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学 科 数学 年 级 九年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第一章
课标要求 1、理解平行四边形，矩形、菱形、正方形的概念，以及它们的关系。2、探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角、对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；正方形的四条边相等，四个角都是直角。3、探索并证明矩形、菱形、正方形的判断定理：三个角是直角的四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、四条边相等的四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正方形具有矩形和菱形的一切性质。
内容分析 本章内容包括：菱形的性质与判断，矩形的性质与判断，正方形的性质与判断。本章在学习平行四边形的基础上研究特殊的平行四边形，通过平行四边形的边角特殊化，研究菱形、矩形、正方形等特殊的平行四边形。认识这些图形的联系与区别，明确它们的内涵与外延，探索菱形、矩形、正方形的性质定理与判断定理，进一步研究命题与逆命题的关系，发展学生的合理推理和演绎推理的能力。菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质定理和判定定理的研究与平行四边形的性质定理和判定定理的研究一脉相承。本章的学习有利于深化对平行四边形的理解，以及对识图画图等操作技能的掌握，丰富学生数学活动经验，促进其良好的数学观的形成。本章渗透归纳、类比、转化等数学思想，注重通过引导探索过程渗透与展现证明的思路，此外还要引导学生探索证明的不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，通过分析、寻求证明思路的能力。
学情分析 特殊的平行四边形（菱形、矩形、正方形）是在学行四边形的基础上进行的，学生对平行四边形有一定的认识，小学也接触到矩形、菱形、正方形的一些简单运用，本章主要学习菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理以及他们的区别和联系，研究过程主要通过中以类比、归纳为主要方法。同时，九年级学生已经具备了总结、归纳的能力，利用课堂中互相评价、互提提问，使课堂的参与度得到提高。
单元目标 （一）教学目标1、经历菱形、矩形、正方形概念的抽象过程，以及他们的性质与判断的探究，猜测与证明的过程，丰富数学活动经验，进一步发展学生的合情推理与演绎推理的能力。2、理解菱形、矩形、正方形的概念，了解他们与平行四边形的关系，进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法，增强发现问题和提出问题的能力，通过自己动手的经历体会图形的变化过程，进一步发展学生的空间观念。3、证明菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理， 并证明其他相关结论。4、探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。5、经历运用数学符号和图形描述命题思维条件和结论过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。6、通过“猜测-总结-证明-运用”的数学活动，提升学科素养。教学重点、难点重点是矩形、菱形、正方形的判断定理和性质定理探究过程及综合运用。难点是矩形、菱形、正方形概念之间的联系与综合运用知识的能力培养。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1菱形的性质12菱形的判断13菱形的面积14矩形的性质15矩形的判断16矩形的综合运用17正方形的性质18正方形的判断19回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务菱形的性质1、通过观察菱形与平形四边形的联系，能说出菱形的概念。2、通过交流讨论，折纸活动，能探索出菱形的性质。3、 通过小组合作，教师点拨，能用综合法证明菱形的性质定理并会简单应用1、回顾旧知。2、欣赏菱形在日常生活中应用的案例。抽象出菱形的定义。3、折纸并思考，猜想菱形的性质，并与同伴交流，得结论：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直。4、极思考，讨论，并在教师点拨下获得证明思路与方法，正确进行书面表达。5、积极思考，讨论，并在教师点拨下获得解题思路与方法，并能够正确的书面表达。环节一：温故知新环节二：探究菱形的性质。环节三：典例分析菱形的判断1、类比平行四边形的学习，使学生经历“实验—猜想—证明—归纳—应用”的数学活动，探索菱形判定定理并解决简单的问题，积累研究问题和解决问题的经验，渗透类比思想。2、通过对菱形判定方法的猜想，发展学生的合情推理能力。 通过菱形判定定理的证明，发展学生的演绎推理能力和有条理表达的能力。3、在活动中培养学生主动探究的意识。1、回顾旧知.2、动手操作，当两条木条成直角时，构成的四边形是菱形，并证明判断定理。3、动手操作，通过画图猜测当四条边相等的四边形是菱形，并证明判定定理4、自学例题1、2,。环节一：温故知新环节二：探究菱形判断。环节三：典例分析菱形的面积1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。3.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力1、学生完成练习并用数学语言描述菱形的性质。2、探究菱形的面积计算公式，3、探究对角线互相垂直的四边形的面积计算公式。4、教师师引导学生完成例题1、2的解答，弄清解题思路。环节一：复习导入环节二：探究菱形的面积。环节三：典例分析矩形的性质1.经历探索矩形的概念和有关性质的过程，掌握矩形的概念和矩形的性质定理.2.了解矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形.3.经历利用矩形的定义探索矩形的性质的过程，培养动手实践能力、观察、推理的意识，发展逻辑思维，获得从一般到特殊的数学思维经验，掌握转化数学思想.1、回顾旧知。2、利用活动的平行四边形学具理解矩形的定义。3、通过观察猜测验证的方法探究矩形的四个角是直角，对角线相等。4、根据矩形的对角线互相平分和对角线相等，探究直角三角形斜边的中线等于斜边的一半5、自学例题1、2，关注答题的规范性和合理性。环节一：复习导入环节二：探究矩形性质。环节三：典例分析矩形的判断理解并掌握矩形的判定方法；2、会利用矩形的判定方法，进行简单的证明。3、经历探索矩形的判定过程，培养观察、推理、证明的意识，发展逻辑思维能力。4、体验矩形判定方法的探究过程，提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识，增强对数学的好奇心和求知欲。1、学生先回顾矩形的定义和性质，单独回答并分析。2、学生独立思考，容易得出由矩形的定义能判定一个平行四边形是矩形。3、猜测对角线相等的平行四边形是矩形。并加以证明。4、通过画图比较，学生说出矩形的第三种判定方法，也是矩形的判定定理二：有三个角是直角的四边形是矩形。并加以证明.5.根据矩形的判断定理，解决实际问题，教师关注学困生。环节一：复习导入环节二：探究矩形的判断。环节三：典例分析矩形的综合运用知识与技能：理解并掌握矩形的判定方法；2、会利用矩形的判定方法，进行简单的证明。过程与方法：经历探索矩形的判定过程，培养观察、推理、证明的意识，发展逻辑思维能力。情感态度价值观：体验矩形判定方法的探究过程，提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识，增强对数学的好奇心和求知欲。理解四边形、平行四边形、矩形的从属关系。复习矩形的性质和直角三角形斜边中线、30°的直角边与斜边的关系。3、分小组合作交流，解决四个例题。4、汇报合作探究结果。5、展示论证严谨书写规范的作品。环节一：知识回顾环节二：典例精析。正方形的性质1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。2.掌握正方形的性质，能正确运用正方形的性质解题3.经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法。4.培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值。1、知识回顾，引入新课。2、参与活动：1矩形如何转化成正方形，2菱形如何转化成正方形。3、证明正方形的正方形的四个角都是是直角，四条边相等。正方形的对角线相等且互相垂直平分。4、用数学语言表述正方形的性质。5讨论归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别。6、自学例题，提出质疑。环节一：复习导入环节二：探究正方形的定义。环节三：探究正方形的性质。环节四：典例精析。正方形的判断1. 理解正方形与矩形、菱形的关系，会识别正方形；2. 以折纸为主线，以几何直观的方式，探索各种正方形的识别方法；3. 经历探索四边形成为正方形的条件的过程，培养学生直观想象、数学抽象的能力，以及动手操作的能力和主动探究的意识复习平行四边形、矩形、菱形、长方形之间的关系。复习四边形、矩形、菱形、长方形的性质。复习菱形、矩形的判断方法。4、折剪纸，由长方形怎样变成正方形。5、思考问题2、3，得出正方形的3种（正方形定义法、菱形矩形法、对角线法）判断方法。6、教师引导学生思考解决问题的思路，自学例题，提出质疑，小组讨论解决疑或。环节一：复习导入环节二：探究正方形的判断。环节三：典例分析回顾与思考1、通过本章内容的回顾与梳理，使学生对所学的知识进行系统复习与归纳。2、了解四边形、特殊四边形的关系及转化条件，在反思交流的过程中，逐渐建立知识体系。3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养学生的说理习惯与能力。1、回顾知识，建立知识框架。2、梳理特殊平行四边形的性质及判定定理。3、经历特殊的平行四边形性质和判断定理的典例精析，完成相应的针对练习。环节一：构建知识框架环节二：知识梳理。环节三：考点讲练
《特殊的平行四边形》单元教学设计
活动一：温故知新
活动二：探究菱形的性质
任务一：菱形的性质
活动三：典例精析
活动一：温故知新
任务二：菱形的判断
活动二：探究菱形的判断
特殊的平行四边形
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究菱形的面积计算
任务三：菱形的面积
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究矩形的性质
任务四：矩形的性质
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究矩形的判断
任务五：矩形的判断
活动三：典例精析
活动二：典例精析
任务六：矩形的综合练习
活动一：复习导入
活动二：探究正方形定义
任务七：正方形的性质
特殊的平行四边形
活动三：探究正方形性质
活动四：典例精析
活动一：知识回顾
活动一：复习导入
活动二：探究正方形的判断
任务八：正方形的判断
活动三：典例精析
活动一；构建知识框架
活动二：知识梳理
任务九：回顾与思考
活动三：考点讲练
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分课时教学设计
第一课时《 正方形的性质 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是北师大版九年级数学上册第一章《特殊的平行四边形》1.3正方形的性质与判断的第一课时教学内容包括正方形的定义与性质：包括其边角关系以及对称性。其次将平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的联系建立起适合学生自己的知识结构并内化为自己数学品质的一部分。 总结、归纳是学生获取知识，内化知识的重要手段，老师只是在学生将某些知识或思想方法遗忘时进行适当的引导即可。因为学习的意义首先便是吸引受教育对象的主动参与，然后才会有后续的认知探究；其次这种亲身参与获得的感受与收获更容易内化为学生自身的认知结构；再次这种多个交流对象间的交流甚至争论不仅加深了学生对知识的认知，更重要的是这是触发灵感、产生新问题的重要途径。
学习者分析 学生的知识技能基础：学生已经较为系统的学行四边形、矩形、菱形的基本性质与判定，已经具有了四边形的基本认知与知识结构，这些已有的认知结构可以迁移到正方形的学习中来。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些对四边形探索的具体方法，并能解决一些简单的现实问题，感受到数学信息的收集和处理的必要性和作用，获得了从事探究活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学目标 1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质，能正确运用正方形的性质解题 3.经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法。 4.培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值。
教学重点 理解正方形的定义和性质．
教学难点 掌握正方形的性质的应用方法，把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入教师活动1： 学生活动1： 知识回顾，引入新课。活动意图说明： 以旧知做铺垫，引导学生发现矩形、菱形的实质是由平行四边形角度、边长的变化得到的并启发学生考虑，若这两种变化同时发生在平行四边形上，则会得到什么样的图形？从而引出本课.环节二：探究正方形的定义教师活动2： 矩形怎样变化后就成了正方形呢 要使一个矩形成为正方形需添加的条件是：有一组邻边相等 菱形怎样变化后就成了正方形呢 要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是：有一个角是直角 探究小结 正方形定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形学生活动2： 参与活动：1矩形如何转化成正方形，2菱形如何转化成正方形。活动意图说明： 在动手探索中发现矩形与正方形、菱形与正方形的联系，从而得出正方形的定义。环节三：探究正方形的性质教师活动3： 1.正方形的四个角都是是直角，四条边相等。 已知正方形ABCD,求证：（1）∠A=∠B=∠C=∠D=90°，（2）AB=BC=CD=DA 证明∵ABCD是正方形， ∴∠A=90°， AB∥CD,AD∥BC（正方形定义） ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°（同旁内角互补） 又∵四边形ABCD是平行四边形且AD=AB（正方形的定义） ∴AB=DC,AD=BC(平行四边形对边相等） ∴AB=BC=CD=DA(等量代换） 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分。 已知正方形ABCD,求证：（1）AC=BD，（2）AO=BO=CO=DO (3)AC⊥BD 证明∵ABCD是正方形， ∴△ABD≌△CBD, ∴AC=BD, ∴AB=BC,∴△ABC是等腰三角形， ∠BAC=∠BCA=45°，∠DBC=∠DBA=45° ∴△ABO≌△CBO ∠AOB=∠COB=90° AO=CO,同理BO=DO,BO=CO ∴AO=BO=CO=DO,AC⊥BD 讨论：平行四边形、矩形、菱形正方形图形之间的变化关系 学生活动3： 1、证明正方形的 正方形的四个角都是是直角，四条边相等。正方形的对角线相等且互相垂直平分。 2、用数学语言表述正方形的性质。 讨论归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别。活动意图说明： 证明正方形性质1和性质2，通过小组讨论得出平行四边形、矩形、菱形、正方形的联系与区别，对于正方形的性质的理解和掌握，从图形、文字语言、数学语言三方面入手，到达数型结合，环节四：典例精析教师活动4： 例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF. (2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. ∵△BCE≌△DCF. ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°. ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.学生活动4： 自学例题，提出质疑。活动意图说明： 设计例题，意在培养学生的逻辑思维能力、推理能力、书写及语言表达能力，巩固正方形的性质，为正方形的判断做好铺垫。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.有一个内角是 直角 的平行四边形是矩形。 2.有一组 邻边 相等的平行四边形是菱形。 3.下列性质中：①对角相等；②对边相等；③对角互补；④对角线相等；⑤对角线互相平分；⑥对角线互相垂直；⑦一条对角线平分一组对角，矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是 ③④ ；菱形具有而一般的平行四边形不具有的性质是 ⑥⑦ 。 4.下列图形中既是中心对称又是轴对称的是 ③④⑤ （把序号填在横线上）①等边三角形，②平行四边形，③矩形，④线段，⑤菱形，⑥角。 5、正方形具有而一般菱形不一定具有的性质是（ C ） A.内角和为360° B.对角线平分内角 C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分 6、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（ D ） A.对边平行且相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.四个角都是直角 选做题： 7.如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H． （1）求证：△EAB≌△GAD； （2）若AB＝3，AG＝3，求EB的长． （1）证明： ∵四边形ABCD，AGFE是正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG， ∴∠EAB＝∠GAD， 在△AEB和△AGD中， ， ∴△EAB≌△GAD（SAS）； （2）∵△EAB≌△GAD， ∴EB＝GD， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝， ∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝6， ∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝3， ∵AG＝3， ∴OG＝OA+AG＝6， ∴GD＝， ∴EB＝． 【综合拓展类作业】 8.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AC为一边作正方形ACDE，过点D作DF⊥BC交直线BC于点F，则BF的长为 2或10． 9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为 4． 第9题 第10题 10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为 9 ． 11.如图，在正方形ABCD中，两条对角线相交于O点，OA=2，求∠AOB、∠OAB的度数及BD、AB的长。 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠AOB=90°,AC=2OA=4,AC=BD。 ∴∠OAB=1/2∠BAD=1/2×90°=45°,BD=4， 在Rt△ABC中， AB +BC =AC , ∴AB=2
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在正方形ABCD中，AB=2㎝，则AC= 2 ， BD=2 ， OB=， OD= 。 2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 22.5° 。 3.如图,四边形OBCD是正方形,O,D两点的坐标分别是(0,0),(0,6),点C在第一象限,则点C的坐标是（ D ） A. B. C. D. 4.面积为8的正方形的对角线的长是（ D ） A. B. C. D. 5.如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EGAB,EIAD, FHAB,FJAD,垂足分别为G,I,H,J,则图中阴影部分的面积等于（ B ） A. B. C. D. 选做题： 6．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF． （2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长． （1）证明：∵正方形ABCD中， ∴AB＝BC， ∠ABE＝∠BCF＝90°， ∵∠AOF＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠BAE+∠OBA＝90°， 又∵∠FBC+∠OBA＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF（同角的余角相等）， ∴△ABE≌△BCF（ASA）． ∴BE＝CF； （2）解：如图，过点A作AM∥GH交BC于M， 过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′， 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ∴EF＝BN，GH＝AM， ∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN， ∴∠NO′A＝90°， 故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN， ∴GH＝EF＝4； 【综合拓展类作业】 7．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（ B ） A．S＝6 B．S＝8 C．S＝10 D．S与BE长度有关 8．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（ C ） A．1 B． C． D．2 第7 题 第 8题 如图，正方形ABCD的边长为2．以对角线BD为边作菱形BEFD．点C，E，F在同一直线上，求CE的长． 解：过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G． ∵BD∥EF， ∴∠ECG＝∠DBC＝45°， ∴△ECG是等腰直角三角形， ∴EG＝CG， 设EG＝x，则BG＝2+x， 在Rt△BEG中，BE2＝BG2+EG2， 即（2）2＝（2+x）2+x2， 即x2+2x﹣2＝0， 解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去）， ∴EG＝﹣1， ∴CE＝EG＝﹣．
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
（北师大版版）九年级
上
1.3正方形的性质
特殊的平行四边形
第一章
“—”
教学目标
01
复习导入
02
新知讲解
03
课堂练习
05
04
课堂总结
05
作业布置
07
06
目录
07
内容总览
04
典例精析
教学目标
1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质，能正确运用正方形的性质解题
3.经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法。
4.培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值
复习导入
四边形
两组对边分别平行
平行四边形
矩 形
菱 形
一角为90°
一组邻边相等
一组对边分别平行
新知讲解
任务一：探究正方形的定义
矩 形
正方形
矩形怎样变化后就成了正方形呢
要使一个矩形成为正方形需添加的条件是
有一组邻边相等
新知讲解
菱形怎样变化后就成了正方形呢
正方形
要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是
有一个角是直角
新知讲解
矩 形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形 叫正方形
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正方形
探究小结
正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
新知讲解
任务一：探究正方形的性质
1.正方形的四个角都是是直角，四条边相等。
A
B
D
C
已知正方形ABCD,求证：（1）∠A=∠B=∠C=∠D=90°，（2）AB=BC=CD=DA
证明∵ABCD是正方形，
∴∠A=90°， AB∥CD,AD∥BC（正方形定义）
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°（同旁内角互补）
又∵四边形ABCD是平行四边形且AD=AB（正方形的定义）
∴AB=DC,AD=BC(平行四边形对边相等）
∴AB=BC=CD=DA(等量代换）
新知讲解
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分。
A
B
D
C
已知正方形ABCD,求证：（1）AC=BD，（2）AO=BO=CO=DO (3)AC⊥BD
o
证明∵ABCD是正方形，
∴△ABD≌△CBD, ∴AC=BD,
∴AB=BC,∴△ABC是等腰三角形，
∠BAC=∠BCA=45°，∠DBC=∠DBA=45°
∴△ABO≌△CBO
∠AOB=∠COB=90° AO=CO,同理BO=DO,BO=CO
∴AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
新知讲解
正方形的性质 边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言 符号语言
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
对边平行， 四条边都相等
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
四 个 角
都是直角
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD
轴对称图形 中心对称图形
新知讲解
图形之间的变化关系
典例精析
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
典例精析
(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）.
∵△BCE≌△DCF.
∴∠CBE=∠CDF.
∵∠DCF=90°.
∴∠CDF+∠F=90°.
∴∠CBE+∠F=90°.
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.有一个内角是 的平行四边形是矩形。
2.有一组 相等的平行四边形是菱形。
3.下列性质中：①对角相等；②对边相等；③对角互补；④对角线相等；⑤对角线互相平分；⑥对角线互相垂直；⑦一条对角线平分一组对角，矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是 ；菱形具有而一般的平行四边形不具有的性质是 。
4.下列图形中既是中心对称又是轴对称的是
（把序号填在横线上）①等边三角形，②平行四边形，③矩形，④线段，⑤菱形，⑥角。
直角
邻边
③④
⑥⑦
③④⑤
5、正方形具有而一般菱形不一定具有的性质是（ ）
A.内角和为360° B.对角线平分内角
C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分
6、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（ ）
A.对边平行且相等 B.对角线互相垂直
C.对角线相等 D.四个角都是直角
C
D
课堂练习
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）若AB＝3 ,AG＝3，求EB的长．
课堂练习
课堂练习
2或10．
课堂练习
11.如图，在正方形ABCD中，两条对角线相交于O点，OA=2，求∠AOB、∠OAB的度数及BD、AB的长。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠AOB=90°,AC=2OA=4,AC=BD。
∴∠OAB=1/2∠BAD=1/2×90°=45°,BD=4，
在Rt△ABC中， AB +BC =AC ,
∴AB=2
【综合拓展类作业】
课堂总结
归纳小结，内化知识
通过本节课的学习，你学习了哪些知识？
对于正方形定义和性质，你还有哪些疑问？
板书设计
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．在正方形ABCD中，AB=2㎝，则AC= ， BD= ， OB= ， OD= 。
2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 。
作业布置
D
D
B
作业布置
6．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
1）证明：∵正方形ABCD中，
∴AB＝BC，
∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵∠AOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠BAE+∠OBA＝90°，
又∵∠FBC+∠OBA＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF（同角的余角相等），
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴BE＝CF；
作业布置
（2）解：如图，过点A作AM∥GH交BC于M，
过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴EF＝BN，GH＝AM，
∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，
∴∠NO′A＝90°，
故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，
∴GH＝EF＝4；
【综合拓展类作业】
作业布置
B
C
作业布置
9. 如图，正方形ABCD的边长为2．以对角线BD为边作菱形BEFD．点C，E，F在同一直线上，求CE的长．
作业布置
Thanks!
2
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