教学设计
一、?本章研究的问题是三角函数，函数的研究离不开平面直角坐标系，这在第一节中已经有所感受。现在请你回忆初中学过的锐角三角函数的定义，并思考一个问题：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？
（设计意图：将已有知识坐标化,分化难点。用新的观点再认识学生的已有知识经验，发挥其正迁移作用，同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系，使知识有一个熟悉的起点，扎实的固着点。）
预计的回答：学生可以回忆出初中学过的锐角三角函数的定义，但是在用坐标语言表述时可能会出现困难——即使将角置于坐标系中但是仍然习惯用三角形边的比值表示锐角三角函数，需要教师引导学生将之转换为用终边上的点的坐标表示锐角三角函数。
解答过程：
再现锐角三角函数的定义：如图1，在中，∠C是直角，那么的三角函数是？。
?
二、坐标化：（1）如图2，建立平面直角坐标系中锐角，设点P的坐标为（x，y），那么，于是。
图2
(2)当角不在第一象限时如图3角是第二象限的角，在终边上取点A，使线段OA=1，点A的坐标为（m,n），在终边上任取点P的坐标为（x，y），令那么由两个直角三角形相似可得
又因为点A与点P在同一象限内，所以上式中可以去掉绝对值，等式仍成立，即有
，点A在角终边上，只要角确定点A就确定，即点A的坐标确定，即三个比值确定，即三个比值只依赖于角而确定，这样我们就给出三角函数的定义：，，
图3
依据：三角形相似，比值与具体的点的位置没有关系。
问题2：上述定义是借助于三角形相似，利用角的终边上的任意点与定点坐标给出的，它可以推广到任意角的三角函数，请你写出任意角的三角函数的定义。分小组分别写出角α的终边位于第三、四象限和x轴、y轴上时的三角函数。
（设计意图：具体认识任意角的三角函数，突现本课时的研究重点。如果问题太一般化，如设计为：上述定义可以推广到任意角的三角函数，请写出任意角的三角函数的定义。那么学生不知道“上述定义”是指哪个，而且不明白任意角该如何取。所以在问题设计中再次强调要借助于单位圆，利用坐标，限定学生的思维，以免太发散。再者在一般要求“写出任意角的三角函数”之后，又提出具体的活动方式：分小组针对不同位置的角分别写出其三角函数。这样将问题具体化，学生容易着手解决。写出定义的过程也是巩固推广的过程，而且这样做尽可能避免出现学生用计算器算cosπ的现象。）
活动形式：由学生分组独立完成之后再展示交流，形成具体而全面的认识。学生可能会在写出任意角的三角函数的定义时出现困难，教师的帮助不要具体，而是在思维上引导——用坐标表示，并引导学生正确认识三角函数的定义域。
?（结论：无论角爱那个象限或在坐标轴上三个三角函数定义是一样的都是如上式，不过当角在Y 轴上时正切无意义）
三、根据上述过程，你能写出三角函数的定义域吗？你能用函数的定义对三角函数进行分析吗？
（设计意图：顺势而为形成定义，并将三角函数的定义进行同化，通过这样的活动强化学生对任意角三角函数定义的理解，达到对概念的初步精致。）
预计的困难：学生对三角函数的自变量认识可能会存在问题。
教师的引导：引导学生利用单位圆的几何意义解释正弦、余弦的值域。
预计的答案：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）。
例1、 求的正弦、余弦和正切值。
（设计意图：巩固对定义的理解。）
分析：根据定义求解，先利用锐角三角函数知识求出点P的坐标，再根据定义求解。
解：如图5，可知在RTΔOPC中，∠OPC=30o，所以OC=，CP=，所以点P的坐标是。
根据定义可得：
例2、已知角的终边经过点P（2，-3），求，，
（设计意图：巩固对定义的理解。）
分析：根据定义求解，先利用两点之间的距离公式知识求出r的值，再根据定义求解，简单的计算，学生可独立完成。
解： 因为：
所以根据定义可得：，，
跟踪练习：?已知角α的终边经过点P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值。
（设计意图：通过问题的转化，进一步加深对定义的理解。）
分析：通过相似求出角α的终边与单位圆的交点坐标，之后再根据定义求解。
解：如图6，由已知可得： |OP0|=。
设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）,分别过点P和P0作x轴的垂线MP，M 0P0，则
又|OP|=1，
根据∽Δ，可得，即，
所以，。
所以。
（说明：上述书写过程基本与例1统一，这样可以将该题目的求解思路同化，降低学习难度。）
四、通过本课时的学习你有哪些收获，请从知识、思想方法经验等方面进行小结。此外你还有哪些需要质疑之处。
（设计意图：引导学生小结，并进一步思考。通过质疑引导学生全面认识三角函数，虽然在课堂上不研究其他3个三角函数，但是可以让学生有一个全面的认识，培养思维的严谨性。通过三角函数定义的一般化，引导学生用辩证的观点认识事物，理解三角函数。）
小结：知识：（略）；
? 思想方法：（略）；
经验：用函数的观点认识三角函数，用单位圆的几何特征研究三角函数。
拓展1：3个数可以形成6个比值，为什么只对其中的三个比值进行定义和研究，其他3个比值又能对应什么函数呢？有兴趣的同学可以自己查阅资料进行研究。
拓展2：通过求解例2，你能发现还可以怎么定义任意角的三角函数呢？请阅读教材的旁白。这是三角函数定义的等价定义。?
五、以下特殊角的各三角函数值分别是什么？（填好，记牢）
角
弧度
1
（设计意图：在后面的学习中特殊角的各三角函数值是常用的，这里趁热打铁，让学生记住，一并复习了角度制与弧度制的转化）
六、当堂检测：（略）学生独立完成，并说出答案，老师点评
七、整理巩固：对本节课的内容做个整理，知识上的整理，精题本整理等。
（设计意图：巩固本节内容，并检测学生是否掌握，好准备下节课的内容，帮助学生了解自己对本节课知识的掌握情况）
课件17张PPT。任意角的三角函数的定义学习目标1、知识与技能：
理解三角函数的定义，会判断三角函数在各象限的符号；
?2、过程与方法：
通过自主学习、合作交流，探究用三角函数定义求三角函数值的规律和方法；
3、情感、态度与价值观：
激情投入，高效学习，培养严谨认真的思维习惯。【学习重点】
三角函数的定义，明确对应法则和定义域
【学习难点】
通过点的坐标求任意角的三角函数值、判定三角函数值在各个象限的符号
一、复习引入回忆：初中时学过的锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，思考：前面我们将角推广到任意角，那么
任意角的三角函数是什么呢？Ayx(B)二、用坐标的形式表示锐角三角函数1、当角 为锐角时：yX
(x,y)rP二、任意角的三角函数2、当角 为任意角时 yx
(x,y)rPA(m,n)B在角 终边上 取点A（m,n）
使|OA|=1；
在角 终边上任取一点P(x,y)
|OP|= = r
因为A,P在同一象限，故A,P两点的对应坐标符号相同，有图中有两个直角三角形相似不论点P在角的终边上的位置如何，只要角确定，这三个比值都是定值叫做角 的正弦，记作 ，即叫做角 的余弦，记作 ，即叫做角 的正切，记作 ，即定义域：定义域：定义域：例1、已知角 的终边上一点P(2，-3)，求
的值解：因为
所以：三、角 的其他三种三角函数（简单了解）角 的正割：角 的余割：角 的余切：++++++––––––四、思考：依据什么确定三角函数在各象限的符号？
（组内讨论，选出代表回答）（1） 0； 0,； 0.（2）（3）例2、确定下列三角函数值的符号><<一、四象限五、变式提高（记牢）
1.知识方面：
2.数学思想与方法方面：（1）三角函数的定义及各三角函数的定义域（1）数形结合思想
（2）由特殊到一般思想
（3）转化思想（2）各象限角三角函数的符号（3）特殊角的三角函数值课堂小结当堂检测2、若sinα与cosα同号，求α是第几象限角？3、求下面函数定义域第一象限或第象限1、已知角 的终边经过点M（-3，-1）
求 的值整理巩固要求（1）整理巩固出错问题；
（2）总结题型思路；
（3）整理典型题目本。再见!评测练习
1. 确定下列各三角函数值的符号（填<,>号）
（1） 0； (2) 0,； (3) 0.
0； 0
2. （1）如果sin>0, 且 cos<0则是第_____象限的角;
（2）如果 tan>0 ,且cos<0, 则是第_____象限的角.
(3) 已知 则角所在的象限是_________ _____
3、已知点P(3,y)在角的终边上，且满足y<0,,则的值为
已知点在第三象限，则角的终边在第_________象限.
5、若与同号，则是第几象限的角？
6、求函数 的定义域
