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第十三《轴对称》单元复习题
选择题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线y=x对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
3．如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,则AB,AC,CE的长度关系为（ ）
A．AB>AC=CE B．AB=AC>CE
C．AB>AC>CE D．AB=AC=CE
△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°
则此等腰三角形的顶角为（ ）
A．50° B．60° C．130° D．50°或130°
如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，
连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20° B．60° C．50° D．40°
7．如图所示,△ABC中,AB=AC,∠EBD=20°,AD=DE=EB,则∠C的度数为（ ）
A．70° B．60° C．80° D．65°
如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，
将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
如图，已知是等边三角形，点、，、在同一直线上，且，，
则∠E =（ ）
A． B． C． D．
10．如图，等腰的底边的长为6，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知点关于x轴的对称点为，则 ．
如图，已知等腰三角形，，，若以点B为圆心，长为半径画弧，
则 ．
13．如图，在中，，， ，且、若，则 ．
14．如图，在中，，，平分的外角，则 ．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，
若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ．
如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N，
若△PMN的周长=8厘米，则CD为 厘米
如图，在中，，，
请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是 °．
如图所示，是一钢架，且，为了使钢架更加坚固，
需在其内部添加一些钢管，，…，添加的钢管长度都与相等，
则最多能添加这样的钢管 根．
三、解答题
19．如图，在直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于轴对称的图形；
(2)写出点，，的坐标；
(3)求的面积．
20．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求证：AB=AC．
21．如图，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E．
（1）求证：DE=CE．
（2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数．
22．如图所示,在△ABC 中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F.
(1)若∠ABC=40°,∠ACB=60°,求∠BOE+∠COF的度数;
(2)若△AEF的周长为8 cm,且BC=4 cm,求△ABC的周长.
23．如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发(点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合)，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
24．如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．
(1)如图，的周长为，求的长．
(2)求，，求的度数．
25．已知：如图，点C为线段上一点，，都是等边三角形，，，，交于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：．
26 .如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，
过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．
（1）若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？
（2）若P为线段BC上任意一点，则（1）中关系还成立吗？
（3）若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．
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第十三《轴对称》单元复习题《解析版》
选择题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．
【详解】根据轴对称图形的概念，可知：选项A中的图形不是轴对称图形．
故选A．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线y=x对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
【答案】C
【分析】作出图形，过点P作y轴的垂线与直线y=x相交，再过交点作x轴的垂线，然后根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等求解即可．
【详解】解：如图所示，点P（-3，2）关于直线y=x对称点的坐标是（2，-3）．
故选：C．
3．如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,则AB,AC,CE的长度关系为（ ）
A．AB>AC=CE B．AB=AC>CE
C．AB>AC>CE D．AB=AC=CE
【答案】D
【分析】因为AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得AB=AC=CE；
【详解】∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AB=AC；
又∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=EC，
∴AB=AC=CE；
故选D.
△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°
则此等腰三角形的顶角为（ ）
A．50° B．60° C．130° D．50°或130°
【答案】D
【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答．
【详解】（1）当AB的垂直平分线DE与AC相交时，则∠ADE=40°，
∴∠A＝90° 40°＝50°，
（2）当AB的垂直平分线DE与CA的延长线相交时，则∠ADE=40°，
∴∠DAB＝90° 40°＝50°，
∴∠A＝130°，
故选D．
如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，
连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，然后求周长即可．
【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴AD=BD，
∵AC=3，BC=4
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+BC=7．
故选A．
6．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【分析】由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，进而可得∠PAQ的大小．
【详解】∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴BP=AP，AQ=CQ，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°．
故选D．
7．如图所示,△ABC中,AB=AC,∠EBD=20°,AD=DE=EB,则∠C的度数为（ ）
A．70° B．60° C．80° D．65°
【答案】A
【分析】首先根据等腰三角形的性质求出∠EBD=∠EDB=20°，∠A=∠AED，然后根据三角形的内角和定理可求解．
【详解】解：∵∠EBD=20°，AD=DE=EB．
∴∠EBD=∠EDB=20°，∠A=∠AED．
∵∠AED=∠EBD+∠EDB=40°，
∴∠A=40°．
∵AB=AC，
∴
故选A．
如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，
将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．
【详解】当，，，，
可得，，，为含有边长为3的等腰三角形．
故选C．
如图，已知是等边三角形，点、，、在同一直线上，且，，
则∠E =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于△ABC是等边三角形，那么∠B＝∠1＝60°，而CD＝CG，那么∠CGD＝∠2，而∠1是△CDG的外角，可得∠1＝2∠2，同理有∠2＝2∠E，等量代换有4∠E＝60°，解即可求∠E．
【详解】如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠1＝60°，
∵CD＝CG，
∴∠CGD＝∠2，
∴∠1＝2∠2，
同理有∠2＝2∠E，
∴4∠E＝60°，
∴∠E＝15°．
故选C．
10．如图，等腰的底边的长为6，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】连接，，先求出，是线段的垂直平分线，求出，的长为的最小值，即可求出周长最小值．
【详解】如图，连接，．
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，解得．
∵是线段的垂直平分线，
∴点A关于直线的对称点为点C，，
∴，
∴的长为的最小值，
∴的周长．
故选：C．
二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知点关于x轴的对称点为，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键，
关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变，即可得出答案．
【详解】解：点关于x轴的对称点为，
，
，
故答案为：．
如图，已知等腰三角形，，，若以点B为圆心，长为半径画弧，
则 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先根据等边对等角求出底角，再根据，求出，问题即可得解．
【详解】解：∵，，
∴．
∵以点B为圆心，长为半径画弧，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
13．如图，在中，，， ，且、若，则 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了含的直角三角形的性质，熟悉角所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键．由、得，得，故由求解即可．
【详解】，，
，
，
，
．
．
故答案为：3
14．如图，在中，，，平分的外角，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质推出，根据三角形外角性质得到，根据角平分线定义求解即可．
【详解】解：，，
，
，
平分的外角，
，
故答案为：．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，
若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ．
【答案】2
【详解】∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°．
∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．
又AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°．
∴Rt△DBE中，BE=2DE=2．
如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N，
若△PMN的周长=8厘米，则CD为 厘米
【答案】8
【分析】根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知．
【详解】解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
故有MP=MC，NP=ND；
则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=8cm．
故答案为8．
如图，在中，，，
请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是 °．
【答案】
【分析】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．
由作图得：垂直平分，平分，再根据线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和求解．
【详解】解：由作图得：垂直平分，平分，
，
，
，
，
，
故答案为∶．
如图所示，是一钢架，且，为了使钢架更加坚固，
需在其内部添加一些钢管，，…，添加的钢管长度都与相等，
则最多能添加这样的钢管 根．
【答案】8
【分析】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
【详解】∵添加的钢管长度都与相等，，
∴，
从图中我们会发现有好几个等腰三角形，
即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，第四个是，第五个是，第六个是，第七个是，第八个是，第九个是就不存在了．
所以一共有8个．
故答案为：8．
三、解答题
19．如图，在直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于轴对称的图形；
(2)写出点，，的坐标；
(3)求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）从三角形的三边向轴作垂线，并延长相同的距离找到三点的对称点，顺次连接；
（2）从图形中找出点，，，并写出它们的坐标即可；
（3）利用割补法求的面积即可．
【详解】（1）解：△A1B1C1如图所示．
（2）由图形可知，；
（3）．
20．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求证：AB=AC．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2．
∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C．
∴∠B=∠C．∴AB=AC．
根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C，从而得到∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证
21．如图，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E．
（1）求证：DE=CE．
（2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数．
【答案】(1)见解析;(2) 40°.
【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠BCD=∠ECD，由DE∥BC可得出∠EDC=∠BCD，进而可得出∠EDC=∠ECD，再利用等角对等边即可证出DE=CE；
（2）由（1）可得出∠ECD=∠EDC=35°，进而可得出∠ACB=2∠ECD=70°，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数．
【详解】（1）∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD．
∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE．
（2）∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．
22．如图所示,在△ABC 中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F.
(1)若∠ABC=40°,∠ACB=60°,求∠BOE+∠COF的度数;
(2)若△AEF的周长为8 cm,且BC=4 cm,求△ABC的周长.
【答案】（1）∠BOE+∠COF=50°；（2）12cm.
【分析】（1）两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得到 从而求得∠BOE+∠COF的度数.
（2）根据,可得△FOC、△EOB均为等腰三角形，由此把△AEF的周长转化为AC+AB，进而可得到△ABC的周长．
【详解】解:(1)∵EF∥BC,
∴∠OCB=∠COF,∠OBC=∠BOE.
又∵BO,CO分别是∠BAC和∠ACB的角平分线,
∴∠COF=∠FCO=∠ACB=30°,∠BOE=∠OBE=∠ABC=20°.
∴∠BOE+∠COF=50°.
(2)∵∠COF=∠FCO,∴OF=CF.
∵∠BOE=∠OBE,∴OE=BE.
∴△AEF的周长=AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=8 cm.
∴△ABC的周长=8+4=12(cm).
23．如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发(点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合)，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【答案】当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
【分析】分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
【详解】根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=BP，
即t=（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=BQ，
∴3-t=t，
∴t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
24．如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．
(1)如图，的周长为，求的长．
(2)求，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查垂直平分线的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形内角和．
（1）根据垂直平分线的性质，则，，再根据的周长为，则，即可；
（2）根据题意，对顶角相等，则，根据垂直平分线的性质，则，根据三角形的内角和，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，即可．
【详解】（1）∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．已知：如图，点C为线段上一点，，都是等边三角形，，，，交于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质，运用原理证明即可；
（2）根据等边三角形的性质，运用原理证明即可．
【详解】（1）∵，都是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，
过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．
（1）若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？
（2）若P为线段BC上任意一点，则（1）中关系还成立吗？
（3）若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．
【答案】（1）CD＝PE+PF，理由详见解析；（2）成立，理由详见解析；（3）PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD．
【分析】（1）如图1，连接PA，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（2）连接PA，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）如图2和图3，连接PA，根据三角形的面积列方程即可得到结论．
【详解】（1）CD＝PE+PF．理由如下：
如图1，连接PA．
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．
又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．
∵AB＝AC，∴CD＝PE+PF．
（2）成立，理由如下：
连接PA．
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．
又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．
∵AB＝AC，∴CD＝PE+PF．
（3）结论：PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD．理由如下：
如图2，连接PA．
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．
又∵S△ABC＝S△PAC﹣S△PAB，∴AB×CDAC×PFAB×PE．
∵AB＝AC，∴CD＝PF﹣PE．
如图3，连接PA．
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．
又∵S△ABC＝S△PAB﹣S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．
∵AB＝AC，∴CD＝PE﹣PF．
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