福建省泉州市第七中学2023-2024学年高二下学期期中数学试卷（含解析）

福建省泉州市第七中学2023-2024学年高二（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）随机变量的分布列如表格所示，其中，则等于（ ）
0 1
A． B． C． D．
3．（5分）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）将A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C在排列中顺序为“A、B、C”或“C、B、A”（可以不相邻），这样的排列数有多少种（ ）
A．12种 B．20种 C．40种 D．60种
5．（5分）曲线：上到直线距离最短的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）的展开式中的系数为（ ）
A． B．10 C． D．30
7．（5分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为（，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有（ ）
A．22种 B．24种 C．25种 D．27种
8．（5分）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．（6分）（多选）已知函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为其定义域上的减函数
C．有唯一的零点 D．的图象与直线相切
10．（6分）（多选）设函数（，），则下列说法正确的是（ ）
A．若时，则的展开式中常数项为1
B．当时，则的展开式中二项式系数最大的项为
C．若，且，则
D．当，若，则
11．（6分）（多选）2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件为“甲选择北京”，事件为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与互斥 B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．若有两空，则第一空2分，第二空3分．）
12．（5分）某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时速度为_________m/min．
13．（5分）某校准备参加2024年高中数学联赛，把10个选手名额分配给高三年级的3个教学班．若每班至少一个名额，则不同的分配方案有_________种．（用数字作答）
14．（5分）已知椭圆：，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是_________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）已知函数．
（1）当时，求函数在的最小值和最大值；
（2）讨论函数的单调性．
16．（15分）已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，交于点，，，．
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术．在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%．
（1）在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳．现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列；
（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%．
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率．
18．（17分）已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，离心率，点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设是双曲线上任意一点，且在第一象限，直线与的倾斜角分别为，，求的值．
19．（17分）已知函数，（，），若曲线在处的切线方程．
（1）求实数，的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；
（3）设，，，…，，其中，，求证：．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【解答】解：抛物线的焦点坐标为：，
故选：D．
2．【解答】解：根据题意，由分布列可得：，
解可得：，即．
故选：A．
3．【解答】解：由导数的图象可得，导函数的值在上的逐渐增大，
故函数在上增长速度逐渐变大，故函数的图象是下凹型的．
导函数的值在上的逐渐减小，
故函数在上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，
故选：B．
4．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、三人按“，，”的顺序排列，排好后有4个空位，
在4个空位中选1个安排，有4种选法，4人排好后有5个空位，
在5个空位中选1个安排，有5种选法，
则一共有种安排方法，
②、三人按“，，”的顺序排列，
同理，此时有20种排列方法；
综合可得：这样的排列有种；
故选：C．
5．【解答】解：设曲线：上的点的坐标为，，
则点到直线的距离，
当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为．
故选：B．
6．【解答】解：的展开式中项为，
即的展开式中的系数为．
故选：C．
7．【解答】解：法一：根据题意，正方形的边长为2个单位，则其周长是8，
若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则三次骰子的点数之和是8或16，
若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组合，
若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，
其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5种组合有种顺序，
1、2、5，1、3、4，这2种组合有种顺序，
则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法种，
法二：同法一：分析可得三次骰子的点数之和是8或16，
若三次骰子的点数之和是8，相当于8个点数中用2个隔板，有种顺序，
若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，每种组合有种顺序，
则此时有种顺序，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法种，
故选：D．
8．【解答】解：因为恰有两个零点，即恰有两个零点，
所以令，
则与有两个交点，又
因为当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，且当时，，
当时，，，
所以在上单调递增，且，
作出的大致图象，如图所示：
因为与有两个交点，由图可得．
故选：D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．【解答】解：，故为奇函数，A正确；
由题意的定义域为，对函数求导得，
所以为上的增函数，B正确；
为上的增函数，，所以有唯一的零点，C正确；
令，可得，即，，
故斜率为0的切线方程为，即，D错误．
故选：AC．
10．【解答】解：对于A，的通项公式为，当时，，故A选项正确；
对于B，当，的通项公式为，当或时，二项式系数最大，因此二项式系数最大的项有两项，故B选项错误；
对于C选项，由于，所以，故C选项正确；
对于D，若，则，令，则，故D选项正确．
故选：ACD．
11．【解答】解：选项A，甲选择北京和乙选择上海可能同时发生，不互斥，错误；
选项B，由题意，事件总数为种，事件，的个数均为种，
则，，
，，即，正确；
选项C，，正确；
选项D，，错误．
故选：BC．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．若有两空，则第一空2分，第二空3分．）
12．【解答】解：，则，
故．
故答案为：5．
13．【解答】解：根据题意，只须把10个名额分成3份，每份至少一个名额即可，分别对应3个班，
选用隔板法，即将10个名额排成一列，共9个间隔即空位，从其9个空位中，选取2个，插入隔板就符合题意，
即种分配方案．
故答案为：36．
14．【解答】解：椭圆：的离心率为，
不妨可设椭圆：，，
的上顶点为，两个焦点为，，
为等边三角形，
过且垂直于的直线与交于，两点，，
由等腰三角形的性质可得，，，
设直线方程为，，，
将其与椭圆联立化简可得，，
由韦达定理可得，，，
，
解得，
的周长等价于．
故答案为：13．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．【解答】解：（1）当时，，，
则，
令得，，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
又因为，，
所以的最大值为2，
综上所述，函数在的最小值为，最大值2；
（2）因为，
所以，
当时，在上恒成立，故此时在上为增函数；
当时，令，得，
当时，；当时，，
故此时在上为增函数；在上为减函数，
综上所述，当时，在上为增函数；当时，在上为增函数；在上为减函数．
16．【解答】解：（1）证明：四边形是菱形，，
，，，平面，
平面，又平面，，
，是的中点，，
，平面，，平面；
（2）因为菱形的边长为2，，
由余弦定理得，
又，，
，从而可求得：，
根据第（1）问可知：平面，又平面，
，又，，，两两垂直，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建系如图，则根据题意可得：
，，，设，
，，
设为平面的一个法向量，则，
可得，取，
平面，平面的一个法向量为，
平面与平面的夹角的余弦值为，
，
，，又，，即，
，，
又平面的一个法向量，
记直线与平面所成角为，
则．
17．【解答】解：（1）易知的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
（2）（i）记“输入的问题没有语法错误”为事件，记“输入的问题有语法错误”为事件，记“ChatGPT的回答被采纳”为事件，
则，，，，
所以；
（ii）若ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为．
18．【解答】解：（1）由题意得，，解得，，，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知双曲线的方程为，
所以左顶点，右焦点，
设（，），则．
当时，，此时，，，所以．
当时，，，
所以，
又由点在第一象限，易知，，
所以，
综上的值为．
19．【解答】解：（1）因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为曲线在处的切线方程，
所以，解得；
所以，所以，解得；
（2）不等式可化为，
设，则，
设，则；
①当时，，所以在上单调递增；
又因为，所以当时，，即，在上单调递减；
当时，，即，在上单调递增；
所以；
②当时，令，得，解得，，
所以在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，，不合题意；
综上，的取值范围是；
（3）证明：由（2）知，当时，，
所以，
所以，
所以，
所以．