沪教版七年级数学下册试题 第十四章 《三角形》单元测试卷（含答案）

第十四章 《三角形》单元测试卷
一、单选题(共18分)
1．已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
2．在和中，已知，，，，，，能证明的判定方式为（ ）
A． B． C． D．
3．的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
B．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等
D．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等
5．若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则这个三角形的周长是（　　）
A． B． C．或 D．或
6．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．
一定成立的结论有（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③⑤
二、填空题(共24分)
7．若三角形三个内角满足，则______．
8．已知a、b、c为三角形的三边，且则，则三角形的形状是 _____．
9．如图，在等边中，是边上的高，延长至点E，使，则的长为 ___________．
10．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则___________．
11．已知的三边长分别是4、5、8，的三边分别是4、、，若这两个三角形全等，则______．
12．如图，在中，，，分别过点B、C作经过点A的直线的垂线段、，若厘米，厘米，则的长为______．
13．在等腰三角形中，其中一内角为，腰的垂直平分线交所在的直线于点，则的度数为______．
14．在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为18和21两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______．
15．如图，点是的内角和外角的两条角平分线的交点，过点作，交于点，交于点，若，则线段的长度为____．
16．如图，是一个钢架，，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如、、……若焊接的钢管的长度都与的长度相等，则最多能焊接___________根．
17．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，底边的长为5，则腰的长为___________．
18．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为______.
三、解答题(共58分)
19．(本题5分)如图，已知，点分别在上，交于点，交的延长线于点，．求证：．
20．(本题5分)如图，中，，两条高和交于．求证：．
21．(本题7分)如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由．
22．(本题7分)如图，已知，，，，与相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
23．(本题8分)如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC．
(1)试说明△ADC与△BEC全等的理由；
(2)试判断△DCE的形状，并说明理由．
24．(本题8分)如图，已知等边△ABC和等边△CDE，P、Q分别为AD、BE的中点．
(1)试判断△CPQ的形状并说明理由．
(2)如果将等边△CDE绕点C旋转，在旋转过程中△CPQ的形状会改变吗？请你将图2中的图形补画完整并说明理由．
25．(本题8分)已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
(1)求∠DOE的度数；
(2)试判断△MNC的形状，并说明理由．
26．(本题10分)在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；
(3)当直线绕点C旋转到如图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．
答案
一、单选题
1．D
【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：D．
2．A
【分析】根据全等三角形的判定方法并结合所给条件可得答案．
【详解】解：∵，，，，，，
∴，，，
在和中，
，
∴．
故选：A．
3．D
【分析】根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、因为，，所以，所以是等腰三角形；
B、因为 ，所以设，则有两边相等的是等腰三角形；
C、因为 ，所以，则，所以是等腰三角形；
D、因为，，则，那么， ，不能判定是等腰三角形．
故选：D.
4．D
【分析】根据全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质判定即可．
【详解】解：A、两腰对应相等的两个等腰三角形，只有两边对应相等，所以不一定全等，不合题意；
B、两锐角对应相等的两个直角三角形，缺少对应的一对边相等，所以不一定全等，不合题意；
C、面积相等的两个三角形形状不一定相同，则不一定全等，不合题意；
D、斜边对应相等的两个等腰直角三角形，满足三个角及一条边对应相等，故全等，符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】利用非负性，求出的值，分是腰长和是腰长，两种情况，讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
当是腰长时：，三边不能构成三角形，
∴为腰长，
∴三角形的周长是：；
故选B．
6．D
【分析】①根据和是等边三角形可知，，，从而证出，可推知；②由得和，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得，即可得出结论；④根据，，可知，可知④错误；⑤先根据全等三角形的性质可得，再根据，可知⑤正确．
【详解】解：①和为等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，，①正确；
②，
在和中，，
．
，
，
，
，②正确；
③同②得：，
，③正确；
④，且，
，④错误；
⑤，
，
，⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
二、填空题
7．
【分析】根据三角形内角和定理进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴
解得：，
故答案为：．
8．等边三角形
【分析】先把所给等式左右两边同时乘以2，然后利用完全平方公式得到，由此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
9．3
【分析】由等边三角形的性质可得，根据是边上的高线，可得，再由题中条件，即可求得．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是边上的高线，
∴D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
10．
【详解】根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得．
【解答】解：由旋转的性质可知，，，
，
，
，
故答案为：．
11．6或
【分析】根据全等三角形的性质得到，，或，，分别求出x，y的值，代入计算即可．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∴，，或，，
∴或，
∴或，
故答案为：6或．
12．厘米
【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，再由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长．
【详解】解：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
则(厘米)，
故答案为：厘米．
13．或
【分析】根据等腰三角形的一个内角为，分类讨论等腰三角形，当等腰三角形角为：，，；当等腰三角形角为：，，；再根据垂直平分线的性质，即可．
【详解】∵等腰三角形中，其中一个内角为，
∴当，，如下图：
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴；
当，，如下图：
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为：或者．
故答案为：或者．
14．11或15
【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为，底边为，根据中点定义得到与相等都等于腰长的一半，边上的中线将这个三角形的周长分为和两部分，分别表示出两部分，然后分，或，两种情况分别列出方程组，分别求出方程组的解即可得到与的两对值，根据三角形的两边之和大于第三边判定能否构成三角形，即可得到满足题意的等腰三角形的底边长．
【详解】解：依题意可得：这一边上的中线为腰上的中线，画出图形如下：
设这个等腰三角形的腰长为，底边长为，
为的中点，
，
根据题意得：或，
解得：或．
又三边长12、12、15和14、14、11均可以构成三角形，
底边长为11或15．
故答案为：11或15．
15．6
【分析】根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，同理，，于是得到结论．
【详解】平分，
，
∵，
，
，
，
同理，，
，
，
故答案为：6．
16．17
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理求解．
【详解】解：焊接的钢管的长度都与的长度相等，即，
，即第一个等腰的底角是；
，即第二个等腰的底角是；
，即第三个等腰的底角是；
……
等腰三角形的底角度数是5的倍数，且最大的角为，
最多能焊接（根），
故答案为：17．
17．10
【分析】分两种情况讨论：①；②，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案．
【详解】解：是等腰三角形，
，
是“倍长三角形”，，
①当时，；
②当时，，根据三角形三边关系，此时，A、B、C不能构成三角形，不符合题意，
所以，若等腰是“倍长三角形”，底边的长为5，则腰的长为10，
故答案为：10．
18．1
【分析】过点P作交于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明，根据全等三角形判定定理可证，，进而证明，计算求值即可．
【详解】过点P作交于点F，如图，
∴，，是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴；
∴，，
∵，，
∴，
∵，
故答案为：
三、解答题
19．解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．证明：由题意可得：
∴
∴
又∵
∴
在和中
∴
∴
21．解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠DBF，
又∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴，
∴∠AFE＝∠DEB，
又∵∠DEB＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形．
22．（1）证明：，，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）证明：设与交于点，
∵，
，
，
，
，
（对顶角相等），
，
在中，，
∴．
23．
（1）
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
（2）
△DCE是等边三角形；理由如下：
∵△ADC≌△BEC，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，
即△DCE是等腰三角形，
∴△DCE是等边三角形．
24．
(1)
如图1，
△CPQ是等边三角形．理由如下：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠C＝60°，AC＝BC，DC＝EC，
∴AC﹣DC＝BC﹣EC，即AD＝BE．
∵P、Q分别为AD、BE的中点，
∴PD＝EQ，
∴CD+DP＝CE+EQ，即CP＝CQ，
∴△CPQ是等边三角形；
(2)
如果将等边△CDE绕点C旋转，在旋转过程中△CPQ的形状不会改变．理由如下：
如图2，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，
∵∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE，∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE （SAS），
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，即∠CAP＝∠CBQ．
∵P是AD的中点，Q是BE的中点，
∴AP＝AD，BQ＝BE，
∴AP＝BQ，
∴在△ACP与△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴PC＝QC，∠BCQ＝∠ACP，
∵∠BCQ+∠ACQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP+∠ACQ＝60°，
∴∠PCQ＝60°，
∴△CPQ是等边三角形．
25．
（1）
解：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CED=∠CDE=60°，
∴∠ADE+∠BED
=∠ADC+∠CDE+∠BED
=∠ADC+60°+∠BED=∠BEC+∠CED+60°
=∠DEC+60°
=60°+60°
=120°，
∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°；
（2）
解：△MNC是等边三角形，理由如下：
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM=AD，BN=BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中，，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ACM+∠MCB=60°，
∴∠BCN+∠MCB=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△MNC是等边三角形．
26．（1）证明：①∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵ ，
∴；
②∵，
∴，，
∴．
（2）解：．
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）解：．
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴．