第22章 一元二次方程单元测试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 第22章 一元二次方程单元测试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 354.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-10 17:38:45 | ||
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文档简介
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2025华师版九年级数学上册
第22章 一元二次方程
时间：90分钟 满分：100分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.若方程mx2+4x-3=2x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A.m>0 B.m≠0 C.m≠2 D.m≠-2
2.一元二次方程2x2-1=4x化成一般形式后，常数项是-1，一次项系数是 （ ）
A.-4 B.-2 C.4 D.2
3.将一元二次方程x2+4x+2=0配方后可得到方程（ ）
A.（x-2）2=2 B.（x+2）2=6
C.（x-2）2=6 D.（x+2）2=2
4.若4a-2b+c=0，则一元二次方程ax2-bx+c=0（a≠0）必有一根是（ ）
A.0 B.无法确定 C.-2 D.2
5.若关于x的方程x2-kx-3=0的一个根是3，则方程的另一个根是（ ）
A.-1 B.1 C.2 D.-2
6.对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2-b.若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A.k>- B.k<- C.k>-且k≠0 D.k≥-且k≠0
7.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤.如图，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）
A.第1轮后有（x+1）个人患了流感
B.第2轮又增加（x+1）·x个人患流感
C.依题意可得方程（x+1）2=121
D.不考虑其他因素经过三轮一共会有1 210人感染
9.若关于x的一元二次方程a（x+m）2+n=0（a≠0）的两根分别为x1=-2，x2=1，则关于x的一元二次方程a（x+m-2 022）2+n=0（a≠0）的两根分别为（ ）
A.x1=-2，x2=1 B.x1=2 020，x2=2 023
C.x1=-2 020，x2=2 023 D.x1=-2 024，x2=-2 019
10.形如x2+10x=39的方程，求正数解的几何方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+（）2×4=64，则该方程的正数解为-×2=3.小明尝试用此方法解关于x的方程x2+8x+c=0时，构造出如图2所示的正方形.已知图2中阴影部分的面积和为36，则该方程的正数解为（ ）
A.2-2 B.2 C.2-4 D.2
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.如果x=2是关于x的一元二次方程x2=c的一个根，那么该方程的另一个根是 .
12.请写出一个二次项系数为2的一元二次方程，使得两根分别是-2和1： .
13.如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx=12的根是 和 .
14.用因式分解法解一元二次方程x2-px-6=0时，若x-3是该方程左边二次三项式的一个因式，则p的值是 .
15.若关于x的一元二次方程x2-（m2-4）x+m-1=0的两根互为相反数，则m= .
16.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止.经过 s，△PBQ的面积等于15 cm2.
三、解答题（共52分）
17.请用适当的方法解下列方程：
（1）（4分）（m+4）2=5（m+4）；
（2）（4分）5x2-8x=-5；
（3）（4分）（x+2）2-8（x+2）+16=0.
18.（7分）下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成任务.
2x2-3x-5=0.
解：x2-x=，………………………第一步
x2-x+（）2=+（）2，…………第二步
（x-）2=，………………………第三步
x-=±，……………………………第四步
x1=，x2=-1.………………………第五步
（1）任务一：①杨老师解方程的方法是 .
A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法
②第二步变形的依据是 ；
（2）任务二：请你按要求解下列方程.
①x2+2x-3=0；（公式法） ②3（x-2）2=x2-4.（因式分解法）
19.（7分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+=0.
（1）当b=a+1时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时方程的根.
20.（8分）观察下列一元二次方程：
第1个方程x2+x-2=0的根为1和-2；第2个方程2x2+x-3=0的根为1和-；第3个方程3x2+x-4=0的根为1和-……
（1）第2 022个方程是 ，根为 ；
（2）直接写出第n个方程与它的根并验证根的正确性.
21.（8分）如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15 m，篱笆总长为24 m.
（1）若围成的花圃面积为40 m2，求BC的长.
（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为50 m2，则能否围成花圃 如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由.
22.（10分）阅读并完成下列问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一矩形B，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半
（1）当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的两边长分别是x和y，
由题意可得方程组消去y，得2x2-7x+6=0.
∵Δ=49-48=1>0，∴x1= ，x2= ，
∴满足要求的矩形B存在.
（2）如果已知矩形A的两边长分别为2和1，那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B.
（3）如果矩形A的两边长分别为m和n，那么请你研究当m，n满足什么条件时，矩形B存在，并说明理由.
参考答案与解析
1.C
2.A
3.D
4.D ∵4a-2b+c=0，∴a×22-b×2+c=0，∴方程ax2-bx+c=0（a≠0）必有一根为2.
5.A 解法一 设方程的另一个根为a，则由根与系数的关系得3a=-3，解得a=-1.
解法二（公式法） 将x=3代入，得9-3k-3=0，解得k=2，∴原方程为x2-2x-3=0，利用公式法解方程得x=，∴x=3或-1.
解法二（代入验证法） 将x=3代入，得9-3k-3=0，解得k=2，∴原方程为x2-2x-3=0.将x=-1代入方程，等式成立，故x=-1是方程的另一个根.
6.A 根据定义的新运算，得x2-x=k，即x2-x-k=0.∵关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，∴Δ=（-1）2-4×（-k）>0，解得k>-.
7.B 2x2+4x-1=0，2x2+4x=1，x2+2x=，x2+2x+1=+1，（x+1）2=，x+1=±，x+1=或x+1=-，x1=-1+，x2=-1-，∴这位同学是乙.
8.D ∵每轮传染中平均1个人传染了x个人，则第一轮传染x个人，第一轮后共有（x+1）人患流感，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则增加传染x（x+
1）人，根据题意列方程得到（x+1）2=121，解（x+1）2=121，得x1=10，x2=
-12（不符合题意，舍去），故平均一个人传染了10个人.经过三轮传染后患上流感的人数为121+10×121=1 331（人）.
9.B 把关于x的一元二次方程a（x+m-2 022）2+n=0看作关于t（t=x-2 022）的一元二次方程.∵关于t的一元二次方程a（t+m）2+n=0（a≠0）的两根分别为t1=-2，t2=1，∴x-2 022=-2或x-2 022=1，解得x1=2 020，x2=2 023，即关于x的一元二次方程a（x+m-2 022）2+n=0（a≠0）的两根分别为x1=2 020，x2=2 023.
10.C 8÷4=2，结合题图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为36+22×4=36+16
=52，∴该方程的正数解为-2×2=2-4.
11.x=-2
12.2x2+2x-4=0 由题意得2（x-1）（x+2）=0，化简，得2x2+2x-4=0.
13.x1=-3；x2=4 由表中数据得当x=-3时，ax2+bx=12；当x=4时，ax2+bx=12.即方程ax2+bx=12的根为x1=-3，x2=4.
14.1 由题意可设x2-px-6=0分解因式得（x-3）（x-m）=0，化成一般式为x2-（3+m）x+3m=0，∴3m=-6，∴m=-2，∴p=3-2=1.
15.-2 ∵关于x的一元二次方程x2-（m2-4）x+m-1=0的两根互为相反数，∴
m2-4=0，解得m1=2，m2=-2.当m=2时，原方程为x2+1=0，此时方程无实数根，∴m=2不符合题意，舍去；当m=-2时，原方程为x2-3=0，此时方程有两个不相等的实数根，∴m=-2符合题意.∴m的值为-2.
16.3 设经过x s，△PBQ的面积等于15 cm2.由题意，得（8-x）×2x=15，解得x1=3，x2=5.点P从点A运动到点B所需时间：8÷1=8（s）.点Q从点B运动到点C所需时间：6÷2=3（s），∴017.解：（1）移项，得（m+4）2-5（m+4）=0，
提公因式，得（m+4）（m+4-5）=0，
∴m+4=0或m-1=0，∴m1=-4，m2=1.（4分）
（2）移项，得5x2-8x+5=0.
∵a=5，b=-8，c=5，∴Δ=b2-4ac=64-100=-36<0，（2分）
∴方程无实数根.（4分）
（3）把（x+2）看成一个整体，令x+2=t，则t2-8t+16=0，
整理，得（t-4）2=0，解得t1=t2=4，∴x1=x2=2.（4分）
18.解：（1）①B ②等式的基本性质（2分）
（2）①x2+2x-3=0，a=1，b=2，c=-3，Δ=22-4×1×（-3）=16>0，
x===-1±2，∴x1=1，x2=-3.（5分）
②3（x-2）2=x2-4，3（x-2）2-（x+2）（x-2）=0，
（x-2）（3x-6-x-2）=0，x-2=0或3x-6-x-2=0，∴x1=2，x2=4.（7分）
19.解：（1）Δ=b2-4a×=b2-2a，∵b=a+1，∴Δ=（a+1）2-2a=a2+2a+1-2a=a2+1>0，
∴原方程有两个不相等的实数根.（3分）
（2）∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=b2-2a=0，即b2=2a.（4分）
取a=2，b=2，则方程为2x2+2x+=0，（6分）
解得x1=x2=-.（7分）（a，b的取值不唯一，解也不唯一，正确即可）
20.解：（1）2 022x2+x-2 023=0 1和-（3分）
（2）第n个方程是nx2+x-（n+1）=0，其根为1和-.（5分）
验证：当x=1时，nx2+x-（n+1）=n+1-n-1=0.
当x=-时，nx2+x-（n+1）=n·（-）2--（n+1）==0.（8分）
21.解：（1）设BC的长为x m，则AB的长为 m.
根据题意，得x·=40，整理，得x2-24x+80=0，（2分）
解得x1=4，x2=20.
∵20>15，∴x2=20不符合题意，舍去，∴BC的长为4 m.（4分）
（2）不能.理由如下：（5分）
设BC的长为y m，则AB的长为 m.
根据题意，得y·=50，整理，得y2-24y+150=0.（7分）
∵Δ=（-24）2-4×1×150=-24<0，∴该方程无实数根，
∴不能围成总面积为50 m2的花圃.（8分）
22.解：（1） 2（2分）
（2）设所求矩形的两边长分别是a和b，
由题意得，消去b，得2a2-3a+2=0.
∵Δ=9-16=-7<0，∴不存在满足要求的矩形B.（5分）
（3）当m，n满足（m-n）2-4mn≥0时，矩形B存在.理由如下：（6分）
设所求矩形的两边长分别是p和q，由题意，得
消去q，得2p2-（m+n）p+mn=0，（7分）
∴Δ=[-（m+n）]2-8mn=（m-n）2-4mn.
当Δ≥0时，存在满足要求的矩形B，
即当（m-n）2-4mn≥0时，矩形B存在.（10分）
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第22章 一元二次方程
时间：90分钟 满分：100分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.若方程mx2+4x-3=2x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A.m>0 B.m≠0 C.m≠2 D.m≠-2
2.一元二次方程2x2-1=4x化成一般形式后，常数项是-1，一次项系数是 （ ）
A.-4 B.-2 C.4 D.2
3.将一元二次方程x2+4x+2=0配方后可得到方程（ ）
A.（x-2）2=2 B.（x+2）2=6
C.（x-2）2=6 D.（x+2）2=2
4.若4a-2b+c=0，则一元二次方程ax2-bx+c=0（a≠0）必有一根是（ ）
A.0 B.无法确定 C.-2 D.2
5.若关于x的方程x2-kx-3=0的一个根是3，则方程的另一个根是（ ）
A.-1 B.1 C.2 D.-2
6.对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2-b.若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A.k>- B.k<- C.k>-且k≠0 D.k≥-且k≠0
7.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤.如图，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）
A.第1轮后有（x+1）个人患了流感
B.第2轮又增加（x+1）·x个人患流感
C.依题意可得方程（x+1）2=121
D.不考虑其他因素经过三轮一共会有1 210人感染
9.若关于x的一元二次方程a（x+m）2+n=0（a≠0）的两根分别为x1=-2，x2=1，则关于x的一元二次方程a（x+m-2 022）2+n=0（a≠0）的两根分别为（ ）
A.x1=-2，x2=1 B.x1=2 020，x2=2 023
C.x1=-2 020，x2=2 023 D.x1=-2 024，x2=-2 019
10.形如x2+10x=39的方程，求正数解的几何方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+（）2×4=64，则该方程的正数解为-×2=3.小明尝试用此方法解关于x的方程x2+8x+c=0时，构造出如图2所示的正方形.已知图2中阴影部分的面积和为36，则该方程的正数解为（ ）
A.2-2 B.2 C.2-4 D.2
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.如果x=2是关于x的一元二次方程x2=c的一个根，那么该方程的另一个根是 .
12.请写出一个二次项系数为2的一元二次方程，使得两根分别是-2和1： .
13.如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx=12的根是 和 .
14.用因式分解法解一元二次方程x2-px-6=0时，若x-3是该方程左边二次三项式的一个因式，则p的值是 .
15.若关于x的一元二次方程x2-（m2-4）x+m-1=0的两根互为相反数，则m= .
16.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止.经过 s，△PBQ的面积等于15 cm2.
三、解答题（共52分）
17.请用适当的方法解下列方程：
（1）（4分）（m+4）2=5（m+4）；
（2）（4分）5x2-8x=-5；
（3）（4分）（x+2）2-8（x+2）+16=0.
18.（7分）下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成任务.
2x2-3x-5=0.
解：x2-x=，………………………第一步
x2-x+（）2=+（）2，…………第二步
（x-）2=，………………………第三步
x-=±，……………………………第四步
x1=，x2=-1.………………………第五步
（1）任务一：①杨老师解方程的方法是 .
A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法
②第二步变形的依据是 ；
（2）任务二：请你按要求解下列方程.
①x2+2x-3=0；（公式法） ②3（x-2）2=x2-4.（因式分解法）
19.（7分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+=0.
（1）当b=a+1时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时方程的根.
20.（8分）观察下列一元二次方程：
第1个方程x2+x-2=0的根为1和-2；第2个方程2x2+x-3=0的根为1和-；第3个方程3x2+x-4=0的根为1和-……
（1）第2 022个方程是 ，根为 ；
（2）直接写出第n个方程与它的根并验证根的正确性.
21.（8分）如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15 m，篱笆总长为24 m.
（1）若围成的花圃面积为40 m2，求BC的长.
（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为50 m2，则能否围成花圃 如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由.
22.（10分）阅读并完成下列问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一矩形B，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半
（1）当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的两边长分别是x和y，
由题意可得方程组消去y，得2x2-7x+6=0.
∵Δ=49-48=1>0，∴x1= ，x2= ，
∴满足要求的矩形B存在.
（2）如果已知矩形A的两边长分别为2和1，那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B.
（3）如果矩形A的两边长分别为m和n，那么请你研究当m，n满足什么条件时，矩形B存在，并说明理由.
参考答案与解析
1.C
2.A
3.D
4.D ∵4a-2b+c=0，∴a×22-b×2+c=0，∴方程ax2-bx+c=0（a≠0）必有一根为2.
5.A 解法一 设方程的另一个根为a，则由根与系数的关系得3a=-3，解得a=-1.
解法二（公式法） 将x=3代入，得9-3k-3=0，解得k=2，∴原方程为x2-2x-3=0，利用公式法解方程得x=，∴x=3或-1.
解法二（代入验证法） 将x=3代入，得9-3k-3=0，解得k=2，∴原方程为x2-2x-3=0.将x=-1代入方程，等式成立，故x=-1是方程的另一个根.
6.A 根据定义的新运算，得x2-x=k，即x2-x-k=0.∵关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，∴Δ=（-1）2-4×（-k）>0，解得k>-.
7.B 2x2+4x-1=0，2x2+4x=1，x2+2x=，x2+2x+1=+1，（x+1）2=，x+1=±，x+1=或x+1=-，x1=-1+，x2=-1-，∴这位同学是乙.
8.D ∵每轮传染中平均1个人传染了x个人，则第一轮传染x个人，第一轮后共有（x+1）人患流感，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则增加传染x（x+
1）人，根据题意列方程得到（x+1）2=121，解（x+1）2=121，得x1=10，x2=
-12（不符合题意，舍去），故平均一个人传染了10个人.经过三轮传染后患上流感的人数为121+10×121=1 331（人）.
9.B 把关于x的一元二次方程a（x+m-2 022）2+n=0看作关于t（t=x-2 022）的一元二次方程.∵关于t的一元二次方程a（t+m）2+n=0（a≠0）的两根分别为t1=-2，t2=1，∴x-2 022=-2或x-2 022=1，解得x1=2 020，x2=2 023，即关于x的一元二次方程a（x+m-2 022）2+n=0（a≠0）的两根分别为x1=2 020，x2=2 023.
10.C 8÷4=2，结合题图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为36+22×4=36+16
=52，∴该方程的正数解为-2×2=2-4.
11.x=-2
12.2x2+2x-4=0 由题意得2（x-1）（x+2）=0，化简，得2x2+2x-4=0.
13.x1=-3；x2=4 由表中数据得当x=-3时，ax2+bx=12；当x=4时，ax2+bx=12.即方程ax2+bx=12的根为x1=-3，x2=4.
14.1 由题意可设x2-px-6=0分解因式得（x-3）（x-m）=0，化成一般式为x2-（3+m）x+3m=0，∴3m=-6，∴m=-2，∴p=3-2=1.
15.-2 ∵关于x的一元二次方程x2-（m2-4）x+m-1=0的两根互为相反数，∴
m2-4=0，解得m1=2，m2=-2.当m=2时，原方程为x2+1=0，此时方程无实数根，∴m=2不符合题意，舍去；当m=-2时，原方程为x2-3=0，此时方程有两个不相等的实数根，∴m=-2符合题意.∴m的值为-2.
16.3 设经过x s，△PBQ的面积等于15 cm2.由题意，得（8-x）×2x=15，解得x1=3，x2=5.点P从点A运动到点B所需时间：8÷1=8（s）.点Q从点B运动到点C所需时间：6÷2=3（s），∴0
提公因式，得（m+4）（m+4-5）=0，
∴m+4=0或m-1=0，∴m1=-4，m2=1.（4分）
（2）移项，得5x2-8x+5=0.
∵a=5，b=-8，c=5，∴Δ=b2-4ac=64-100=-36<0，（2分）
∴方程无实数根.（4分）
（3）把（x+2）看成一个整体，令x+2=t，则t2-8t+16=0，
整理，得（t-4）2=0，解得t1=t2=4，∴x1=x2=2.（4分）
18.解：（1）①B ②等式的基本性质（2分）
（2）①x2+2x-3=0，a=1，b=2，c=-3，Δ=22-4×1×（-3）=16>0，
x===-1±2，∴x1=1，x2=-3.（5分）
②3（x-2）2=x2-4，3（x-2）2-（x+2）（x-2）=0，
（x-2）（3x-6-x-2）=0，x-2=0或3x-6-x-2=0，∴x1=2，x2=4.（7分）
19.解：（1）Δ=b2-4a×=b2-2a，∵b=a+1，∴Δ=（a+1）2-2a=a2+2a+1-2a=a2+1>0，
∴原方程有两个不相等的实数根.（3分）
（2）∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=b2-2a=0，即b2=2a.（4分）
取a=2，b=2，则方程为2x2+2x+=0，（6分）
解得x1=x2=-.（7分）（a，b的取值不唯一，解也不唯一，正确即可）
20.解：（1）2 022x2+x-2 023=0 1和-（3分）
（2）第n个方程是nx2+x-（n+1）=0，其根为1和-.（5分）
验证：当x=1时，nx2+x-（n+1）=n+1-n-1=0.
当x=-时，nx2+x-（n+1）=n·（-）2--（n+1）==0.（8分）
21.解：（1）设BC的长为x m，则AB的长为 m.
根据题意，得x·=40，整理，得x2-24x+80=0，（2分）
解得x1=4，x2=20.
∵20>15，∴x2=20不符合题意，舍去，∴BC的长为4 m.（4分）
（2）不能.理由如下：（5分）
设BC的长为y m，则AB的长为 m.
根据题意，得y·=50，整理，得y2-24y+150=0.（7分）
∵Δ=（-24）2-4×1×150=-24<0，∴该方程无实数根，
∴不能围成总面积为50 m2的花圃.（8分）
22.解：（1） 2（2分）
（2）设所求矩形的两边长分别是a和b，
由题意得，消去b，得2a2-3a+2=0.
∵Δ=9-16=-7<0，∴不存在满足要求的矩形B.（5分）
（3）当m，n满足（m-n）2-4mn≥0时，矩形B存在.理由如下：（6分）
设所求矩形的两边长分别是p和q，由题意，得
消去q，得2p2-（m+n）p+mn=0，（7分）
∴Δ=[-（m+n）]2-8mn=（m-n）2-4mn.
当Δ≥0时，存在满足要求的矩形B，
即当（m-n）2-4mn≥0时，矩形B存在.（10分）
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