华师大版九年级上册期中综合能力测评数学卷（含答案）

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2025华师版数学八年级上学期
期中综合能力测评卷
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.16的平方根是（　　）
A.±16 B.±8 C.±4 D.±2
2.若a·2·23=26，则a=（　　）
A.4 B.8 C.16 D.32
3.如图，△ABC≌△DEF，若∠A=100°，∠F=47°，则∠B=（　　）
A.33° B.47° C.53° D.100°
4.下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A.全等三角形的周长相等 B.对顶角相等
C.直角三角形的两个锐角互余 D.如果a=b，那么a2=b2
5.下列因式分解正确的是（　　）
A.x2-y2=（x-y）2 B.-x2-2xy-y2=-（x+y）2
C.x2-2xy+4y2=（x-2y）2 D.-x2-y2=-（x+y）（x-y）
6.计算：22 022×（-）2 023的结果是（　　）
A.2 B.-2 C. D.-
7.如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，已知△BCD与△ABC全等，且点D不与点A重合，则符合条件的点D有（　　）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.若m<-1A.1 B.2 C.3 D.4
9.在△ABC中，若三边长a，b，c满足a2+2ab+b2=c2+24，a+b-c=4，则△ABC的周长是（ ）
A.12 B.16 C.8 D.6
10.如图，C为线段AE上的一个动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.以下结论错误的是（　　）
A.AD=BE B.AP=BQ C.PQ∥AE D.∠AOB=50°
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.如图，已知∠B=∠D=90°，添加一个条件（不添加辅助线）　　　　　　　　，可使△ABC≌△ADC.
12.若x3=64，则=　　　　.
13.若x+y=2，xy=-3，则x2y+xy2的值为　　　　.
14.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为　　　　.
15.小青和小红分别计算同一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b），小青由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2-13x+6，小红由于抄错了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2-x-6，则这道题的正确结果是　　　　　　.
三、解答题（共75分）
16.计算：
（1）（4分）-|2-|-. （2）（4分）（-2a4）3b3÷2a8b2.
17.（6分）先化简，再求值：[（5m-n）2-（5m+n）（5m-n）]÷2n，其中m=-，n=2 022.
18.（8分）已知A=表示A是a+b-2的立方根，B=a-2b是9的算术平方根，求A+B的平方根.
19.（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AF是∠BAD的平分线.
（1）尺规作图：过点F作AB的垂线，垂足为E，并延长EF交AD的延长线于点G.
（2）求证：BF=FG.
20.（10分）某公司门前有一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地，要在空地上铺地砖.如图所示，空白的甲、乙两个正方形区域是建筑物，不需要铺地砖.已知两正方形区域的边长均为（a+b）米.
（1）求铺地砖的面积是多少.
（2）当a=2，b=3时，需要铺地砖的面积是多少
21.（11分）如图1，已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC作垂线，垂足分别为点E，F.
（1）试分析当点D在BC的什么位置时，DE=DF，并说明理由.
（2）如图2，过点C作AB边上的高CG，试猜想DE，DF，CG之间存在怎样的数量关系，并说明理由.
22.（12分） 【阅读材料】把x4+4分解因式.
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲·热门发现：该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，再将4x2减去，即x4+4=x4+4x2+4-4x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2+2x+2）（x2-2x+2）.人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”.
【知识应用】利用“热门定理”把m4+64分解因式.
【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方式，用的是“添项”的方法.对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方式进行分解.请用“添项”的方法把a2-4am-n2+4mn分解因式.
【知识融会】构造完全平方式的方法比较多，还有“拆项”的方法，把某一项拆成两项的和，分别与其他项构造完全平方式.已知x2+4x+y2-6y+13=0，求xy的值.
23.（12分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，点A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF.
（1）若AB=AC，∠BAC=90°.
①当点D在线段BC上时（不与点B重合），试探究CF和BD的数量关系与位置关系.
②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立 请在图2中画出相应的图形，并说明理由.
（2）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，当点D在线段BC上时（不与点B重合），试探究CF与BC的位置关系.
参考答案与解析
1.C
2.A　
3.A　
4.C　选项A中的逆命题为“周长相等的两个三角形全等”，此逆命题为假命题；选项B中的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题；选项C中的逆命题为“有两个锐角互余的三角形为直角三角形”，此逆命题为真命题；选项D中的逆命题为“如果a2=b2，那么a=b”，此逆命题为假命题.
5.B　x2-y2=（x-y）（x+y），故A选项错误；-x2-2xy-y2=-（x+y）2，故B选项正确；x2-2xy+4y2无法因式分解，故C选项错误；-x2-y2无法因式分解，故D选项错误.
6.D　22 022×（-）2 023=22 022×（-）2 022×（-）=（-2×）2 022×（-）=-.
7.D
8.C　∵2<<3，∴1<-1<2.∵m<-19.D　∵a2+2ab+b2=c2+24，∴（a+b）2-c2=24，∴（a+b+c）（a+b-c）=24.∵a+b-c=4，∴a+b+c=24÷4=6.
10.D　∵△ABC和△DCE为等边三角形，∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=
∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∵AC=BC，∠
ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，故A中结论正确.∵△
ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD=∠CBE.∵∠ACB=∠ECD=60°，∴∠BCQ=
180°-60°×2=60°，∴∠ACB=∠BCQ=60°.在△ACP和△BCQ中，∵∠CAP=∠CBQ，AC=BC，∠ACP=∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴AP=BQ，故B中结论正确.∵
△ACP≌△BCQ（已证），∴PC=QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ=60°，∴∠ACB=∠CPQ，∴PQ∥AE，故C中结论正确.∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD
=60°.∵∠EDC=∠BCD=60°，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC
+∠BEC=∠DEO+∠BEC=∠DEC=60°，故D中结论错误.
11.AB=AD（答案不唯一，BC=DC，∠BAC=∠DAC等）　
12.2　∵x3=64，∴x=4，∴==2.
13.-6　∵x+y=2，xy=-3，∴x2y+xy2=xy（x+y）=-3×2=-6.
14.10 如图，连接AD，∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC·AD=×4×AD=16，解得 AD=8.∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM周长的最小值=（CM+MD）最小值+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10.
15.6x2+5x-6　根据题意可知小青由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2-13x+6，那么（2x-a）（3x+b）=6x2+（2b-3a）x-ab=6x2-13x+6，可得2b-3a=-13　①.小红由于抄错了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2-x-6，那么（2x+a）（x+b）=2x2+（2b+a）x+ab=2x2-x-6，可得2b+a=-1　②.解①②组成的方程组，可得∴（2x+a）（3x+b）=6x2+（2b+3a）x+ab=6x2+5x-6.
16.解：（1）原式=2-（2-）-=2-2+-=0.（4分）
（2）原式=-8a12b3÷2a8b2=（-8÷2）（a12÷a8）（b3÷b2）=-4a4b.（4分）
17.解：原式=（25m2-10mn+n2-25m2+n2）÷2n=（-10mn+2n2）÷2n=-5m+n. （3分）
当m=-，n=2 022时，原式=-5×（-）+2 022=1+2 022=2 023.（6分）
18.解：由题意得解得∴A==1，B=3，
∴A+B=1+3=4，（6分）
∴A+B的平方根是±2.（8分）
19.（1）解：作图如下.
（3分）
（2）证明：∵AD⊥BC，AB⊥FE，∴∠BEF=∠FDG=90°.
∵∠BFE=∠DFG，∴∠B=∠G.
∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠GAF.
在△BAF和△GAF中，
∴△BAF≌△GAF（A.A.S.），∴BF=FG. （8分）
20.解：（1）根据题意得，铺地砖的面积为（6a+2b）（4a+2b）-2（a+b）2
=24a2+20ab+4b2-2a2-4ab-2b2=22a2+16ab+2b2.
答:铺地砖的面积为（22a2+16ab+2b2）米2.（5分）
（2）当a=2，b=3时，原式=22×22+16×2×3+2×32=202.
答:当a=2，b=3时，需要铺地砖的面积是202米2.（10分）
21.解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF.理由如下：（2分）
∵D为BC的中点，∴BD=CD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°.
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD（A.A.S.），∴DE=DF.（6分）
（2）CG=DE+DF.理由如下：（8分）
如图，连接AD，∵S△ABC=S△ADB+S△ADC，∴AB·CG=AB·DE+AC·DF.
∵AB=AC，∴CG=DE+DF.（11分）
22.解：【知识应用】
m4+64=m4+64+16m2-16m2=（m2+8）2-（4m）2=（m2+4m+8）（m2-4m+8）.
（3分）
【知识迁移】
a2-4am-n2+4mn=a2-4am+4m2-4m2-n2+4mn=（a2-4am+4m2）-（4m2+n2-4mn）=（a-2m）2-（2m-n）2=（a-2m+2m-n）（a-2m-2m+n）=（a-n）（a-4m+n）. （8分）
【知识融会】
∵x2+4x+y2-6y+13=0，∴x2+4x+4+y2-6y+9=0，∴（x+2）2+（y-3）2=0.
∵（x+2）2≥0，（y-3）2≥0，∴x+2=0，y-3=0，
解得x=-2，y=3，∴xy=-6. （12分）
23.解：（1）①∵∠FAD=∠CAB=90°，∴∠FAC=∠DAB.
又FA=DA，CA=BA，∴△FAC≌△DAB，（2分）
∴CF=BD，∠FCA=∠DBA，∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°，
即CF⊥CB，∴CF=BD，且CF⊥BD. （5分）
② ①中的结论仍然成立. （6分）
如图1.理由：∵∠FAD=∠CAB=90°，∴∠FAC=∠DAB. （7分）
又FA=DA，CA=BA，∴△FAC≌△DAB，∴CF=BD，∠FCA=∠DBA，
∴∠FCB=∠FCA+∠ACB=∠DBA+∠ACB=90°，
即CF⊥CB，∴CF=BD，且CF⊥BD. （8分）
（2）如图2，过点A作AB'⊥AC交BC于点B'.
则△CAB'为等腰直角三角形. （10分）
由（1）中①得CF⊥CB'，∴CF⊥BC.（12分）
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