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学 科 数学 年 级 九年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第一章
课标要求 1、理解平行四边形，矩形、菱形、正方形的概念，以及它们的关系。2、探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角、对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；正方形的四条边相等，四个角都是直角。3、探索并证明矩形、菱形、正方形的判断定理：三个角是直角的四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、四条边相等的四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正方形具有矩形和菱形的一切性质。
内容分析 本章内容包括：菱形的性质与判断，矩形的性质与判断，正方形的性质与判断。本章在学习平行四边形的基础上研究特殊的平行四边形，通过平行四边形的边角特殊化，研究菱形、矩形、正方形等特殊的平行四边形。认识这些图形的联系与区别，明确它们的内涵与外延，探索菱形、矩形、正方形的性质定理与判断定理，进一步研究命题与逆命题的关系，发展学生的合理推理和演绎推理的能力。菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质定理和判定定理的研究与平行四边形的性质定理和判定定理的研究一脉相承。本章的学习有利于深化对平行四边形的理解，以及对识图画图等操作技能的掌握，丰富学生数学活动经验，促进其良好的数学观的形成。本章渗透归纳、类比、转化等数学思想，注重通过引导探索过程渗透与展现证明的思路，此外还要引导学生探索证明的不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，通过分析、寻求证明思路的能力。
学情分析 特殊的平行四边形（菱形、矩形、正方形）是在学行四边形的基础上进行的，学生对平行四边形有一定的认识，小学也接触到矩形、菱形、正方形的一些简单运用，本章主要学习菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理以及他们的区别和联系，研究过程主要通过中以类比、归纳为主要方法。同时，九年级学生已经具备了总结、归纳的能力，利用课堂中互相评价、互提提问，使课堂的参与度得到提高。
单元目标 （一）教学目标1、经历菱形、矩形、正方形概念的抽象过程，以及他们的性质与判断的探究，猜测与证明的过程，丰富数学活动经验，进一步发展学生的合情推理与演绎推理的能力。2、理解菱形、矩形、正方形的概念，了解他们与平行四边形的关系，进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法，增强发现问题和提出问题的能力，通过自己动手的经历体会图形的变化过程，进一步发展学生的空间观念。3、证明菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理， 并证明其他相关结论。4、探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。5、经历运用数学符号和图形描述命题思维条件和结论过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。6、通过“猜测-总结-证明-运用”的数学活动，提升学科素养。教学重点、难点重点是矩形、菱形、正方形的判断定理和性质定理探究过程及综合运用。难点是矩形、菱形、正方形概念之间的联系与综合运用知识的能力培养。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1菱形的性质12菱形的判断13菱形的面积14矩形的性质15矩形的判断16矩形的综合运用17正方形的性质18正方形的判断19回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务菱形的性质1、通过观察菱形与平形四边形的联系，能说出菱形的概念。2、通过交流讨论，折纸活动，能探索出菱形的性质。3、 通过小组合作，教师点拨，能用综合法证明菱形的性质定理并会简单应用1、回顾旧知。2、欣赏菱形在日常生活中应用的案例。抽象出菱形的定义。3、折纸并思考，猜想菱形的性质，并与同伴交流，得结论：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直。4、极思考，讨论，并在教师点拨下获得证明思路与方法，正确进行书面表达。5、积极思考，讨论，并在教师点拨下获得解题思路与方法，并能够正确的书面表达。环节一：温故知新环节二：探究菱形的性质。环节三：典例分析菱形的判断1、类比平行四边形的学习，使学生经历“实验—猜想—证明—归纳—应用”的数学活动，探索菱形判定定理并解决简单的问题，积累研究问题和解决问题的经验，渗透类比思想。2、通过对菱形判定方法的猜想，发展学生的合情推理能力。 通过菱形判定定理的证明，发展学生的演绎推理能力和有条理表达的能力。3、在活动中培养学生主动探究的意识。1、回顾旧知.2、动手操作，当两条木条成直角时，构成的四边形是菱形，并证明判断定理。3、动手操作，通过画图猜测当四条边相等的四边形是菱形，并证明判定定理4、自学例题1、2,。环节一：温故知新环节二：探究菱形判断。环节三：典例分析菱形的面积1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。3.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力1、学生完成练习并用数学语言描述菱形的性质。2、探究菱形的面积计算公式，3、探究对角线互相垂直的四边形的面积计算公式。4、教师师引导学生完成例题1、2的解答，弄清解题思路。环节一：复习导入环节二：探究菱形的面积。环节三：典例分析矩形的性质1.经历探索矩形的概念和有关性质的过程，掌握矩形的概念和矩形的性质定理.2.了解矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形.3.经历利用矩形的定义探索矩形的性质的过程，培养动手实践能力、观察、推理的意识，发展逻辑思维，获得从一般到特殊的数学思维经验，掌握转化数学思想.1、回顾旧知。2、利用活动的平行四边形学具理解矩形的定义。3、通过观察猜测验证的方法探究矩形的四个角是直角，对角线相等。4、根据矩形的对角线互相平分和对角线相等，探究直角三角形斜边的中线等于斜边的一半5、自学例题1、2，关注答题的规范性和合理性。环节一：复习导入环节二：探究矩形性质。环节三：典例分析矩形的判断理解并掌握矩形的判定方法；2、会利用矩形的判定方法，进行简单的证明。3、经历探索矩形的判定过程，培养观察、推理、证明的意识，发展逻辑思维能力。4、体验矩形判定方法的探究过程，提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识，增强对数学的好奇心和求知欲。1、学生先回顾矩形的定义和性质，单独回答并分析。2、学生独立思考，容易得出由矩形的定义能判定一个平行四边形是矩形。3、猜测对角线相等的平行四边形是矩形。并加以证明。4、通过画图比较，学生说出矩形的第三种判定方法，也是矩形的判定定理二：有三个角是直角的四边形是矩形。并加以证明.5.根据矩形的判断定理，解决实际问题，教师关注学困生。环节一：复习导入环节二：探究矩形的判断。环节三：典例分析矩形的综合运用知识与技能：理解并掌握矩形的判定方法；2、会利用矩形的判定方法，进行简单的证明。过程与方法：经历探索矩形的判定过程，培养观察、推理、证明的意识，发展逻辑思维能力。情感态度价值观：体验矩形判定方法的探究过程，提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识，增强对数学的好奇心和求知欲。理解四边形、平行四边形、矩形的从属关系。复习矩形的性质和直角三角形斜边中线、30°的直角边与斜边的关系。3、分小组合作交流，解决四个例题。4、汇报合作探究结果。5、展示论证严谨书写规范的作品。环节一：知识回顾环节二：典例精析。正方形的性质1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。2.掌握正方形的性质，能正确运用正方形的性质解题3.经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法。4.培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值。1、知识回顾，引入新课。2、参与活动：1矩形如何转化成正方形，2菱形如何转化成正方形。3、证明正方形的正方形的四个角都是是直角，四条边相等。正方形的对角线相等且互相垂直平分。4、用数学语言表述正方形的性质。5讨论归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别。6、自学例题，提出质疑。环节一：复习导入环节二：探究正方形的定义。环节三：探究正方形的性质。环节四：典例精析。正方形的判断1. 理解正方形与矩形、菱形的关系，会识别正方形；2. 以折纸为主线，以几何直观的方式，探索各种正方形的识别方法；3. 经历探索四边形成为正方形的条件的过程，培养学生直观想象、数学抽象的能力，以及动手操作的能力和主动探究的意识复习平行四边形、矩形、菱形、长方形之间的关系。复习四边形、矩形、菱形、长方形的性质。复习菱形、矩形的判断方法。4、折剪纸，由长方形怎样变成正方形。5、思考问题2、3，得出正方形的3种（正方形定义法、菱形矩形法、对角线法）判断方法。6、教师引导学生思考解决问题的思路，自学例题，提出质疑，小组讨论解决疑或。环节一：复习导入环节二：探究正方形的判断。环节三：典例分析回顾与思考1、通过本章内容的回顾与梳理，使学生对所学的知识进行系统复习与归纳。2、了解四边形、特殊四边形的关系及转化条件，在反思交流的过程中，逐渐建立知识体系。3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养学生的说理习惯与能力。1、回顾知识，建立知识框架。2、梳理特殊平行四边形的性质及判定定理。3、经历特殊的平行四边形性质和判断定理的典例精析，完成相应的针对练习。环节一：构建知识框架环节二：知识梳理。环节三：考点讲练
《特殊的平行四边形》单元教学设计
活动一：温故知新
活动二：探究菱形的性质
任务一：菱形的性质
活动三：典例精析
活动一：温故知新
任务二：菱形的判断
活动二：探究菱形的判断
特殊的平行四边形
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究菱形的面积计算
任务三：菱形的面积
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究矩形的性质
任务四：矩形的性质
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究矩形的判断
任务五：矩形的判断
活动三：典例精析
活动二：典例精析
任务六：矩形的综合练习
活动一：复习导入
活动二：探究正方形定义
任务七：正方形的性质
特殊的平行四边形
活动三：探究正方形性质
活动四：典例精析
活动一：知识回顾
活动一：复习导入
活动二：探究正方形的判断
任务八：正方形的判断
活动三：典例精析
活动一；构建知识框架
活动二：知识梳理
任务九：回顾与思考
活动三：考点讲练
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（北师大版）九年级
上
1.1 菱形的性质
特殊的平行四边形
第一章
“—”
教学目标
01
温故知新
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1、通过观察菱形与平形四边形的联系，能说出菱形的概念。
2、通过交流讨论，折纸活动，能探索出菱形的性质。
3、 通过小组合作，教师点拨，能用综合法证明菱形的性质定理并会简单应用
温故知新
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
是中心对称图形
对称性
感受生活中的菱形
新知导入
新知讲解
任务一：菱形的定义
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
平行四边形
菱形
邻边相等
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形
新知讲解
有一组 的 叫做
邻边相等
平行四边形
菱形
A
B
C
D
∵AB=BC，且四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形
活动二：探究菱形的性质
新知讲解
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
归纳小结：
菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形两条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。
菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。
新知讲解
活动三，证明菱形的四条边相等，对角线互相垂直。
已知：如图1-1，在菱形ABCD中， AB=AD,
对角线AC与BD相交于点O求证：（1）AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD.
新知讲解
新知讲解
证明：
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD ∴△ABD是等腰三角形
又∵四边形ABCD是菱形 ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD ∴AO⊥BD 即AC⊥BD
典例精析
例题1：如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD(菱形的四条边相等）
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直）
在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形。∴AB=BD=6
在直角三角形AOB中，由勾股定理得
∴
∴AC=2OA=6
∴AC=2OA=6
例题2：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的长.
典例精析
解：∵四边形ABCD是菱形。
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直）
在直角三角形AOB中，由勾股定理得
∴
∵四边形ABCD是菱形。
∴BD=2BO=6(菱形的对角线互相平分）
所以BD=6cm
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
D
B
D
课堂练习
4. 如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,若EF=5,则菱形ABCD的周长为（ ）
A.20 B. 30 C.40 D.50
5. 如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(5,0),(-3,0),点D在y轴上,则点C的坐标是( )
C
-8,
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
课堂练习
【综合拓展类作业】
课堂练习
课堂总结
菱形ABCD中
相等的线段：
相等的角：
AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有：
△ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形有：
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
全等三角形有：
Rt△AOB≌Rt△BOC≌Rt△COD≌Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
板书设计
菱形的四条边都相等；
菱形的对角线互相垂直。
认识菱形
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（ ）厘米．
A．8 B．5 C．10 D．4.8
2．已知菱形的周长为9.6cm，两个邻角的比是1：2，这个菱形较短的对角线的长是（ ）
A．2.1cm B．2.2cm C．2.3cm D．2.4cm
3．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
B
D
C
课堂练习
4. 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形
5．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．95°
6．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（ ）
A．75° B．45° C．60° D．30°
C
C
C
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
作业布置
作业布置
【综合拓展类作业】
作业布置
作业布置
作业布置
Thanks!
2
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分课时教学设计
第一课时《 菱形的性质》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《菱形的性质与判定（一）》是北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》的第一节，本节课内容与我们的现实生活有着紧密的联系，是“数学源于生活、又运用于生活”的生动写照. 《课程标准》中与本节课相关的要求是：理解菱形的概念，以及菱形与平行四边形的关系。探索并证明菱形的性质定理;菱形的四条边相等，对角线互相垂直。因此在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。
学习者分析 学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。其次，经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第四章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。再次，在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学目标 1、通过观察菱形与平形四边形的联系，能说出菱形的概念。 2、通过交流讨论，折纸活动，能探索出菱形的性质。 3、 通过小组合作，教师点拨，能用综合法证明菱形的性质定理并会简单应用
教学重点 菱形的性质的探究和应用
教学难点 菱形的性质的灵活运用
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 学生活动1： 回顾旧知。活动意图说明： 复习平行四边形的性质，为新授奠基环节二：探究菱形的性质教师活动2： 感受生活中的菱形 2、活动一：探究菱形的定义 在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？ 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形 ∵AB=BC，且四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形 活动二：探究菱形的性质 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？ 归纳小结： 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形两条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。 菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。 活动三，证明菱形的四条边相等，对角线互相垂直。 已知：如图,在菱形ABCD中，AB=AD, 对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD. 证明： （1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD ∴AB=BC=CD=AD （2）∵AB=AD ∴△ABD是等腰三角形 又∵四边形ABCD是菱形 ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD ∴AO⊥BD 即AC⊥BD学生活动2： 欣赏菱形在日常生活中应用的案例。抽象出菱形的定义。 折纸并思考，猜想菱形的性质，并与同伴交流，得结论：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直。 3、极思考，讨论，并在教师点拨下获得证明思路与方法，正确进行书面表达。 活动意图说明： 学生通过观察平行四边形边的变化过程中不变和变化的几何图形，深刻感知菱形和平行四边形之间的关系;设计折纸并思考，通过回答问题，猜想菱形的性质，并与同伴交流，得结论：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直。环节三：典例精析教师活动3： 例题1：如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。 解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD(菱形的四条边相等） AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直） 在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60° ∴△ABD是等边三角形。∴AB=BD=6 在直角三角形AOB中，由勾股定理得 ∴ ∴AC=2OA=6 例题2：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的长. 解：∵四边形ABCD是菱形。 ∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直） 在直角三角形AOB中，由勾股定理得 ∴ ∵四边形ABCD是菱形。 ∴BD=2BO=6(菱形的对角线互相平分） 所以BD=6cm学生活动3： 积极思考，讨论，并在教师点拨下获得解题思路与方法，并能够正确的书面表达。 活动意图说明： 学生通过本环节的学习，进一步理解和掌握了菱形的性质，对前面所学知识进行了更加深入的认识，同时提高了学生的逻辑推理能力，培养学生的主动探索能力，激发学生学习的兴趣。
板书设计 认识菱形 菱形的四条边都相等； 菱形的对角线互相垂直。
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 菱形不具备的性质（ D ） A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 对角线互相垂直 D. 对角线一定相等 菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是（ B ） A. B. C. D. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中全等的直角三角形共有( D ) A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,若EF=5,则菱形ABCD的周长为（ C ） A. B. C. D. 第3题 第4题 第5题 如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(5,0),(-3,0),点D在y轴上,则点C的坐标是【（-8，）】 选做题： 定义:一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形,如图,筝形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC垂直平分BD. (1)请结合图形,写出筝形两种不同类型的性质: 性质1: ; 性质2: . (2)若ABCD,求证:四边形ABCD为菱形. 解:(1)对角线互相垂直；是轴对称图形 (2)证明:AC垂直平分BD, AB=AD,BO=DO,BC=DC. ABCD, ABO=CDO. 在ABO和CDO中, ABOCDO(ASA) AB=CD .AB=CD=BC=AD. 四边形ABCD为菱形. 【综合拓展类作业】 如图,在菱形ABCD中,作BEAD, CFAB,分别交AD,AB的延长线于点E,F. (1)求证:AE=BF; (2)若点E恰好是AD的中点,AB=2,求BD的长. (1)证明:四边形ABCD是菱形, AB=BC,ADBC. A=CBF. BEAD,CFAB, AEB=BFC=. AEBBFC(AAS). AE=BF. (2)解:E是AD的中点,且BEAD, 直线BE为AD的垂直平分线, BD=AB=2.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（ B ）厘米． A．8 B．5 C．10 D．4.8 2．已知菱形的周长为9.6cm，两个邻角的比是1：2，这个菱形较短的对角线的长是（ D ） A．2.1cm B．2.2cm C．2.3cm D．2.4cm 3．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（ C ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 4. 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ C ） A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形 5．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（ C ） A．70° B．75° C．80° D．95° 6．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（ C ） A．75° B．45° C．60° D．30° 第4题 第5题 第6题 选做题： 7.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． （1）证明：能． 理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t， ∴DF＝2t， 又∵AE＝2t， ∴AE＝DF， ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF， 又∵AE＝DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， 当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形， 即40﹣4t＝2t，解得t＝． ∴当t＝秒时，四边形AEFD为菱形． （2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形， ∴EF∥AD， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠AED＝30°， ∴AD＝AE＝t， 又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8； ②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5． ③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在． 综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形． 【综合拓展类作业】 8.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°． （1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB＝4，求线段EC的长； （2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM＝2DQ． 解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠ABC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AD＝4， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB，由勾股定理得：DE＝＝2， ∵DC∥AB， ∴∠EDC＝∠DEA＝90°， 在Rt△DEC中，DC＝4， EC＝＝＝2； （2）如图2，延长CD至H，使CD＝DH，连接NH、AH， ∵AD＝CD，∴AD＝DH， ∵CD∥AB， ∴∠HDA＝∠BAD＝60°， ∴△ADH是等边三角形， ∴AH＝AD，∠HAD＝60°， ∵△AMN是等边三角形， ∴AM＝AN，∠NAM＝60°， ∴∠HAN+∠NAG＝∠NAG+∠DAM， ∴∠HAN＝∠DAM， 在△ANH和△AMD中，∵， ∴△ANH≌△AMD（SAS）， ∴HN＝DM， ∵D是CH的中点，Q是NC的中点， ∴DQ是△CHN的中位线， ∴HN＝2DQ， ∴DM＝2DQ．
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