数学人教A版（2019）必修第一册5.4.1正弦函数、余弦函数的图像 课件（共38张ppt）

(共38张PPT)
5.4.1正弦函数、余弦函数的图像
回顾1 三角函数的概念是什么？
借助单位圆，我们推导出了三角函数的定义：
正弦函数:；(把点P的纵坐标y叫做∠α的正弦函数)
余弦函数:；(把点P的横坐标x叫做∠α的余弦函数)
正切函数:．
（把点P的纵坐标和横坐标的比值叫做∠α的正切函数）
回顾2 类比指数、对数函数的知识，我们是怎么研究它们的？
背景
解析式
图像
性质
追问：绘制一个新函数图象的基本方法是什么？
列表
描点
连线
上节课，我们是单位圆进行探究的，我们看到圆中上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用（公式一）来表示.
这说明，自变量每增加(减少)，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.这与物理当中的简谐运动是不谋而合的!
我们先来了解下简谐运动的运动轨迹！
那我们的正余弦函数图像会是这样的吗？该怎么画？
公式一说明，自变量每增加(减少)，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.
正弦函数
缩小范围、以小见大，利用特性画出全部的图像
问题1 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点.对于正弦函数，在上任取一个值，如何借助单位圆确定正弦函数值，并画出点(,).
如图，在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为.在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标.
即得到函数图象上的点.
1
-1
0
y
x
●
●
●
y=sinx ( x ∈ [0, ] )
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
问题3将函数，的图象不断向左、向右平移(每次移动个单位长度)，就可以得到正弦函数，的图象.
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
问题4 在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
观察函数，的图象上，以下五个点：
在确定图象形状时起关键作用
五点(画图)法
由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是密切关联的函数.
下面我们借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象.
问题5 正弦函数和余弦函数的哪些数量关系？我们需要通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数？
提示：请大家回忆我们学习过的诱导公式和图像平移变化进行思考
函数，由诱导公式得
图象可以通过正弦函数的图象向左平移个单位长度而得到.
所以，将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象
余弦函数，的图象叫做余弦曲线.它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
问题6 你能否类比“五点法”画正弦函数图象的方法，找出余弦函数在区间上相应的五个关键点？
问题6 “五点作图法”画出正弦函数、余弦函数图像究竟是哪五点呢？
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
问题6 五点作图法的步骤是什么？
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
例1.画出下列函数的简图：
(1) (2)
提示：五点作图法：列表、描点、连线
0 2
0 1 0 -1 0
1 2 1 0 1
列表
描点、连线
这两个图像间有什么联系？
0 2
1 0 -1 0 1
-1 0 1 0 -1
列表
描点、连线
这两个图像间有什么联系？
解题方法（简单三角函数图像画法）
1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.
2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换.
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).
解析：建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象.描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示.
例3　在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数.
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个.
解题方法（正弦函数、余弦函数图象的简单应用）
1.解不等式问题：三角函数的定义域或不等式可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.
2.方程的根(或函数零点)问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.
小结
3.图象变换的规律：对自变量x“左加右减”，对函数值f(x) “上加下减”
1. 正弦曲线、余弦曲线作法
几何作图法（三角函数线）
描点法（五点法）
图象变换法
y
x
o
1
-1
y=sinx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ]
2.正弦曲线和余弦曲线之间的区别与联系；
达标训练
1．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　)
A．重合　　　　　　 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
解析：B　根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
A
解析：A　因为sin x>|cos x|，
所以sin x>0．
所以x∈(0，π)．
在同一直角坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图象，如图．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6．函数f(x)＝lg x与g(x)＝cos x的图象的交点个数为(　　)
A．1　　 B．2　　　
C．3　　 D．不确定
解析：C　在同一坐标系中，作出函数f(x)＝lg x与g(x)＝cos x的图象，
如图所示，
由图可知，两函数的交点个数为3．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
C
7．若方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是__________．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
②描点连线如图．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
②描点连线如图．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14