(共26张PPT)
（华师大版）九年级
上
22.3.1 图形的面积问题
一元二次方程
第22章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1.熟练掌握一元二次方程图形面积类问题的模型.
2.会类比以前方程的应用学习一元二次方程的应用.
3.能将实际问题转化为数学问题并有运用模型思想的意识.
新知导入
问题1 解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
问题2 解方程：
(80－2x)(60－2x)＝1500
新知讲解
解:(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式
x2－70x＋825＝0．
(2)确认a，b，c的值 a＝1，b＝－70，c＝825
(3)判断b2－4ac的值
b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0，
(4)代入求根公式,得
x1＝55，x2＝15
(80－2x)(60－2x)＝1500
新知讲解
问题3 列一元一次方程解应用题的步骤：
①审题，
②找等量关系
③列方程，
④解方程，
⑤答.
那么列二元一次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？
典例精析
类型一：平面几何图形问题
例1 学校生物小组有一块长32 m、宽20 m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540 m2，小道的宽应是多少？
20
32
x
x
新知讲解
分析：问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图，不难发现小道的占地面积与位置无关．设小道宽为x m，则两条小道的面积分别为 32x m 2和20x m 2，其中重叠部分小正方形的面积为x2 m2，根据题意，得
请完成本题的解答
x
20
x
32
32×20－32x－20x＋x2＝540.
方法一：
新知讲解
如果设想把小道平移到两边，如图所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，所列方程是否符合题目要求？处理问题是否方便些？
试
一
试
x
20
x
32
方法二：
(32-x)(20-x)=540
新知讲解
32
x
x
20 x
32 x
20
解法2：设道路的宽为 x m. 则
(32 x)(20 x) = 540.
整理，得 x2 52x + 100 = 0.
解得 x1= 2，x2 = 50.
当 x = 50 时，32 x = 18，不合题意，舍去.
∴ 取 x = 2.
答：道路的宽为 2 m.
新知讲解
归纳
利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使图形变成规则的，则列方程就容易些.
新知讲解
类型二：立体几何图形问题
例2 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的小正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子．
新知讲解
(1)如果要求长方体盒子的底面面积为81 cm2，那么剪去的小正方形边长为多少？
(2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？
长方体底面面积(cm2) 81 64 49 36 25 16 9 4
小正方形边长(cm)
长方体侧面积(cm2)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
99
96
91
84
75
64
45
36
新知讲解
解：（1）设剪去的正方形的边长为x cm，根据题意，得
(10-2x)2=81
解得
x1=0.5，x2=9.5（不合题意，舍去）
答：剪去的正方形的边长为0.5cm
新知讲解
（2）设剪去的正方形的边长为x cm，根据题意，得
长方体的侧面积=(10-2x)2+4x(10-2x)=-4x2+100
随着地面的减小，小正方形的边长在变大，侧面积在变小
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1. 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为( )
A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180
C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180
C
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
2.如图,某小区计划在一块长30 m、宽20 m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的甬道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种植花草.要使每一块花草的面积都为78 m2,那么甬道的宽应设计成多少米
若设甬道的宽为x m,将6块草地平移拼成一个长方形,其一边长为(30-2x)m,另一相邻边长为 m,根据长方形的面积公式可列方程 .
(60-x)
(30-2x)(60-x)=78×6
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
(80 2x)x = 600.
整理得 x2 40x + 300 = 0，
解得 x1 = 10，x2 = 30.
当 x = 10 时，80 2x = 60 > 25(舍去)；
当 x = 30 时，80 2x = 20 < 25.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 30 m，20 m.
3. 如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用 80 m 的围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？
D
C
B
A
25 m
课堂总结
几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系.
类 型
彩条/小路宽度问题
常采用图形平移能聚零为整方便列方程
围挡问题
动点问题
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1. 公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为( )
A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0
C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0
C
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
2.有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米．（1）用含x的代数式表示y；
（2）能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由．
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
（2）不能围成面积为78平方米的花圃，理由如下：
依题意得：x（30﹣3x）＝78 整理得：x2﹣10x+26＝0
∵Δ＝（﹣10）2﹣4×1×26＝﹣4＜0，
∴该方程没有实数根，即不能围成面积为78平方米的花圃．
解：（1）∵AB＝x米，∴BC＝（30﹣3x）米，
∴y＝x（30﹣3x）．
∵∴≤x＜10．∴y＝x（30﹣3x）（ ≤x＜10）．
作业布置
【综合拓展类作业】
住房墙
1m
3. 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80m2？
作业布置
【综合拓展类作业】
住房墙
1m
解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m，
由题意得 x(25 2x + 1) = 80，
解得 x1 = 5，x2 = 8.
当 x = 5 时，26 2x = 16 > 12(舍去)；
当 x = 8 时，26 2x = 10 < 12.
故所围矩形鸡场的长为 10 m，宽为 8 m.
则平行于住房墙的一边长 (25 2x + 1) m.
Thanks!
2
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 22.3.1 图形的面积问题
教科书 书 名：义务教育教科书数学九年级上册 出版社：华东师范大学出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 3.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程求解，并检验方程的解是否合理.
课前学习任务
复习引入 复习引入 活动1（学生交流，教师点评） 用一条长40 cm的绳子怎样围成一个面积为75 cm2的矩形？设矩形的一边 为x cm，根据题意，可列方程为 .
课上学习任务
【学习任务一】 探究点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤 （1）审：审题，明确已知量、未知量及题中的等量关系； （2）设：设未知数，有直接设和间接设两种设法，因题而异； （3）列：用含所设未知数的代数式表示等量关系中其他未知量，列出方程； （4）解：求出所列方程的解； （5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意； （6）答：写出答案. 【学习任务二】 例1 学校生物小组有一块长32 m、宽20 m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540 m2，小道的宽应是多少？ 【学习任务三】 例2 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的小正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子． (1)如果要求长方体盒子的底面面积为81 cm2，那么剪去的小正方形边长为多少？ (2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？ 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1. 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为( ) A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180 C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180 选做题： 2.如图,某小区计划在一块长30 m、宽20 m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的甬道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种植花草.要使每一块花草的面积都为78 m2,那么甬道的宽应设计成多少米 若设甬道的宽为x m,将6块草地平移拼成一个长方形,其一边长为(30-2x)m,另一相邻边长为 m,根据长方形的面积公式可列方程 . 【综合拓展类作业】 3. 如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用 80 m 的围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？ 【知识技能类作业】 必做题： 1. 公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为( ) A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0 C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0 选做题： 2.有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一 道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米． （1）用含x的代数式表示y； （3）能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由． 【综合拓展类作业】 3. 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？
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分课时教学设计
第5课时《22.3.1 图形的面积问题》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．
学习者分析 掌握面积法建立一元二次方程，体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力．利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题．
教学目标 1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 3.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程求解，并检验方程的解是否合理.
教学重点 掌握用一元二次方程解应用题的一般步骤.
教学难点 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课复习引入 活动1（学生交流，教师点评） 用一条长40 cm的绳子怎样围成一个面积为75 cm2的矩形？设矩形的一边 为x cm，根据题意，可列方程为 . 【答案】x(20-x)＝75 探究点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤 （1）审：审题，明确已知量、未知量及题中的等量关系； （2）设：设未知数，有直接设和间接设两种设法，因题而异； （3）列：用含所设未知数的代数式表示等量关系中其他未知量，列出方程； （4）解：求出所列方程的解； （5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意； （6）答：写出答案. 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课. 先自主探究,再小组合作,分析,总结. 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题. 进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型. 环节二：新知探究教师活动2： 例1 学校生物小组有一块长32 m、宽20 m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540 m2，小道的宽应是多少？ 分析：问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图，不难发现小道的占地面积与位置无关．设小道宽为x m，则两条小道的 面积分别为 32x m 2和20x m 2，其中重叠部分小正方形的面积为x2 m2，根据题意，得 方法一：32×20－32x－20x＋x2＝540. 解法2：设道路的宽为 x m. 则 (32 x)(20 x) = 540. 解得 x1= 2，x2 = 50. 当 x = 50 时，32 x = 18，不合题意，舍去. 答：道路的宽为 2 m. 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生思考 教师提出问题让学生思考后回答．让学生分组讨论交流，达成共识： 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力.学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题. 环节三：典例精析 例2 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的小正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子． (1)如果要求长方体盒子的底面面积为81 cm2，那么剪去的小正方形边长为多少？ (2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？ 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，通过例题的示范作用，利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为( ) A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180 C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180 选做题： 2.如图,某小区计划在一块长30 m、宽20 m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的甬道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种植花草.要使每一块花草的面积都为78 m2,那么甬道的宽应设计成多少米 若设甬道的宽为x m,将6块草地平移拼成一个长方形,其一边长为(30-2x)m,另一相邻边长为 m,根据长方形的面积公式可列方程 . 【综合拓展类作业】 3. 如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用 80 m 的围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为( ) A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0 C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0 选做题： 2.有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一 道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米． （1）用含x的代数式表示y； （3）能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由． 【综合拓展类作业】 3. 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？
教学反思 1．谈谈本节的收获。 2．谈谈本节的体会。 3．谈谈本节的疑惑．
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第二十二章
课标要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.3.了解一元二次方程的根与系数的关系.4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
内容分析 本章主要内容有一元二次方程的概念、解法和应用.本单元首先以具体问题情境为导入探究一元二次方程的概念，让学生经历一元二次方程概念的发生过程，了解一元二次方程的一般形式，要求学生会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。再通过合作学习体验并掌握一元二次方程的解法。一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础.一元二次方程与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教学过程中让学生经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值.经过本章的学习，有助于学生初步形成抽象能力、推理能力，是学生感悟数学的语言、表达现实世界的重要载体，有利于提升运算能力.
学情分析 《一元二次方程》这一章是是初中数学中最重要的数学模型之一，有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位。教师应该在传授知识的过程中注重联系实际，从实际问题中引出引导学生学习一元二次方程的有关知识，并最终回归到建立一元二次方程模型解决实际问题中去.同时教师需加强学生对知识之间内在联系的认识，体会相关的数学思想方法，提高学生的基本能力，在日常教学中注重培养学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力.
单元目标 教学目标1.进一步理解一元二次方程的定义，一般形式以及各项系数.?2.进一步深化理解一元二次方程的四种解法，能灵活运用四种解法解一元二次方程.?3.进一步理解根的判别式及其应用、根与系数的关系及其应用，能够运用它们去解决实际问题，综合性问题.?4.进一步加强列方程解应用题的能力，特别是增长率问题、几何图形问题.（二）教学重点、难点教学重点：对一元二次方程的理解，掌握一元二次方程的四种解法以及一元二次方程解决实际应用问题.教学难点：一元二次方程根的判别式的应用和根与系数的关系的应用.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数 22.1 一元二次方程122.2.1直接开平方法和因式分解法122.2.2 配方法122.2.3用公式法解一元二次方程122.2.4一元二次方程根的判别式122.2.5一元二次方程根与系数的关系 122.3.1 图形的面积问题122.3.2 增长（降低）率问题1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务22.1 一元二次方程1.理解一元二次方程的概念.?2.掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项.1.进一步感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义.2.正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项和列一元二次方程.任务一：情境导入，根据数量关系列方程.任务二：探究新知，理解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式.任务三：例题精讲，辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.活动任务四：针对训练，请学生回答问题..22.2.1直接开平方法和因式分解法1．会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程； 2．灵活应用因式分解法解一元二次方程。3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法1.合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.2.理解一元二次方程无实根的解题过程.任务一：复习导入，回顾因式分解法解一元二次方程的基本步骤.任务二：探究新知，理解开平方法，配方法.任务3：例题精讲，用开平方法，因式分解法解一元二次方程.22.2.2 配方法1.了解配方法的概念，掌握用配方法解简单的一元二次方程。2.让学生参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发展的过程，培养学生运算技巧和能力，发展数学思维3.通过降次与转化的数学思想的渗透，激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极思考，发展学生合作意识.1.让学生用配方法解简单的一元二次方程.2.让学生从特殊的例子中发现规律、归纳方法.任务1：复习导入，回顾因式分解法解一元二次方程的基本步骤.任务2：例题精讲，用开平方法，配方法解一元二次方程..22.2.3用公式法解一元二次方程1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.3．在推导求根公式过程中，强化推理技能训练，进一步发展演绎推理能力．1.熟练地用求根公式解一元二次方程．2.理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．任务1：温故知新，回顾如何用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.任务2：合作学习，一元二次方程求根公式.任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.22.2.4一元二次方程根的判别式1．能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2．会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．1.根的判别式的正确理解与运用．2.会掌握含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用．任务1：利用配方法推导一元二次方程的求根公式．任务2：掌握用根的判别式判断一元二次方程根的情况．任务3：巩固例题，掌握由Δ确定方程根的情况的一般步骤．22.2.5一元二次方程根与系数的关系 1．能说出根与系数的关系；2．会利用根与系数的关系解有关的问题。1.根的判别式和韦达定理的学习．2.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯．任务1：经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程任务2：掌握根的判别式和韦达定理任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.22.3.1 图形的面积问题1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.3.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程求解，并检验方程的解是否合理。1.掌握用一元二次方程解应用题的一般步骤.2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.任务1：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型任务2：归纳一元二次方程解应用题的一般步骤.22.3.2 增长（降低）率问题1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.任务1：解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量及相应的等量关系.2. 掌握“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变.任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.
《一元二次方程》单元教学设计
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