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学 科 数学 年 级 九年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第一章
课标要求 1、理解平行四边形，矩形、菱形、正方形的概念，以及它们的关系。2、探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角、对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；正方形的四条边相等，四个角都是直角。3、探索并证明矩形、菱形、正方形的判断定理：三个角是直角的四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、四条边相等的四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正方形具有矩形和菱形的一切性质。
内容分析 本章内容包括：菱形的性质与判断，矩形的性质与判断，正方形的性质与判断。本章在学习平行四边形的基础上研究特殊的平行四边形，通过平行四边形的边角特殊化，研究菱形、矩形、正方形等特殊的平行四边形。认识这些图形的联系与区别，明确它们的内涵与外延，探索菱形、矩形、正方形的性质定理与判断定理，进一步研究命题与逆命题的关系，发展学生的合理推理和演绎推理的能力。菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质定理和判定定理的研究与平行四边形的性质定理和判定定理的研究一脉相承。本章的学习有利于深化对平行四边形的理解，以及对识图画图等操作技能的掌握，丰富学生数学活动经验，促进其良好的数学观的形成。本章渗透归纳、类比、转化等数学思想，注重通过引导探索过程渗透与展现证明的思路，此外还要引导学生探索证明的不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，通过分析、寻求证明思路的能力。
学情分析 特殊的平行四边形（菱形、矩形、正方形）是在学行四边形的基础上进行的，学生对平行四边形有一定的认识，小学也接触到矩形、菱形、正方形的一些简单运用，本章主要学习菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理以及他们的区别和联系，研究过程主要通过中以类比、归纳为主要方法。同时，九年级学生已经具备了总结、归纳的能力，利用课堂中互相评价、互提提问，使课堂的参与度得到提高。
单元目标 （一）教学目标1、经历菱形、矩形、正方形概念的抽象过程，以及他们的性质与判断的探究，猜测与证明的过程，丰富数学活动经验，进一步发展学生的合情推理与演绎推理的能力。2、理解菱形、矩形、正方形的概念，了解他们与平行四边形的关系，进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法，增强发现问题和提出问题的能力，通过自己动手的经历体会图形的变化过程，进一步发展学生的空间观念。3、证明菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理， 并证明其他相关结论。4、探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。5、经历运用数学符号和图形描述命题思维条件和结论过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。6、通过“猜测-总结-证明-运用”的数学活动，提升学科素养。教学重点、难点重点是矩形、菱形、正方形的判断定理和性质定理探究过程及综合运用。难点是矩形、菱形、正方形概念之间的联系与综合运用知识的能力培养。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1菱形的性质12菱形的判断13菱形的面积14矩形的性质15矩形的判断16矩形的综合运用17正方形的性质18正方形的判断19回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务菱形的性质1、通过观察菱形与平形四边形的联系，能说出菱形的概念。2、通过交流讨论，折纸活动，能探索出菱形的性质。3、 通过小组合作，教师点拨，能用综合法证明菱形的性质定理并会简单应用1、回顾旧知。2、欣赏菱形在日常生活中应用的案例。抽象出菱形的定义。3、折纸并思考，猜想菱形的性质，并与同伴交流，得结论：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直。4、极思考，讨论，并在教师点拨下获得证明思路与方法，正确进行书面表达。5、积极思考，讨论，并在教师点拨下获得解题思路与方法，并能够正确的书面表达。环节一：温故知新环节二：探究菱形的性质。环节三：典例分析菱形的判断1、类比平行四边形的学习，使学生经历“实验—猜想—证明—归纳—应用”的数学活动，探索菱形判定定理并解决简单的问题，积累研究问题和解决问题的经验，渗透类比思想。2、通过对菱形判定方法的猜想，发展学生的合情推理能力。 通过菱形判定定理的证明，发展学生的演绎推理能力和有条理表达的能力。3、在活动中培养学生主动探究的意识。1、回顾旧知.2、动手操作，当两条木条成直角时，构成的四边形是菱形，并证明判断定理。3、动手操作，通过画图猜测当四条边相等的四边形是菱形，并证明判定定理4、自学例题1、2,。环节一：温故知新环节二：探究菱形判断。环节三：典例分析菱形的面积1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。3.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力1、学生完成练习并用数学语言描述菱形的性质。2、探究菱形的面积计算公式，3、探究对角线互相垂直的四边形的面积计算公式。4、教师师引导学生完成例题1、2的解答，弄清解题思路。环节一：复习导入环节二：探究菱形的面积。环节三：典例分析矩形的性质1.经历探索矩形的概念和有关性质的过程，掌握矩形的概念和矩形的性质定理.2.了解矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形.3.经历利用矩形的定义探索矩形的性质的过程，培养动手实践能力、观察、推理的意识，发展逻辑思维，获得从一般到特殊的数学思维经验，掌握转化数学思想.1、回顾旧知。2、利用活动的平行四边形学具理解矩形的定义。3、通过观察猜测验证的方法探究矩形的四个角是直角，对角线相等。4、根据矩形的对角线互相平分和对角线相等，探究直角三角形斜边的中线等于斜边的一半5、自学例题1、2，关注答题的规范性和合理性。环节一：复习导入环节二：探究矩形性质。环节三：典例分析矩形的判断理解并掌握矩形的判定方法；2、会利用矩形的判定方法，进行简单的证明。3、经历探索矩形的判定过程，培养观察、推理、证明的意识，发展逻辑思维能力。4、体验矩形判定方法的探究过程，提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识，增强对数学的好奇心和求知欲。1、学生先回顾矩形的定义和性质，单独回答并分析。2、学生独立思考，容易得出由矩形的定义能判定一个平行四边形是矩形。3、猜测对角线相等的平行四边形是矩形。并加以证明。4、通过画图比较，学生说出矩形的第三种判定方法，也是矩形的判定定理二：有三个角是直角的四边形是矩形。并加以证明.5.根据矩形的判断定理，解决实际问题，教师关注学困生。环节一：复习导入环节二：探究矩形的判断。环节三：典例分析矩形的综合运用知识与技能：理解并掌握矩形的判定方法；2、会利用矩形的判定方法，进行简单的证明。过程与方法：经历探索矩形的判定过程，培养观察、推理、证明的意识，发展逻辑思维能力。情感态度价值观：体验矩形判定方法的探究过程，提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识，增强对数学的好奇心和求知欲。理解四边形、平行四边形、矩形的从属关系。复习矩形的性质和直角三角形斜边中线、30°的直角边与斜边的关系。3、分小组合作交流，解决四个例题。4、汇报合作探究结果。5、展示论证严谨书写规范的作品。环节一：知识回顾环节二：典例精析。正方形的性质1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。2.掌握正方形的性质，能正确运用正方形的性质解题3.经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法。4.培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值。1、知识回顾，引入新课。2、参与活动：1矩形如何转化成正方形，2菱形如何转化成正方形。3、证明正方形的正方形的四个角都是是直角，四条边相等。正方形的对角线相等且互相垂直平分。4、用数学语言表述正方形的性质。5讨论归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别。6、自学例题，提出质疑。环节一：复习导入环节二：探究正方形的定义。环节三：探究正方形的性质。环节四：典例精析。正方形的判断1. 理解正方形与矩形、菱形的关系，会识别正方形；2. 以折纸为主线，以几何直观的方式，探索各种正方形的识别方法；3. 经历探索四边形成为正方形的条件的过程，培养学生直观想象、数学抽象的能力，以及动手操作的能力和主动探究的意识复习平行四边形、矩形、菱形、长方形之间的关系。复习四边形、矩形、菱形、长方形的性质。复习菱形、矩形的判断方法。4、折剪纸，由长方形怎样变成正方形。5、思考问题2、3，得出正方形的3种（正方形定义法、菱形矩形法、对角线法）判断方法。6、教师引导学生思考解决问题的思路，自学例题，提出质疑，小组讨论解决疑或。环节一：复习导入环节二：探究正方形的判断。环节三：典例分析回顾与思考1、通过本章内容的回顾与梳理，使学生对所学的知识进行系统复习与归纳。2、了解四边形、特殊四边形的关系及转化条件，在反思交流的过程中，逐渐建立知识体系。3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养学生的说理习惯与能力。1、回顾知识，建立知识框架。2、梳理特殊平行四边形的性质及判定定理。3、经历特殊的平行四边形性质和判断定理的典例精析，完成相应的针对练习。环节一：构建知识框架环节二：知识梳理。环节三：考点讲练
《特殊的平行四边形》单元教学设计
活动一：温故知新
活动二：探究菱形的性质
任务一：菱形的性质
活动三：典例精析
活动一：温故知新
任务二：菱形的判断
活动二：探究菱形的判断
特殊的平行四边形
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究菱形的面积计算
任务三：菱形的面积
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究矩形的性质
任务四：矩形的性质
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究矩形的判断
任务五：矩形的判断
活动三：典例精析
活动二：典例精析
任务六：矩形的综合练习
活动一：复习导入
活动二：探究正方形定义
任务七：正方形的性质
特殊的平行四边形
活动三：探究正方形性质
活动四：典例精析
活动一：知识回顾
活动一：复习导入
活动二：探究正方形的判断
任务八：正方形的判断
活动三：典例精析
活动一；构建知识框架
活动二：知识梳理
任务九：回顾与思考
活动三：考点讲练
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分课时教学设计
第一课时《 矩形的综合练习课 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 矩形是人们日常生活中应用最广泛的几何图形之一,因此,不能只停留在知识教学上，而是要把经历探索图形的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置。这部分教材是在学生学习了三角形全等的证明、平行四边形的性质和判定以及具备了基本的推理能力的基础上教学的，是学习正方形的基础，也是将来空间立体几何学习的基础。矩形是平行四边形中的一种特殊图形，在生活中有着广泛的应用，所以课本很多地方以图片形式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习.
学习者分析 矩形的性质与判断一课，是在学生掌握了三角形全等的证明、平行四边形的性质和判定，以及具备了基本的推理能力的基础上安排的，是学习正方形的基础.本节课学习,学生在心理上易受到下列因素影响:一是受日常用语的影响,日常生活中的矩形常被称作长方形,容易给学生造成矩形是另一种图形的错误认识.二是受平行四边形的影响,学生在学习矩形的性质以前,已经学行四边形的性质和判定,对特殊四边形的性质有了一个初步的感知,但有些学生容易将两种图形的性质混淆,因此,在教学中要注意区别,帮助学生抓住图形的本质特征
教学目标 知识与技能： 理解并掌握矩形的判定方法； 2、会利用矩形的判定方法，进行简单的证明。 过程与方法： 经历探索矩形的判定过程，培养观察、推理、证明的意识，发展逻辑思维能力。 情感态度价值观： 体验矩形判定方法的探究过程，提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识，增强对数学的好奇心和求知欲。
教学重点 矩形的判定方法探究。
教学难点 矩形判定定理的证明及运用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识回顾教师活动1： 1、四边形、平行四边形、矩形之间的关系 2、练习 1、矩形的四个内角都是 直角 。 2、矩形的对角线 相等 且 互相平分。 3、矩形是 中心对称图形也是轴 对称图形。 4、在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。 5、在直角三角形中，斜边上的 中线 等于斜边的 一半 。学生活动1： 理解四边形、平行四边形、矩形的从属关系， 复习矩形的性质和直角三角形斜边中线、30°的直角边与斜边的关系，活动意图说明： 回顾知识，理顺四边形、平行四边形、矩形的从属关系及性质，环节二：典例精析教师活动2： 例题1：BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，求证：四边形AEBD是矩形。 证明：∵ AE⊥BE，AD⊥BD ∴ ∠E=90°, ∠D=90° ∵ BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线 ∴∠1= ∠ABC,∠2= ∠ABP ∠1+∠2= (∠ABC+∠ABP)= ×180°=90° 即∠DBE=90°∴ □ AEBD是矩形 例题2：如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC 又∵AN、DM是∠ABC、∠ADC的平分线 ∴∠ABQ=∠QBC=∠ADM=∠CDM 又∵AD∥BC ∴ ∠ AQB ∠ QBC= ∠ ADM ∴BQ∥DM 同理：AN∥CP ∴四边形EFGH是平行四边形 ∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC ∴∠EAB+∠EBA=90 ° 即∠AEB=90° ∴∠HEF=90° ∴四边形EFGH是矩形 例题3：如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,求AE的长。 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角。 AC=BD(矩形的对角线相等） AO=OC= AC BO=DO= BD (矩形的对角线互相平分。 ∴AO=BO=DO= BD ∵ED=3BE ∴BE=0E 又∵AE⊥BD ∴AB=AO, AB=AO=BO 即三角形ABO是等边三角形 ∴∠ABO=60° ∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30° ∴AE= AD= ×6=3 例题4：已知：如图1-15，在 ABC中，AB=AC,AD是 ABC的一条角平分线，AN是 ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN,求证四边形ADCE是矩形 证明：∵AD平分∠BAC,AN平分∠CAM ∴∠CAD= ∠BAC ∠CAN= ∠CAM ∴∠DAE=∠CAD+∠CAN = (∠BAC+∠CAM)=90° 在 ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC ∴∠ADC=90° 又∵CE⊥AN ∴∠CEA=90° ∴四边形ADCE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） 学生活动2： 分小组合作交流，解决四个例题。 汇报合作探究结果。 展示论证严谨书写规范的作品。活动意图说明： 利用矩形、直角三角形的性质解决实际问题，提高学生的运用能力。
板书设计 矩形的综合练习 矩形性质： 1矩形的四个内角都是直角 。 2、矩形的对角线相等且互相平分。 3、矩形是中心对称图形也是轴对称图形。 直角三角形性质： 1、在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。 2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 一半 。
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知如图四边形ABCD中，AB⊥BC， AD∥BC，AD=BC，试说明四边形ABCD是矩形。 证明：∵ AD=CB AD∥CB ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB⊥BC ∴∠B=90° ∴ □ ABCD是矩形 如图，平行四边形ABCD中，AB= 6，BC= 8，AC= 10 ，求证 : 四边形ABCD是矩形。 证明： ∵AB=6,BC=8,AC=10 ∴AB+BC=6+8=100=10=AC ∴ ∠B=90° 又∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ □ ABCD是矩形 3.已知如图四边形ABCD中AO=BO=CO=DO，试说明四边形ABCD是矩形。 证明：∵ AO=BO=CO=DO ∴AO=CO，BO=DO ∴四边形EFGH是平行四边形 又∵AO+CO=BO+DO 即AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 4、已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。求证：四边形EFGH是矩形。 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴ AO=BO=CO=DO 又∵ AE=BF=CG=DH ∴OE=OF=OG=OH ∴四边形EFGH是平行四边形 又∵EO+OG=FO+OH 即EG=FH ∴四边形EFGH是矩形 选做题： 5.对角线相等的四边形是矩形吗 （不一定，等腰梯形的对角线也相等） 6.需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ∵ AC=BD 且OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是矩形 7.如图,在△ABC中,点0是AC边上的一个动点,过点0作直线MN∥BC,若MN交∠BCA 的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F, (1)求证:0E=0F (2)当0运动到何处时, 四边形AECF为矩形 说明理由 证明：（1）∵CF平分∠ACD ∴∠1=∠2 又∵ MN∥BC ∴∠1=∠3 ∴ ∠2=∠3 ∴OC=OF 同理可证：OC=OE ∴OE=OF 解（2） 答：当点0为AC的中点时，四边形AECF是矩形 理由：由（1）知0E=0F， 又AO=CO ∴四边形AECF是平行四边形 又∵EC平分∠ACB，FC平分∠ACD ∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90° ∴四边形AECF是矩形 【综合拓展类作业】 8.如图， 为线段 上一动点，分别过 ， 作 ，，连接 ，，已知 ，，，设 ．请用含 的代数式表示 的长，根据上述方法，求出 的最小值为 【13】 ． 9.如图，在矩形 中，，，过矩形 的对角线交点 作直线分别交 ， 于点 ，，连接 ，若 是等腰三角形，则 【 或 】 10如图， 中，，， 平分 交 于点 ，点 为 的中点，连接 ，则 的周长为【17】． 第8题 第9题 第10题
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，菱形 的周长为 ，对角线 ， 交于点 ，，作 于点 ，连接 ，则 的长为 A． B． C． D． 2.在 中，等于斜边的一半是斜边上的 A．高 B．中线 C．角平分线 D．垂直平分线 3如图，矩形 中，， 相交于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，．则下列结论：① ；② ；③ ；④当 时，四边形 是菱形．其中，正确结论的个数是 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 4.如图，矩形 中，连接 ，延长 至点 ，使 ，连接 ．若 ，则 的度数是 A． B． C. D． 5.如图，，已知 中，， 的顶点 ， 分别在边 ， 上，当点 在边 上运动时， 随之在 上运动， 的形状始终保持不变，在运动的过程中，点 到点 的距离为整数的点有 个． A． B． C． D． 6.关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是 A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 7.矩形 与矩形 ，如图放置，点 ，， 共线，点 ，， 共线，连接 ，取 的中点 ，连接 ．若 ，，则 A． B． C． D． 选做题： 8.已知 和 都是等腰直角三角形， 为它们的公共直角顶点，， 分别在 ， 边上． (1) 如图 ， 是线段 上的一点，连接 ，若 ； 求证：点 是 的中点； 判断 与 的数量关系和位置关系，并说明理由； (2) 如图 ，把 绕点 顺时针旋转 角 ，点 是 的中点，其他条件不变，判断 与 的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论． (1) 如图 ， 证明： ， ， ，， ， ， ，即点 是 的中点． ，． 理由： 和 都是等腰直角三角形， ，， 在 和 中， ， ，， ，， ， ，， ， ． (2) 仍然有 ，．理由： 延长 到 使 ，连接 ，，如图 ， ，， 四边形 为平行四边形， ，， ，即 ， ， 绕点 顺时针旋转 角 ， ， ， ， 在 和 中， ， ，， ， 而 ， ， ． 【综合拓展类作业】 9.完成如图所示的画图，要求：①仅用无刻度的直尺，②不写画法，保留必要的画图痕迹． (1) 在图 中画出一条长为 的线段 （， 分别为格点）． (2) 在图 中画出一个以格点为顶点，以 为一边的平行四边形 ，使得其面积为 （， 分别为格点）． (3) 在图 中，， 分别为格点，画出以线段 为一边的矩形 ，使得矩形 的面积为 （， 分别为格点）． 答案如图所示 10.如图，矩形 中，，，过对角线 中点 的直线分别交 ， 边于点 ，． (1) 求证：四边形 是平行四边形． (2) 当四边形 是菱形时，求 的长． 解：(1) 四边形 是矩形， 是 的中点， ，，，， ， 在 和 中， ， ， 四边形 是平行四边形． (2) 当四边形 是菱形时，， 设 ，则 ，， 在 中，， ，解得：， ， ， ， ， ．
教学反思
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（北师大版版）九年级
上
1.2 矩形的综合运用
特殊的平行四边形
第一章
“—”
教学目标
01
知识回顾
02
典例精析
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
知识回顾
四边形
四边形
平行四边形□
矩形
四边形、平行四边形、矩形之间的关系
知识回顾
四边形
四边形
两组对
边平行
平行
四边形
一个角
是直角
∟
矩形
知识回顾
1、矩形的四个内角都是______。
2、矩形的对角线______且 __________
3、矩形是______________对称图形。
4、在直角三角形中，______角所对的直角边等于斜边的_______。
5、在直角三角形中，斜边上的______等于斜边的______。
直角
相等
互相平分
轴对称和中心
30°
一半
一半
中线
典例精析
例题1：BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，求证：四边形AEBD是矩形。
C
B
A
D
E
P
∟
∟
⌒
⌒
1
2
证明：∵ AE⊥BE，AD⊥BD
∴ ∠E=90°, ∠D=90°
∵ BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线
∴∠1= ∠ABC,∠2= ∠ABP
∠1+∠2= (∠ABC+∠ABP)= ×180°=90°
即∠DBE=90°∴ □ AEBD是矩形
典例精析
例题2：如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠ADC
又∵AN、DM是∠ABC、∠ADC的平分线
∴∠ABQ=∠QBC=∠ADM=∠CDM
又∵AD∥BC ∴ ∠ AQB ∠ QBC= ∠ ADM
∴BQ∥DM
同理：AN∥CP ∴四边形EFGH是平行四边形
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC
∴∠EAB+∠EBA=90 ° 即∠AEB=90° ∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是矩形
A
B
D
C
H
E
F
G
M
N
P
Q
典例精析
例题3：如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,求AE的长。
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角。
AC=BD(矩形的对角线相等）
AO=OC= AC BO=DO= BD (矩形的对角线互相平分。
∴AO=BO=DO= BD
典例精析
∵ED=3BE
∴BE=0E
又∵AE⊥BD
∴AB=AO, AB=AO=BO
即三角形ABO是等边三角形
∴∠ABO=60°
∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°
∴AE= AD= ×6=3
典例精析
例题4：已知：如图1-15，在 ABC中，AB=AC,AD是 ABC的一条角平分线，AN是 ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN,求证四边形ADCE是矩形
证明：∵AD平分∠BAC,AN平分∠CAM
∴∠CAD= ∠BAC ∠CAN= ∠CAM
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN
= (∠BAC+∠CAM)=90°
在 ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC
∴∠ADC=90° 又∵CE⊥AN
∴∠CEA=90°
∴四边形ADCE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.已知如图四边形ABCD中，AB⊥BC， AD∥BC，AD=BC，
试说明四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
∟
证明：∵ AD=CB AD∥CB
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB⊥BC
∴∠B=90°
∴ □ ABCD是矩形
课堂练习
2.如图，平行四边形ABCD中，AB= 6，BC= 8，AC= 10 ，
求证 : 四边形ABCD是矩形。
D
B
C
A
证明：
∵AB=6,BC=8,AC=10
∴AB2+BC2=62+82=100=102=AC2
∴ ∠B=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ □ ABCD是矩形
课堂练习
3.已知如图四边形ABCD中AO=BO=CO=DO，试说明四边形ABCD是矩形。
证明：∵ AO=BO=CO=DO
∴AO=CO，BO=DO
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵AO+CO=BO+DO
即AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
A
O
B
D
C
课堂练习
4、已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。
求证：四边形EFGH是矩形。
A
B
C
D
E
F
G
H
O
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴ AO=BO=CO=DO
又∵ AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH ∴四边形EFGH是矩形
5.对角线相等的四边形是矩形吗
6.需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗
对角线相等且互相平分的四边形是矩形
∵ AC=BD 且OA=OC OB=OD
∴四边形ABCD是矩形
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
【知识技能类作业】选做题：
7.如图,在△ABC中,点0是AC边上的一个
动点,过点0作直线MN∥BC,若MN交∠BCA
的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,
(1)求证:0E=0F
(2)当0运动到何处时,
四边形AECF为矩形
说明理由
A
B
C
M
N
0
)
1
)
2
(
5
(
4
(
3
(
6
E
F
D
课堂练习
证明：（1）∵CF平分∠ACD
∴∠1=∠2
又∵ MN∥BC
∴∠1=∠3
∴ ∠2=∠3
∴OC=OF
同理可证：OC=OE
∴OE=OF
解（2）
答：当点0为AC的中点时，四边形AECF是矩形
理由：由（1）知0E=0F，
又AO=CO
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EC平分∠ACB，FC平分∠ACD
∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形
课堂练习
【综合拓展类作业】
课堂练习
13
课堂练习
17
课堂总结
本节课我们学习了什么内容，你能总结吗？
1.判定一个四边形是矩形的方法是：
板书设计
矩形性质：
1矩形的四个内角都是直角 。
2、矩形的对角线相等且互相平分。
3、矩形是中心对称图形也是轴对称图形。
直角三角形性质：
1、在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。
2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 一半 。
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
B
B
作业布置
D
A
作业布置
B
C
作业布置
C
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
作业布置
作业布置
【综合拓展类作业】
作业布置
作业布置
答案如图所示
作业布置
作业布置
Thanks!
2
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