余弦定理得，，
，解得．
18．【解答】解：（1）由，可得，可得时，，
由，可得，当时，，
化为，即有，
所以，
上式对都成立，所以；
（2），前项和，，
上面两式相减可得，
化简可得．
19．【解答】解：（1）2×2列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
则，
所以依据的独立性检验，能认为该校学生喜欢足球与性别有关；
（2）依题意得3人进球总次数的所有可能取值为0，1，2，3，
所以
，
所以ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2 3
P
所以的数学期望为．
20．【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于，连接MO
为正方形，是AC的中点，
又是AE的中点，在中，，
又且四边形BDEF是平行四边形，
，平面平面EFC．
（2）∵ED⊥平面ABCD，ABCD是正方形，
∴以D为空间坐标系原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标D－xyz，
设，则，，
，解得，
，
，
设平面AEF的一个法向量为，则，
取，得，平面ABF的法向量，
则，
由图可知二面角为钝角二面角，二面角的余弦值为．
21【解答】解：（Ⅰ），则．
由，得；由，得．
在递增，在递减．．
（Ⅱ）在恒成立，
在恒成立．
设，则．
当时，，且，．
当时，，设．
在递增，又．
，使得．
当时，；当时，．
当时，；当时，．
函数在递增，在递减，在递增．
由，得，且．
，
，又
则当时，，
的取值范围是．
22．【解答】解：（Ⅰ）由可设，则，则方程化为，
又点在椭圆上，则，解得，
因此椭圆的方程为．
（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设AB直线的方程为，
联立直线AB和椭圆的方程消去得，，
化简得：，
，
当时，取得最大值，即此时，
又，
则，即
令，则，因此平面内存在两点G、H使得．
当直线AB的斜率不存在时，设，
则，
即当取得最大值．
此时AB中点的坐标为，满足方程，即．
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