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第十三章《轴对称》单元复习与检测试卷
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．点P(3，-5)关于y轴对称点的坐标是 ( )
A．(-3，-5) B．(-3，5) C．(3，-5) D．(5，3)
2．下面图形中，是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
3．如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是 ( )
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为 ( )
A．30° B．50° C．90° D．100°
5．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的 ( )
A．∠A=50°，∠B=60° B．∠A=50°，∠B=100°
C．∠A+∠B=90° D．∠A+∠B=90°
如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，
作直线，交于点D，连接．若的周长为，，则的周长为 ( )
A．7 B． C． D．
如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行，
△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为 ( )
A．8 B．4 C．32 D．16
8．如图，，，则等于 ( )
A． B． C． D．
9 .如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，
点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，
当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 ( )秒
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,
点B在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下,这样剪得的△ADH中 ( )
A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD
填空题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
11．已知等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长是 ．
12 .如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，
若，，则的长为 ．
在中，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，
作射线，交于点D，则的值为 ．
如图，一条笔直的公路经过处和公园，现要进一步开发景区，
经测量，景区位于处的北偏东方向上、位于公园的北偏东方向上，且，
则公园与景区的距离为 ．
15．如图，在中，，D为上一点，且，，则 度
16.如图的4×4的正方形网格中，有A、B、C、D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，
则点P应选 点（C或D）．
17 .如图：在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，
DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 ；
18．如图，内一点，、分别是点关于、的对称点，交于，交于，若，则的周长是 ．
19．如图，，则 ．
如图，在中，，动点以的速度从向移动，
（不与重合），动点以的速度从向移动，（不与重合），
现同时出发，则经过 秒后，是等腰三角形．
三、解答题（本大题共有6个小题，共40分）
21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC；
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC；
(3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．
22．已知AB=AC，BD=DC，AE平分∠FAB，问：AE与AD是否垂直？为什么？
如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，连接，DE，且．
若，求的度数．
如图，已知为等腰直角三角形，，F为延长线上一点，点E在上，且．
求证：是等腰直角三角形．
25．(1)如图①,在△ABC中,已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F.请写出图中的等腰三角形,并找出EF与BE、CF间的关系;
(2) 如图②中∠ABC的平分线与三角形ABC的外角∠ACG的平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有等腰三角形吗 如果有,请写出来.EF与BE、CF间的关系如何 请说明理由.
26．如图，已知中，厘米，厘米，厘米．
（1）如果点在线段上以3厘米每秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，1秒钟时，与是否全等，请说明理由；
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，点运动到的中点时，如果，此时点的运动速度为多少．
（2）若点以（1）②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？
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第十三章《轴对称》单元复习与检测试卷《解析版》
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．点P(3，-5)关于y轴对称点的坐标是 ( )
A．(-3，-5) B．(-3，5) C．(3，-5) D．(5，3)
【答案】A
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标的特点即可得出答案．
【详解】解：由平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标相反数，纵坐标不变，
可得：点P(3，-5)关于y轴的对称点的坐标是（-3，-5）．
故答案选：A．
2．下面图形中，是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图形不是轴对称图形，不符合题意；
B中图形是轴对称图形，符合题意；
C中图形不是轴对称图形，不符合题意；
D中图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
3．如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是 ( )
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】可依据题意线作出图形，结合图形利用平行线的性质和角平分线的定义可得∠B=∠A，利用“等角对等边”可得其为等腰三角形．
【详解】解：如图，
DC平分∠ACE，且AB∥CD，
∴∠ACD=∠DCE，∠A=∠ACD，∠B=∠DCE，
∴∠B=∠A，
∴△ABC为等腰三角形．
故选B．
4．如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为 ( )
A．30° B．50° C．90° D．100°
【答案】D
【详解】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°，
∴∠B=180°﹣80°=100°．
故选D．
5．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的 ( )
A．∠A=50°，∠B=60° B．∠A=50°，∠B=100°
C．∠A+∠B=90° D．∠A+∠B=90°
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和是180°结合选项中的条件能够证得有两个角相等即为等腰三角形．
【详解】解：A、∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
B、∵∠A=50°，∠B=100°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=30°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
C、∠A+∠B=90°不能判定△ABC是等腰三角形；
D、∠A+∠B=90°，
则2∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠C，
所以△ABC是等腰三角形．
故选D．
如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，
作直线，交于点D，连接．若的周长为，，则的周长为 ( )
A．7 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意得是的垂直平分线，即，根据的周长为得，即可得．
【详解】
解：∵在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴的周长为：，
故选：C．
如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行，
△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为 ( )
A．8 B．4 C．32 D．16
【答案】A
【详解】解:∵MN与BC平行，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴BM=OM,ON=CN,
∵△AMN的周长为12，
∴AM+MN+AN=AM+BM+AN+NC=12，
即AB+AC=12，
又因为△ABC的周长为20，
即AB+AC+BC=20，
所以BC=20-12=8，
故选A
8．如图，，，则等于 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质，逐步推出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选D．
9 .如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，
点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，
当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 ( )秒
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】D
【分析】设运动时间为x秒时，AP＝AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设运动的时间为x秒，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x，
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4
故选：D．
如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,
点B在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下,这样剪得的△ADH中 ( )
A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD
【答案】B
【分析】翻折后的图形与翻折前的图形是全等图形,利用折叠的性质,正方形的性质,以及图形的对称性特点解题．
【详解】解：由图形的对称性可知:AB=AH,CD=DH,
∵正方形ABCD,
∴AB=CD=AD,
∴AH=DH=AD．
故选B．
填空题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
11．已知等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，在没有说明底和腰的情况下要注意分类讨论并注意判断是否构成三角形．分情况讨论：腰长为，底为；腰长，底为，先判断是否构成三角形，再计算周长即可．
【详解】解：当腰长为，底为，能构成三角形，周长为：；
当腰长为，底为，，不能构成三角形，舍去，
故答案为：19．
12 .如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，
若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴
又，，
∴，
∴，
故答案为：．
在中，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，
作射线，交于点D，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，过D点作于H点，由角平分线的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，据此可得答案．
【详解】解：如图，过D点作于H点，
由题中作法得平分，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
如图，一条笔直的公路经过处和公园，现要进一步开发景区，
经测量，景区位于处的北偏东方向上、位于公园的北偏东方向上，且，
则公园与景区的距离为 ．
【答案】/16千米
【分析】本题考查了方向角问题，等角对等边；根据题意可得：，，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，即可解答
【详解】解：如图：
由题意得：，，
是的一个外角，
，
，
公园与景区的距离为
故答案为：．
15．如图，在中，，D为上一点，且，，则 度
【答案】
【分析】先设，由可知，，由可知，由三角形外角的性质可知，根据可知，再在中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值即可．
【详解】设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
解得．
∴．
故答案为：36
16.如图的4×4的正方形网格中，有A、B、C、D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，
则点P应选 点（C或D）．
【答案】C
【分析】先作出其中一点关于直线a的对称点，对称点与另一点的连线与直线a的交点就是所要找的点．首先求得点A关于直线a的对称点A′，连接A′B，即可求得答案．
【详解】解：如图，点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，
∵A′B与直线a交于点C，
∴点P应选C点．
故答案为C．
17 .如图：在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，
DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 ；
【答案】4.5
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，再根据等角对等边求出AD=DF，然后求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【详解】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°，
∵DF∥AB，
∴∠F=∠BAE=30°，
∴∠DAE=∠F=30°，
∴AD=DF，
∵∠B=90°-60°=30°，
∴AD=AB=×9=4.5，
∴DF=4.5．
18．如图，内一点，、分别是点关于、的对称点，交于，交于，若，则的周长是 ．
【答案】/5厘米
【分析】根据轴对称的性质得到，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵P与关于对称，
∴，
同理，P与关于对称，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
19．如图，，则 ．
【答案】60°
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【详解】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC）=180°-60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°，
∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED）=180°-90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°，
∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFC）=180°-120°=60°．
故答案为：60°．
如图，在中，，动点以的速度从向移动，
（不与重合），动点以的速度从向移动，（不与重合），
现同时出发，则经过 秒后，是等腰三角形．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等腰三角形的定义；可用表示出，，，由于，当是等腰三角形，则只有一种可能，据此列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设秒后是等腰三角形，则，，，
解得：
故答案为：．
三、解答题（本大题共有6个小题，共40分）
21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC；
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC；
(3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．
【答案】（1）图形见解析；
（2）图形见解析；
（3）图形见解析，点P的坐标为：（2，0）
【分析】（1）按题目的要求平移就可以了；
（2）关于原点对称的点的坐标变化是∶横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可．
（3）AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直线一侧的两点，在直线上找一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与另一点．
【详解】
（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）作A点关于x轴的对称点A＇（1，-1），然后连接对称点与B点，
则BA＇的解析式为，
当时，．
∴△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）．
22．已知AB=AC，BD=DC，AE平分∠FAB，问：AE与AD是否垂直？为什么？
【答案】AE⊥AD.
【分析】根据等腰三角形的性质可知，∠1=∠2，∠B=∠C，由三角形外角平分线的性质可知∠3=∠C，AE∥BC，由平行线的性质可知AE⊥AD．
【详解】AE⊥AD
理由如下：如图，
∵AB=AC，CD=BD，
∴∠1=∠2，∠B=∠C，AD⊥BC，
又∵AE是△ABC的外角平分线，
∴∠3=∠4=（∠B+∠C）=∠C，
∴AE∥BC，∠DAE+∠ADB=180°，
又∵AD⊥BC，
∴∠DAE=∠ADC=90°．
∴AE⊥AD．
如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，连接，DE，且．
若，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，三角形内角和定理，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再证明是的垂直平分线，得到，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵D是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
如图，已知为等腰直角三角形，，F为延长线上一点，点E在上，且．
求证：是等腰直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，再证明，再结合全等三角形的性质，从而可得结论．
【详解】证明：为等腰直角三角形，且
在与中，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形．
25．(1)如图①,在△ABC中,已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F.请写出图中的等腰三角形,并找出EF与BE、CF间的关系;
(2) 如图②中∠ABC的平分线与三角形ABC的外角∠ACG的平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有等腰三角形吗 如果有,请写出来.EF与BE、CF间的关系如何 请说明理由.
【答案】(1)等腰三角形有△EBO和△CFO,EF=BE+CF；(2)有等腰三角形,它们分别是△EBO和△CFO.EF=BE-CF.理由见解析.
【分析】（1）由EF∥BC可得∠EOB=∠OBC，由OB平分∠ABC可得∠EBO=∠OBC，由此得到∠EOB=∠EBO，然后即可证明△BEO是等腰三角形，同理可证：△CFO是等腰三角形；根据等腰三角形的性质求得OE=EB，OF=FC，从而证得EF=BE+FC；
（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质进行角之间的等量代换，根据等边对等角，发现两个等腰三角形：△BOE和△COF，即可得出所求的结论．
【详解】(1)等腰三角形有△EBO和△CFO,EF=BE+CF.
(2)有等腰三角形,它们分别是△EBO和△CFO.
EF=BE-CF.
理由:∵BO平分∠ABC,
∴∠ABO=∠OBC.
∵OE∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,
∴∠EOB=∠EBO,
∴BE=EO.
同理,CF=OF,
∵EO=EF+OF,
∴EF=EO-OF=BE-CF.
26．如图，已知中，厘米，厘米，厘米．
（1）如果点在线段上以3厘米每秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，1秒钟时，与是否全等，请说明理由；
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，点运动到的中点时，如果，此时点的运动速度为多少．
（2）若点以（1）②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？
【答案】（1）①全等，理由见解析；②4厘米/秒；（2）经过了24秒，点P与点Q一次在BC边上相遇
【分析】（1）①先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再根据SAS即可证明．
②若△BPD≌△CPQ，只能是CQ=BD=6，根据速度，时间之间的关系解决问题即可．
（2）因为Q的速度大于P的速度，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设经过x秒后P与Q第一次相遇，构建方程即可解决问题．
【详解】解：（1）①∵t=1（秒），
∴BP=CQ=3厘米，
∵AB=12厘米，D为AB的中点，
∴BD=6厘米，
又∵PC=BC-BP=9-3=6（厘米），
∴PC=BD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD与△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵P的速度不等于Q的速度，
∴BP≠CQ，
∵P是BC的中点，
∴BP=CP=4.5厘米，
∵∠B=∠C，
若△BPD≌△CPQ，则CQ=BD=6厘米，
点P的运动时间（秒），
此时Q的运动速度是（厘米/秒）．
（2）因为Q的速度大于P的速度，只能是点Q追上点P，
即点Q比点P多走AB+AC的路程，
设经过x秒后P与Q第一次相遇．
依题意得4x=3x+2×12，
解得x=24（秒），
此时P运动了24×3=72（厘米），
又因为△ABC的周长为33厘米，72=33×2+6，
点P，Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q一次在BC边上相遇．
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