第14章 勾股定理单元测试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 第14章 勾股定理单元测试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 535.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-10 17:54:03 | ||
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文档简介
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2025华师版数学八年级上学期
第14章 勾股定理
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.以2，3为直角边的直角三角形的斜边长为（ ）
A. B. C.4 D.5
2.下列各组数中，以它们为边不能构成直角三角形的是（ ）
A.3，4，5 B.6，8，10
C.9，12，15 D.5，6，7
3.如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=1，点A，B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A.-1 B. C.-1 D.
4.如图，点E在正方形ABCD的内部，且∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）
A.80 B.76 C.60 D.48
5.如图，在△ABC中，∠A=90°，DE⊥BC，AB=3，BC=5，EC=2，BD是∠ABC的平分线，则△CDE的周长是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
6.如图，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/时的速度航行，二号舰以16海里/时的速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（ ）
A.南偏东30° B.北偏东30°
C.南偏东60° D.南偏西60°
7.在周长为24的直角三角形中，若斜边长为11，则该三角形的面积为（ ）
A.6 B.12 C.24 D.48
8.如图，有一个由传感器控制的灯A，装在门上方离地4.5 m的墙上，任何物体只要移至该灯周围5 m及5 m以内，灯就会自动发光.一个身高1.5 m的学生要走到离门多远的地方，灯刚好发光 （ ）
A.5 m B.7 m C.4 m D.3 m
9.如图，Rt△ABO中，∠A=90°，AO=2，AB=1.以BC（长为1），OB为直角边，构造Rt△OBC；再以CD（长为1），OC为直角边，构造Rt△OCD；…，按照这个规律，在Rt△OHI中，点H到OI的距离是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，圆柱形容器的高为0.9 m，底面周长为1.2 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一只蚊子.此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器顶部0.2 m，且与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（ ）
A.1.3 m B.1.2 m C.1.1 m D.1 m
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.木工师傅要做一扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗 . （填“合格”或“不合格”）
12.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足+|a-b|=0，则△ABC的形状为 .
13.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条通过小圆孔到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是 .
14.在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载这样一个问题：“今有开门去阃一尺，不合二寸.问门广几何 ”其大意是：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘上D，C两点到门槛AB的距离都是1尺，两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB是 寸.（1尺=10寸）
15.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是 .
三、解答题（共55分）
16.（7分）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，AB=10，AC=17，BD=6，AD=8.
（1）求∠ADB的度数；
（2）求CD的长.
17.（8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节，松松同学在学习了“勾股定理”这一章节之后，为了计算如图所示的风筝的垂直高度CE，他测得以下数据：①水平距离BD的长为8米；
②由手中剩余线的长度得出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米.
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）若松松同学想让风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米
18.（9分）根据勾股定理知识迁移，完成下列应用.
（1）如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积S1，S2，S3之间满足的等量关系是 ；
（2）应用：如图2，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，分别以三边为直径作半圆.若a=3，c=5，求图中阴影部分的面积.
19.（9分）如图，两个村子A，B在河的同侧，A，B两村到河边CD的距离分别为AC=
1km，BD=3km，已知CD=3km.现要在河边CD上建造一水厂，向A，B两村送自来水.铺设水管的费用为每千米 20 000 元.
（1）请你在CD上确定水厂位置O，使铺设水管的费用最省；
（2）求出（1）中铺设水管的总费用W.
20.（10分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙之处也各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2.
证明：如图1，连接BD，CD，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a.∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab，S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b-a），∴b2+ab=c2+a（b-a），∴a2+b2=c2.
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2.
21.（12分）如图，在Rt△ABC中，AB=5 cm，BC=3 cm，∠C=90°.若点P从点A出发，以每秒2 cm的速度沿折线A—C—B—A运动，设运动时间为t s（t>0）.
（1）当点P在AC上，且满足PA=PB时，求t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形，且PC≠BC.
参考答案与解析
1.B
2.D
3.A AC===，则AM=.∵点A表示的数为-1，∴点M表示的数为-1.
4.B 根据勾股定理，得AB2=AE2+BE2=62+82=100，故S正方形ABCD=100.又S△ABE=
×6×8=24，∴S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE=76.
5.A ∵∠A=90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的平分线，∴AD=DE.在Rt△ABC中，AC===4，∴△CDE的周长=DE+DC+CE=AD+DC+CE=AC+CE
=4+2=6.
6.C 由题意可得BO=16×1.5=24（海里），AO=12×1.5=18（海里），AB=30海里.∵AO2+BO2=AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB=90°.∵∠AOD=30°，∴∠BOD=60°，∴二号舰的航行方向是南偏东60°.
7.B 设直角三角形的一直角边长为x，另一直角边长为y，由题意可得x+y=24
-11=13，∴（x+y）2=132①.由勾股定理可得x2+y2=112②.由①-②，得2xy=48，∴xy=24，∴该三角形的面积为xy=×24=12.
8.C 如图，设CD表示该学生的身高，点C到点A的距离为5 m，则CD=1.5 m，AC=5 m.过点C作CE⊥AB于点E.由题意可知，BE=CD=1.5 m，∴AE=AB-BE
=4.5-1.5=3（m）.在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE==4（m），∴BD=CE=4 m，故一个身高1.5 m的学生要走到离门4 m远的地方，灯刚好发光.
9.B 在Rt△ABO中，∠A=90°，AO=2，AB=1，由勾股定理，得OB=
==；在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC===；在Rt△OCD中，由勾股定理，得OD=.按照这个规律，在Rt△OHI中，根据勾股定理，得OI==2.如图，过点H作HM⊥OI于点M，则OI·HM=OH·HI，∴×2×HM=××1，∴HM=，∴点H到OI的距离是.
10.D 如图，由题意得，A'D=0.6 m，BD=0.8 m，∴A'B==
=1（m）.
11.不合格 ∵42+62=52≠72=49，∴这扇纱窗不是长方形，故不合格.
12.等腰直角三角形 由+|a-b|=0得c2-a2-b2=0，且a-b=0，即a2+b2= c2，a=b，∴△ABC是等腰直角三角形.
13.12≤a≤13 如图，设点O是下底面的中心，点A是下底面的边缘上的一点，点B是上底面的中心，当吸管底部在O点时，吸管在罐内部分a的长度最短，此时a的长等于饮料罐的高，即a=12.当吸管底部在A点时，吸管在罐内部分a的长度最长，此时a的长等于线段AB的长.在Rt△ABO中，AB2=AO2+BO2=
52+122=132，∴AB=13，即a=13.综上，a的长度的取值范围是12≤a≤13.
14.101 如图，过点D作DE⊥AB于点E，则DE=10寸.设单门的宽度AO=x寸，则AE=（x-1）寸.根据勾股定理，得AD2=DE2+AE2，即x2=102+（x-1）2，解得x=50.5，∴AB=101寸.
15.4.8 如图，过点A作AF⊥BC于点F，连接AP.在△ABC中，∵AB=AC=5，BC=8，∴BF=4.在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF==3.∵S△ABC=S△ABP
+S△APC，∴×8×3=×5·PD+×5·PE，即12=×5（PD+PE），则PD+PE=4.8.
16.解：（1）∵AB=10，BD=6，AD=8，∴BD2+AD2=62+82=102=AB2，
∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB=90°. （3分）
（2）∵∠ADB=90°，∴∠ADC=90°.
在Rt△ACD中，AC=17，AD=8，∴CD==15. （7分）
17.解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD2=BC2-BD2=172-82=225.
∵CD>0，∴CD=15，∴CE=CD+DE=15+1.6=16.6.
答:风筝的垂直高度CE为16.6米.（3分）
（2）如图，在线段CD上找一点M，使CM=9，则DM=6，连接BM.
在Rt△BDM中，BM===10，则BC-BM=7.
答:他应该往回收线7米.（8分）
18.解：（1）S1+S2=S3 （3分）
设S1，S2，S3对应的直径分别为a，b，c.根据勾股定理，得a2+b2=c2，S1=π（）2=a2，同理可得S2=b2，S3=c2，∴S1+S2=a2+b2=（a2+b2）=c2=S3.
（2）设直角三角形的面积为S4.
∵a=3，c=5，∴b===4，∴S4=ab=×3×4=6，
∴阴影部分的面积为S1+S2+S4-S3=S4=6. （9分）
19.解：（1）如图，延长AC到点M，使CM=AC，连接BM交CD于点O，点O就是所选择的位置.（4分）
（2）如图，连接OA，过点M作MN⊥BD，交BD的延长线于点N.（5分）
在Rt△BMN中，BN=BD+DN=4千米，MN=CD=3千米，
∴MB===5（千米），（7分）
∴最短路线AO+BO=MB=5千米，
∴铺设水管的总费用W=5×20 000=100 000（元）.
答:最省的铺设水管的总费用是100 000元.（9分）
20.证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a.（2分）
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，（5分）
S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b-a），（8分）
∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b-a），∴a2+b2=c2.（10分）
21.解：（1）∵AB=5 cm，BC=3 cm，∠C=90°，∴AC==4（cm）.
由PA=PB，PA=2t cm，可得PB=2t cm，PC=（4-2t）cm.
在Rt△PCB中，PC2+BC2=PB2，即（4-2t）2+32=（2t）2，解得t=，
∴当t=时，PA=PB. （4分）
（2）当点P恰好在∠BAC的平分线上时，如图1.过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP=（7-2t）cm，PE=PC=（2t-4）cm，BE=5-4=1（cm）.
在Rt△BEP中，PE2+BE2=BP2，即（2t-4）2+12=（7-2t）2，解得t=，
∴当t=时，点P恰好在∠BAC的平分线上.（8分）
（3）当t=或5时，△BCP为等腰三角形，且PC≠BC.（12分）
当点P在AC上时，∵△BCP为等腰三角形，∠ACB=90°，且PC≠BC，∴不存在符合题意的点P.
当点P在AB上时，△BCP为等腰三角形，分为以下两种情况:
①当CP=PB时，如图2，过点P作PF⊥BC于点F，∴BF=BC= cm，
易得PB=AB，即2t-3-4=，解得t=.
②当PB=BC时，2t-3-4=3，解得t=5.
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第14章 勾股定理
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.以2，3为直角边的直角三角形的斜边长为（ ）
A. B. C.4 D.5
2.下列各组数中，以它们为边不能构成直角三角形的是（ ）
A.3，4，5 B.6，8，10
C.9，12，15 D.5，6，7
3.如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=1，点A，B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A.-1 B. C.-1 D.
4.如图，点E在正方形ABCD的内部，且∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）
A.80 B.76 C.60 D.48
5.如图，在△ABC中，∠A=90°，DE⊥BC，AB=3，BC=5，EC=2，BD是∠ABC的平分线，则△CDE的周长是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
6.如图，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/时的速度航行，二号舰以16海里/时的速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（ ）
A.南偏东30° B.北偏东30°
C.南偏东60° D.南偏西60°
7.在周长为24的直角三角形中，若斜边长为11，则该三角形的面积为（ ）
A.6 B.12 C.24 D.48
8.如图，有一个由传感器控制的灯A，装在门上方离地4.5 m的墙上，任何物体只要移至该灯周围5 m及5 m以内，灯就会自动发光.一个身高1.5 m的学生要走到离门多远的地方，灯刚好发光 （ ）
A.5 m B.7 m C.4 m D.3 m
9.如图，Rt△ABO中，∠A=90°，AO=2，AB=1.以BC（长为1），OB为直角边，构造Rt△OBC；再以CD（长为1），OC为直角边，构造Rt△OCD；…，按照这个规律，在Rt△OHI中，点H到OI的距离是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，圆柱形容器的高为0.9 m，底面周长为1.2 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一只蚊子.此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器顶部0.2 m，且与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（ ）
A.1.3 m B.1.2 m C.1.1 m D.1 m
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.木工师傅要做一扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗 . （填“合格”或“不合格”）
12.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足+|a-b|=0，则△ABC的形状为 .
13.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条通过小圆孔到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是 .
14.在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载这样一个问题：“今有开门去阃一尺，不合二寸.问门广几何 ”其大意是：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘上D，C两点到门槛AB的距离都是1尺，两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB是 寸.（1尺=10寸）
15.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是 .
三、解答题（共55分）
16.（7分）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，AB=10，AC=17，BD=6，AD=8.
（1）求∠ADB的度数；
（2）求CD的长.
17.（8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节，松松同学在学习了“勾股定理”这一章节之后，为了计算如图所示的风筝的垂直高度CE，他测得以下数据：①水平距离BD的长为8米；
②由手中剩余线的长度得出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米.
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）若松松同学想让风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米
18.（9分）根据勾股定理知识迁移，完成下列应用.
（1）如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积S1，S2，S3之间满足的等量关系是 ；
（2）应用：如图2，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，分别以三边为直径作半圆.若a=3，c=5，求图中阴影部分的面积.
19.（9分）如图，两个村子A，B在河的同侧，A，B两村到河边CD的距离分别为AC=
1km，BD=3km，已知CD=3km.现要在河边CD上建造一水厂，向A，B两村送自来水.铺设水管的费用为每千米 20 000 元.
（1）请你在CD上确定水厂位置O，使铺设水管的费用最省；
（2）求出（1）中铺设水管的总费用W.
20.（10分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙之处也各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2.
证明：如图1，连接BD，CD，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a.∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab，S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b-a），∴b2+ab=c2+a（b-a），∴a2+b2=c2.
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2.
21.（12分）如图，在Rt△ABC中，AB=5 cm，BC=3 cm，∠C=90°.若点P从点A出发，以每秒2 cm的速度沿折线A—C—B—A运动，设运动时间为t s（t>0）.
（1）当点P在AC上，且满足PA=PB时，求t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形，且PC≠BC.
参考答案与解析
1.B
2.D
3.A AC===，则AM=.∵点A表示的数为-1，∴点M表示的数为-1.
4.B 根据勾股定理，得AB2=AE2+BE2=62+82=100，故S正方形ABCD=100.又S△ABE=
×6×8=24，∴S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE=76.
5.A ∵∠A=90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的平分线，∴AD=DE.在Rt△ABC中，AC===4，∴△CDE的周长=DE+DC+CE=AD+DC+CE=AC+CE
=4+2=6.
6.C 由题意可得BO=16×1.5=24（海里），AO=12×1.5=18（海里），AB=30海里.∵AO2+BO2=AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB=90°.∵∠AOD=30°，∴∠BOD=60°，∴二号舰的航行方向是南偏东60°.
7.B 设直角三角形的一直角边长为x，另一直角边长为y，由题意可得x+y=24
-11=13，∴（x+y）2=132①.由勾股定理可得x2+y2=112②.由①-②，得2xy=48，∴xy=24，∴该三角形的面积为xy=×24=12.
8.C 如图，设CD表示该学生的身高，点C到点A的距离为5 m，则CD=1.5 m，AC=5 m.过点C作CE⊥AB于点E.由题意可知，BE=CD=1.5 m，∴AE=AB-BE
=4.5-1.5=3（m）.在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE==4（m），∴BD=CE=4 m，故一个身高1.5 m的学生要走到离门4 m远的地方，灯刚好发光.
9.B 在Rt△ABO中，∠A=90°，AO=2，AB=1，由勾股定理，得OB=
==；在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC===；在Rt△OCD中，由勾股定理，得OD=.按照这个规律，在Rt△OHI中，根据勾股定理，得OI==2.如图，过点H作HM⊥OI于点M，则OI·HM=OH·HI，∴×2×HM=××1，∴HM=，∴点H到OI的距离是.
10.D 如图，由题意得，A'D=0.6 m，BD=0.8 m，∴A'B==
=1（m）.
11.不合格 ∵42+62=52≠72=49，∴这扇纱窗不是长方形，故不合格.
12.等腰直角三角形 由+|a-b|=0得c2-a2-b2=0，且a-b=0，即a2+b2= c2，a=b，∴△ABC是等腰直角三角形.
13.12≤a≤13 如图，设点O是下底面的中心，点A是下底面的边缘上的一点，点B是上底面的中心，当吸管底部在O点时，吸管在罐内部分a的长度最短，此时a的长等于饮料罐的高，即a=12.当吸管底部在A点时，吸管在罐内部分a的长度最长，此时a的长等于线段AB的长.在Rt△ABO中，AB2=AO2+BO2=
52+122=132，∴AB=13，即a=13.综上，a的长度的取值范围是12≤a≤13.
14.101 如图，过点D作DE⊥AB于点E，则DE=10寸.设单门的宽度AO=x寸，则AE=（x-1）寸.根据勾股定理，得AD2=DE2+AE2，即x2=102+（x-1）2，解得x=50.5，∴AB=101寸.
15.4.8 如图，过点A作AF⊥BC于点F，连接AP.在△ABC中，∵AB=AC=5，BC=8，∴BF=4.在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF==3.∵S△ABC=S△ABP
+S△APC，∴×8×3=×5·PD+×5·PE，即12=×5（PD+PE），则PD+PE=4.8.
16.解：（1）∵AB=10，BD=6，AD=8，∴BD2+AD2=62+82=102=AB2，
∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB=90°. （3分）
（2）∵∠ADB=90°，∴∠ADC=90°.
在Rt△ACD中，AC=17，AD=8，∴CD==15. （7分）
17.解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD2=BC2-BD2=172-82=225.
∵CD>0，∴CD=15，∴CE=CD+DE=15+1.6=16.6.
答:风筝的垂直高度CE为16.6米.（3分）
（2）如图，在线段CD上找一点M，使CM=9，则DM=6，连接BM.
在Rt△BDM中，BM===10，则BC-BM=7.
答:他应该往回收线7米.（8分）
18.解：（1）S1+S2=S3 （3分）
设S1，S2，S3对应的直径分别为a，b，c.根据勾股定理，得a2+b2=c2，S1=π（）2=a2，同理可得S2=b2，S3=c2，∴S1+S2=a2+b2=（a2+b2）=c2=S3.
（2）设直角三角形的面积为S4.
∵a=3，c=5，∴b===4，∴S4=ab=×3×4=6，
∴阴影部分的面积为S1+S2+S4-S3=S4=6. （9分）
19.解：（1）如图，延长AC到点M，使CM=AC，连接BM交CD于点O，点O就是所选择的位置.（4分）
（2）如图，连接OA，过点M作MN⊥BD，交BD的延长线于点N.（5分）
在Rt△BMN中，BN=BD+DN=4千米，MN=CD=3千米，
∴MB===5（千米），（7分）
∴最短路线AO+BO=MB=5千米，
∴铺设水管的总费用W=5×20 000=100 000（元）.
答:最省的铺设水管的总费用是100 000元.（9分）
20.证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a.（2分）
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，（5分）
S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b-a），（8分）
∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b-a），∴a2+b2=c2.（10分）
21.解：（1）∵AB=5 cm，BC=3 cm，∠C=90°，∴AC==4（cm）.
由PA=PB，PA=2t cm，可得PB=2t cm，PC=（4-2t）cm.
在Rt△PCB中，PC2+BC2=PB2，即（4-2t）2+32=（2t）2，解得t=，
∴当t=时，PA=PB. （4分）
（2）当点P恰好在∠BAC的平分线上时，如图1.过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP=（7-2t）cm，PE=PC=（2t-4）cm，BE=5-4=1（cm）.
在Rt△BEP中，PE2+BE2=BP2，即（2t-4）2+12=（7-2t）2，解得t=，
∴当t=时，点P恰好在∠BAC的平分线上.（8分）
（3）当t=或5时，△BCP为等腰三角形，且PC≠BC.（12分）
当点P在AC上时，∵△BCP为等腰三角形，∠ACB=90°，且PC≠BC，∴不存在符合题意的点P.
当点P在AB上时，△BCP为等腰三角形，分为以下两种情况:
①当CP=PB时，如图2，过点P作PF⊥BC于点F，∴BF=BC= cm，
易得PB=AB，即2t-3-4=，解得t=.
②当PB=BC时，2t-3-4=3，解得t=5.
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