第23章 图形的相似单元测试题（含答案）

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2025华师版九年级数学上册
第23章　图形的相似
时间：90分钟 满分：100分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（　　）
A.各边的长度 B.五边形的周长 C.各内角的度数 D.五边形的面积
2.在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A.（-2，3） B.（2，-3） C.（3，2） D.（-2，-3）
3.下列各组图形中一定是相似图形的是（　　）
A.两个平行四边形　　B.两个菱形 C.两个等腰梯形　 D.两个等边三角形
4.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上.若线段AB=3，则线段BC的长是（　　）
A. B.1 C. D.2
5.一张矩形纸片对折后与原矩形相似，则原矩形与对折后矩形的相似比是（ ）
A.∶1 B.4∶1 C.3∶1 D.2∶1
6.如图，F为 ABCD的边AD上一点，射线BF交CD的延长线于点E，则下列结论正确的是（　　）
A.= B.= C.= D.=
7.在平面直角坐标系中，点A（-6，2），B（-4，-6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（　　）
A.（-3，1） B.（-2，-3）
C.（-3，1）或（3，-1） D.（-2，-3）或（2，3）
8.如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD边上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，则下列结论成立的是（　　）
A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关
9.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，△ABC与△DEF的周长之比为a∶b，则=（　　）
A.1∶5 B.1∶4 C.1∶3 D.1∶2
10.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6 cm，AC=12 cm，动点D从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2 cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（　　）
A.3 s或4.8 s B.3 s C.4.5 s D.4.5 s或4.8 s
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.若=，则=　　　　.
12.生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可增加视觉美感.若图中b为2m，则a约为
　　　　m.（保留两位小数）
13.如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，CD上的点，∠BEF=90°，则图中①、②、③、④四个三角形中，一定相似的是　　　　和　　　　. （填序号）
14.如图，G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB，AC于D，E两点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为　　　　.
15.如图，在某小区2号楼拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O）.已知MO=4 m，CO=5 m，DO=3 m，AO= m，则汽车从A处前行的距离AB=　　　　m时，才能发现C处的儿童.
16.如图，在△ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交AB于点D，M是AC上一动点（AM（1）CD的长度是　　　　；
（2）若ME∥CD，则AM的长度是　　　　.
三、解答题（共52分）
17.（7分）如图，在△ABC中，线段CD，BE分别是AB，AC边上的中线，且BE与CD相交于点O，连接DE.
（1）若DE=3，则BC=　　　　；
（2）判断线段OB和OE之间的数量关系，并证明你的结论.
18.（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，-2），B（2，-1），C（4，-3）.
（1）画出△A1B1C1，使它与△ABC关于x轴对称；
（2）以点（4，0）为位似中心，在图中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1，并直接写出点A2的坐标.
19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°.
（1）求作：∠ABC的平分线BD交AC于点D.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：点D为线段AC的黄金分割点（即AD2=CD·CA）.
20.（9分）某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，如图，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，G，E，C，A在同一直线上），这时测得FG=6米，CG=60米.
（1）请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB.
（2）“景点简介”显示，大雁塔的高度约为64.5米.请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.
21.（10分）如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON=1.
（1）求证：△DMN∽△BCN.
（2）求BD的长.
（3）若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积.
22.（10分）（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M.
填空：①的值为　　　　； ②∠AMB的度数为　　　　.
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，==，连接AC，交BD的延长线于点M.请求出的值及∠AMB的度数，并说明理由.
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M.若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
参考答案与解析
1.C
2.D
3.D
4.C　如图，过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于点D，交点C所在的平行横线于点E，由题意可得，=，即=2，解得BC=.
5.A 解法一 如图，设原矩形的长为2a，宽为b，则对折后的矩形的长为b，宽为a.∵对折后所得的矩形与原矩形相似，∴=，∴2a2=b2，∴=，∴原矩形与对折后矩形的相似比是∶1.
解法二 ∵矩形纸片对折后和原矩形相似，∴原矩形面积是对折后矩形面积的2倍，∴原矩形与对折后矩形的相似比是∶1.
6.B　∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABF∽△DEF
，△EFD∽△EBC，∴=，=，=，故选项A，C，D错误；∵△ABF∽△DEF，△EFD∽△EBC，∴△ABF∽△CEB，∴=.
7.C　∵点A（-6，2），B（-4，-6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A'的坐标为（-6×，2×）或[-6×（-），2×（-）
]，即A'（-3，1）或（3，-1）.
8.C　连接AR，则EF是△PAR的中位线，∴EF=AR，∴线段EF的长不变.
9.D　∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴==，∴△ABC与△DEF的周长之比为a∶b=1∶2，则b=2a，故原式==.
10.A　设运动t s时，以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD=
t cm，CE=2t cm，AE=AC-CE=（12-2t）（cm），①当D与B对应时，有△ADE
∽△ABC，∴AD∶AB=AE∶AC，∴t∶6=（12-2t）∶12，∴t=3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB，∴AD∶AC=AE∶AB，∴t∶12=（12-2t）∶6，∴
t=4.8，∴当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3 s或4.8 s.
11.　∵=，∴=，∴=1-=1-=.
12.1.24　∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴≈0.618.∵b=
2m，∴≈0.618，即a≈1.24m.
13.③④（或④③）　∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠ABE
+∠AEB=90°，∵∠BEF=90°，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF，∴
△ABE∽△DEF，即③和④一定相似.
14.9　如图，连接AG并延长AG交BC于H，∵G为△ABC的重心，∴AG
=2GH，∵DE∥BC，∴==，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，相似比为，∴△ADE与△ABC的面积比为，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为9.
15.5.75　在Rt△CMO中，MO=4 m，CO=5 m，∴CM===3（m），∵∠BOD=∠MOC，∠BDO=∠CMO=90°，∴△BDO∽△CMO，∴=，∴=，∴BD=2.25 m，在Rt△AOD中，AO= m，DO=3 m，∴AD==
=8（m），∴AB=AD - BD=8-2.25=5.75（m），∴汽车从A处前行5.75 m，才能发现C处的儿童.
16.（1）5；（2）2.5　（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACD=2∠BCD.
∵∠ACB=2∠A，∴∠ACD=∠A=∠BCD，∴AD=CD.∵∠A=∠BCD，∠B=
∠B，∴△ABC∽△CBD，∴=，∴=，∴BD=4，∴AD=AB -BD=9-4=5，∴CD=AD=5，∴CD的长度是5.（2）由翻折可知DE=AD=5，∠E=∠A，∴
∠E=∠ACD.∵ME∥CD，∴∠E=∠EDC，∠EMC=∠ACD，∴∠ACD=∠EDC，∠EMC=∠E，∴FC=FD，FE=FM，∴FC+FM=FD+EF，∴CM=DE=AD=5.∵
△ABC∽△CBD，∴=，∴=，∴AC=7.5，∴AM=AC-CM=7.5-5=2.5，∴AM的长度是2.5.
17.解：（1）6（3分）
∵线段CD，BE分别是AB，AC边上的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴BC
=2DE=2×3=6.
（2）OB=2OE.证明如下：
∵线段CD，BE分别是AB，AC边上的中线，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE，∴△DOE∽△COB，（5分）
∴=，∴OB=2OE.（7分）
18.解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.（3分）
（2）如图，△A2B2C2即为所求.（6分）
点A2的坐标为（-2，4）.（8分）
19.（1）解：∠ABC的平分线BD交AC于点D，如图.
（3分）
（2）证明：在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴AD=BD，∠BDC=72°，∴BD=BC，∴AD=BC.（6分）
∵∠BCD=∠ACB，∠CBD=∠CAB，∴△BCD∽△ACB，
∴BC∶AC=CD∶BC，∴AD∶AC=CD∶AD，∴AD2=CD·CA，
∴点D为线段AC的黄金分割点.（8分）
20.解：（1）∵DC∥AB，∴△EDC∽△EBA，∴=.
∵GH∥AB，∴△FHG∽△FBA，∴=.（4分）
∵DC=HG，∴=，∴=，解得CA=120.
∵=，∴=，解得AB=62.
答：大雁塔的高度AB为62米.（7分）
（2）误差为64.5-62=2.5（米）.
减小误差的建议：可多次测量，取测量数据的平均值（答案合理即可）.（9分）
21.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠CBN，∴△DMN∽△BCN.（3分）
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，OB=OD=BD.
∵△DMN∽△BCN，∴=.
∵M为AD的中点，∴AD=2DM，∴BC=2DM，∴BN=2DN，
设OB=OD=x，∴BD=2x，∴BN=OB+ON=x+1，DN=OD -ON=x-1，
∴x+1=2（x-1），解得x=3，∴BD=2x=6，∴BD的长为6.（6分）
（3）解：∵△DMN∽△BCN，∴DM∶BC=MN∶CN=DN∶BN=1∶2.
∵△DCN的面积为2，∴S△MND=S△DCN=1，S△BNC=2S△DCN=4，
∴S△ABD=S△BCD=S△BNC+S△DCN=4+2=6，∴S四边形ABNM=S△ABD -S△MND=6-1=5，
∴四边形ABNM的面积为5.（10分）
22.解：（1）①1（1分）
①∵∠AOB=∠COD，∴∠BOD=∠AOC.又∵OC=OD，OA=OB，∴△AOC
≌△BOD，∴AC=BD，∠OBD=∠OAC，∴=1.
② 40°（2分）
②设BD，OA交于点N，∵∠MNA=∠ONB，∠OBD=∠OAC，∴∠AMB=
∠AOB=40°.
（2）=，∠AMB=90°.理由如下：（4分）
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD，即∠AOC=∠BOD.
∵==，∴△AOC∽△BOD，∴==，∠CAO=∠DBO.（6分）
设AO，BM交于点P，
∵∠APM=∠BPO，∴∠AMB=∠AOB=90°.（8分）
（3）AC的长为2或3.（10分）
由（2）可知，∠AMB=90°，=，设BD=x，则AC=x.∵OB=，∠AOB
=90°，=，∴易得AB=2，同理，易得MD=2.分两种情况讨论.如图1，当点M，C在OA上侧重合时，在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，∴（2）2=
（x）2+（x+2）2，解得x1=2，x2=-3（不合题意，舍去）， ∴AC=x=2.
如图2，当点M，C在OA下侧重合时，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，∴（2）2=（x）2+（x-2）2，
解得x1=-2（不合题意，舍去），x2=3， ∴AC=x=3.
综上，AC的长为2或3.
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