中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《 正方形判断 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《正方形的判定》是北师大版数学教材九年级（上册）第一章的第三节内容。本节课是在学行四边形、菱形和矩形知识的基础上，对正方形判定方法的探索，是所学特殊四边形知识的综合运用。教材通过“将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？”的剪纸实验为引入引导学生探索正方形的判定方法；通过例题，结合正方形的判定和矩形的性质进行正方形的证明；最后探索正方形的中点四边形，是正方形的判定的再应用。这一节课既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、菱形、矩形的判定进行综合的不可缺少的重要环节。
学习者分析 在之前的学习中，学生已经借助折纸、画图、测量、猜想、证明等活动探索学行四边形、菱形、矩形的性质和判定，在本节第一课时学习了正方形的定义和性质。在相关知识的学习中，学生经历了“探索——发现——猜想——证明”的过程，初步体会了提出猜想后还应予以证明的意义，感受到了合情推理与演绎推理之间相互依赖和相互补充的辩证关系，因此学生已经具有一定的推理证明的能力。八年级时学生还学习了三角形中位线定理，为本节课探究正方形的中点四边形作了铺垫。因此学生已经具备知识基础和实验操作经验。
教学目标 1. 理解正方形与矩形、菱形的关系，会识别正方形； 2. 以折纸为主线，以几何直观的方式，探索各种正方形的识别方法； 3. 经历探索四边形成为正方形的条件的过程，培养学生直观想象、数学抽象的能力，以及动手操作的能力和主动探究的意识。
教学重点 探索正方形的判定方法；
教学难点 能运用正方形的判定方法解决有关问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入教师活动1： 1、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 2、根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√” 平行四边形、矩形、菱形的判定。 学生活动1： 复习平行四边形、矩形、菱形、长方形之间的关系。 复习四边形、矩形、菱形、长方形的性质。 复习菱形、矩形的判断方法。活动意图说明： 通过对平行四边形、矩形、菱形长方形的性质的复习，以及对的菱形、矩形的判断复习，为本节课在菱形、长方形的的基础上得到正方形判断作铺垫。环节二：探究正方形的判断教师活动2： 1、做一做：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形？（剪口与折痕成 45°角） 2、问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？ 问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形判断定理 1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.对角线互相垂直的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形. 4.对角线相等的菱形是正方形. 正方形的判断方法 定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 菱形、矩形法：既是矩形又是菱形(或者既是菱形又是矩形)的四边形是正方形。 （1）一组邻边相等的矩形是正方形 （2）有一个角是直角的菱形是正方形 3、对角线法：两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 下面三个图形是正方形吗？你判断的根据是什么 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 既是菱形又是矩形的四边形是正方形。学生活动2： 1、折剪纸，由长方形怎样变成正方形。 2、思考问题2、3，得出正方形的3种（正方形定义法、菱形矩形法、对角线法）判断方法活动意图说明： 以学生熟悉的剪纸为引入，，使学生深刻体会到数学来源于生活，又服务于生活，再一次直观感受到判定正方形的依据——矩形且菱形，进一步体会推理的过程，感受数学的生动和严谨。环节三：典例精析教师活动3： 例题1：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. 证明：∵BF∥CE，CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形 又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC， CE平分∠DCB ∴∠EBA=∠ECB=45° ∴BE=CE ∴四边形BECF是菱形 又∵∠BEC=90° ∴四边形BECF是正方形． 例题2：已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD，四条边上的点，并且AA‘=BB’=CC‘=DD’。求证：四边形A'B'C'D'是正方形 证题思路分析 从条件分析： ①由已知正方形证三角形全等； ②证得菱形； ③再证直角； ④是正方形 从结论分析 ①证明是正方形就先证是菱形， 即证四边相等； ②再证又是矩形，即证明有一个角是直角。 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA。 又∵A`A=B`B=C`C=D`D， ∴D`A=A`B=B`C=C`D。 ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`， A`D`=A`B`=B`C`=C`D`。 ∴四边形A`B`C`D`是菱形。 又∵∠AD`A`=∠BA`B`， ∠ AA`D`+∠AD`A`=90°， ∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 ° ∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°， ∴四边形A`B`C`D`是正方形。 例题3：如图:△ABC中, ∠ACB=90°,CD平分∠ACB, DE⊥BC,:DF ⊥AC,垂足分别为E,F，求证:四边形CFDE是正方形. 分析：要证明四边形CFDE是正方形,可以先证四边形CFDE是矩形,然后再证明有一组邻边相等;也可以先证四边形CFDE是菱形,然后再证有一个角是直角. 证明：∵CD平分∠ACB, DE⊥BC,DF ⊥AC， 又∵ ∠ DEC= ∠ ECF= ∠ CFD =90°, ∴DE=DF(角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∴四边形 CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）， ∴四边形 CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．学生活动3： 教师引导学生思考解决问题的思路，自学例题，提出质疑，小组讨论解决疑或。活动意图说明： 设计例题进一步应用和巩固所学知识。将新知识内化入学生已有的认知结构，突破了本节的难点。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（ C ） A．当AB＝BC时，它是矩形 B．当AC＝BD时，它是菱形 C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形 2．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（ A ） A．2 B． C．3 D． 3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（ B ） A．S＝6 B．S＝8 C．S＝10 D．S与BE长度有关 4．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（ C ） A．1 B． C． D．2 5．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD边长为1．则重叠部分四边形EMCN的面积为（ D ） A． B． C． D． 6．如图，将边长为2的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（D ） A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（，﹣1） D．（﹣，1） 选做题： 7.已知：如图点E、F、G、H分别是正方形ABCD的四条边上的中点.求证：四边形EFGH是正方形. 方法1: 证明：连接AC、BD ∵正方形ABCD ∴AC=BC，AC⊥BD ∴∠1=90° ∵E、H分别为AB、AD的中点 ∴EH为△ABD的中位线 ∴EH=BD，EH∥BD 同理，GF=BD，HG=AC， EF= AC，HG∥AC ∴EH=GF=HG=EF ∴菱形EFGH ∵HG∥AC，∠1=90° ∴∠2=180－∠1=90° ∵EH∥BD ∴∠3=90° ∴矩形EFGH ∴正方形EFGH （既是菱形又是矩形的四边形是正方形） 方法2: 证明：∵正方形ABCD ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∵ E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点 ∴ AE=BE=BF=CF=CG=DG=DH=AH ∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG ∠1=∠2=45° ∴ EF=FG=GH=EH ∴菱形EFGH ∵ ∠1=∠2=45° ∴ ∠EHG=180－∠1－∠2=90° ∴矩形EFGH ∴正方形EFGH （既是菱形又是矩形的四边形是正方形） 【综合拓展类作业】 8.如图，已知在△ABC中，点D是BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．请分别回答下列问题，并简述理由. （不添加任何线段） （1）四边形AEDF是什么四边形？ 解： ∵ DE∥AC，DF∥AB ∴ 四边形AEDF是平行四边形 （2）当满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？ 解： ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形 ∴ ∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形 （3）当满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？ 解：∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∴ 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形 (4）当满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？ 解：∵既是矩形又是菱形的四边形是正方形， ∴∠BAC=90°且AD平分∠BAC时，四边形AEDF是正方形． 9.已知: 如图, 在△ABC中, ∠BAC=90°, AD平分∠BAC, DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别是E，F. 求证：四边形AEDF是正方形. 证明： ∵∠BAC=90°, DE⊥AB, DF⊥AC, ∴四边形AEDF是矩形． 又∵ AD平分∠BAC, DE⊥AB, DF⊥AC, ∴DE=DF ∴四边形AEDF是正方形
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： １．判断下面说法是否正确 （1）对角线相等的菱形是正方形 （2）对角线互相垂直的矩形是正方形 （3）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 （4）四条边都相等的四边形是正方形 （5）四个角都相等的四边形是正方形 2．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA＝1，PB＝PD＝，则∠APB的度数为 105°． 3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为8，则正方形ABCD的面积为 16 ． 4.如图,将矩形纸片折叠,使A点落在BC上的F处,折痕为BE.连接EF后展开,若沿EF剪下,则折叠部分是一个正方形,其数学原理是（ A ） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（ A ） A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 选做题： 6.已知在正方形ABCD中，AC＝6，点P从点A出发，沿AC方向以每秒个单位的速度向终点C运动，同时，点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，设点Q运动的时间为t（t＞0），当△PQB为等腰三角形时，t的值为 或 ． 【综合拓展类作业】 7.如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且 AE=BF=CG=DH. 证明四边形EFGH是正方形. 证明：∵正方形ABCD ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∵ AE=BF=CG=DH ∴ BE=CF=DG=AH ∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG ∴ EF=FG=GH=EH， ∠1=∠3 ∴菱形EFGH ∵ ∠2+∠3= 90° ∴ ∠2+∠1=90 ° ∴ ∠EHG= 90° ∴矩形EFGH ∴正方形EFGH （既是菱形又是矩形的四边形是正方形）
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 九年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第一章
课标要求 1、理解平行四边形，矩形、菱形、正方形的概念，以及它们的关系。2、探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角、对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；正方形的四条边相等，四个角都是直角。3、探索并证明矩形、菱形、正方形的判断定理：三个角是直角的四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、四条边相等的四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正方形具有矩形和菱形的一切性质。
内容分析 本章内容包括：菱形的性质与判断，矩形的性质与判断，正方形的性质与判断。本章在学习平行四边形的基础上研究特殊的平行四边形，通过平行四边形的边角特殊化，研究菱形、矩形、正方形等特殊的平行四边形。认识这些图形的联系与区别，明确它们的内涵与外延，探索菱形、矩形、正方形的性质定理与判断定理，进一步研究命题与逆命题的关系，发展学生的合理推理和演绎推理的能力。菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质定理和判定定理的研究与平行四边形的性质定理和判定定理的研究一脉相承。本章的学习有利于深化对平行四边形的理解，以及对识图画图等操作技能的掌握，丰富学生数学活动经验，促进其良好的数学观的形成。本章渗透归纳、类比、转化等数学思想，注重通过引导探索过程渗透与展现证明的思路，此外还要引导学生探索证明的不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，通过分析、寻求证明思路的能力。
学情分析 特殊的平行四边形（菱形、矩形、正方形）是在学行四边形的基础上进行的，学生对平行四边形有一定的认识，小学也接触到矩形、菱形、正方形的一些简单运用，本章主要学习菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理以及他们的区别和联系，研究过程主要通过中以类比、归纳为主要方法。同时，九年级学生已经具备了总结、归纳的能力，利用课堂中互相评价、互提提问，使课堂的参与度得到提高。
单元目标 （一）教学目标1、经历菱形、矩形、正方形概念的抽象过程，以及他们的性质与判断的探究，猜测与证明的过程，丰富数学活动经验，进一步发展学生的合情推理与演绎推理的能力。2、理解菱形、矩形、正方形的概念，了解他们与平行四边形的关系，进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法，增强发现问题和提出问题的能力，通过自己动手的经历体会图形的变化过程，进一步发展学生的空间观念。3、证明菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理， 并证明其他相关结论。4、探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。5、经历运用数学符号和图形描述命题思维条件和结论过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。6、通过“猜测-总结-证明-运用”的数学活动，提升学科素养。教学重点、难点重点是矩形、菱形、正方形的判断定理和性质定理探究过程及综合运用。难点是矩形、菱形、正方形概念之间的联系与综合运用知识的能力培养。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1菱形的性质12菱形的判断13菱形的面积14矩形的性质15矩形的判断16矩形的综合运用17正方形的性质18正方形的判断19回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务菱形的性质1、通过观察菱形与平形四边形的联系，能说出菱形的概念。2、通过交流讨论，折纸活动，能探索出菱形的性质。3、 通过小组合作，教师点拨，能用综合法证明菱形的性质定理并会简单应用1、回顾旧知。2、欣赏菱形在日常生活中应用的案例。抽象出菱形的定义。3、折纸并思考，猜想菱形的性质，并与同伴交流，得结论：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直。4、极思考，讨论，并在教师点拨下获得证明思路与方法，正确进行书面表达。5、积极思考，讨论，并在教师点拨下获得解题思路与方法，并能够正确的书面表达。环节一：温故知新环节二：探究菱形的性质。环节三：典例分析菱形的判断1、类比平行四边形的学习，使学生经历“实验—猜想—证明—归纳—应用”的数学活动，探索菱形判定定理并解决简单的问题，积累研究问题和解决问题的经验，渗透类比思想。2、通过对菱形判定方法的猜想，发展学生的合情推理能力。 通过菱形判定定理的证明，发展学生的演绎推理能力和有条理表达的能力。3、在活动中培养学生主动探究的意识。1、回顾旧知.2、动手操作，当两条木条成直角时，构成的四边形是菱形，并证明判断定理。3、动手操作，通过画图猜测当四条边相等的四边形是菱形，并证明判定定理4、自学例题1、2,。环节一：温故知新环节二：探究菱形判断。环节三：典例分析菱形的面积1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。3.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力1、学生完成练习并用数学语言描述菱形的性质。2、探究菱形的面积计算公式，3、探究对角线互相垂直的四边形的面积计算公式。4、教师师引导学生完成例题1、2的解答，弄清解题思路。环节一：复习导入环节二：探究菱形的面积。环节三：典例分析矩形的性质1.经历探索矩形的概念和有关性质的过程，掌握矩形的概念和矩形的性质定理.2.了解矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形.3.经历利用矩形的定义探索矩形的性质的过程，培养动手实践能力、观察、推理的意识，发展逻辑思维，获得从一般到特殊的数学思维经验，掌握转化数学思想.1、回顾旧知。2、利用活动的平行四边形学具理解矩形的定义。3、通过观察猜测验证的方法探究矩形的四个角是直角，对角线相等。4、根据矩形的对角线互相平分和对角线相等，探究直角三角形斜边的中线等于斜边的一半5、自学例题1、2，关注答题的规范性和合理性。环节一：复习导入环节二：探究矩形性质。环节三：典例分析矩形的判断理解并掌握矩形的判定方法；2、会利用矩形的判定方法，进行简单的证明。3、经历探索矩形的判定过程，培养观察、推理、证明的意识，发展逻辑思维能力。4、体验矩形判定方法的探究过程，提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识，增强对数学的好奇心和求知欲。1、学生先回顾矩形的定义和性质，单独回答并分析。2、学生独立思考，容易得出由矩形的定义能判定一个平行四边形是矩形。3、猜测对角线相等的平行四边形是矩形。并加以证明。4、通过画图比较，学生说出矩形的第三种判定方法，也是矩形的判定定理二：有三个角是直角的四边形是矩形。并加以证明.5.根据矩形的判断定理，解决实际问题，教师关注学困生。环节一：复习导入环节二：探究矩形的判断。环节三：典例分析矩形的综合运用知识与技能：理解并掌握矩形的判定方法；2、会利用矩形的判定方法，进行简单的证明。过程与方法：经历探索矩形的判定过程，培养观察、推理、证明的意识，发展逻辑思维能力。情感态度价值观：体验矩形判定方法的探究过程，提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识，增强对数学的好奇心和求知欲。理解四边形、平行四边形、矩形的从属关系。复习矩形的性质和直角三角形斜边中线、30°的直角边与斜边的关系。3、分小组合作交流，解决四个例题。4、汇报合作探究结果。5、展示论证严谨书写规范的作品。环节一：知识回顾环节二：典例精析。正方形的性质1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。2.掌握正方形的性质，能正确运用正方形的性质解题3.经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法。4.培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值。1、知识回顾，引入新课。2、参与活动：1矩形如何转化成正方形，2菱形如何转化成正方形。3、证明正方形的正方形的四个角都是是直角，四条边相等。正方形的对角线相等且互相垂直平分。4、用数学语言表述正方形的性质。5讨论归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别。6、自学例题，提出质疑。环节一：复习导入环节二：探究正方形的定义。环节三：探究正方形的性质。环节四：典例精析。正方形的判断1. 理解正方形与矩形、菱形的关系，会识别正方形；2. 以折纸为主线，以几何直观的方式，探索各种正方形的识别方法；3. 经历探索四边形成为正方形的条件的过程，培养学生直观想象、数学抽象的能力，以及动手操作的能力和主动探究的意识复习平行四边形、矩形、菱形、长方形之间的关系。复习四边形、矩形、菱形、长方形的性质。复习菱形、矩形的判断方法。4、折剪纸，由长方形怎样变成正方形。5、思考问题2、3，得出正方形的3种（正方形定义法、菱形矩形法、对角线法）判断方法。6、教师引导学生思考解决问题的思路，自学例题，提出质疑，小组讨论解决疑或。环节一：复习导入环节二：探究正方形的判断。环节三：典例分析回顾与思考1、通过本章内容的回顾与梳理，使学生对所学的知识进行系统复习与归纳。2、了解四边形、特殊四边形的关系及转化条件，在反思交流的过程中，逐渐建立知识体系。3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养学生的说理习惯与能力。1、回顾知识，建立知识框架。2、梳理特殊平行四边形的性质及判定定理。3、经历特殊的平行四边形性质和判断定理的典例精析，完成相应的针对练习。环节一：构建知识框架环节二：知识梳理。环节三：考点讲练
《特殊的平行四边形》单元教学设计
活动一：温故知新
活动二：探究菱形的性质
任务一：菱形的性质
活动三：典例精析
活动一：温故知新
任务二：菱形的判断
活动二：探究菱形的判断
特殊的平行四边形
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究菱形的面积计算
任务三：菱形的面积
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究矩形的性质
任务四：矩形的性质
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究矩形的判断
任务五：矩形的判断
活动三：典例精析
活动二：典例精析
任务六：矩形的综合练习
活动一：复习导入
活动二：探究正方形定义
任务七：正方形的性质
特殊的平行四边形
活动三：探究正方形性质
活动四：典例精析
活动一：知识回顾
活动一：复习导入
活动二：探究正方形的判断
任务八：正方形的判断
活动三：典例精析
活动一；构建知识框架
活动二：知识梳理
任务九：回顾与思考
活动三：考点讲练
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
（北师大版版）九年级
上
1.2 正方形的判断
特殊的平行四边形
第一章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1. 理解正方形与矩形、菱形的关系，会识别正方形；
2. 以折纸为主线，以几何直观的方式，探索各种正方形的识别方法；
3. 经历探索四边形成为正方形的条件的过程，培养学生直观想象、数学抽象的能力，以及动手操作的能力和主动探究的意识。
复习导入
图形之间的变化关系
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”
复习导入
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
平行四边形、矩形、菱形的判定
复习导入
5种识别方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
新知讲解
做一做：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形
展开后是个正方形？
（1）
（2）
（3）
（4）
剪口与折痕成 45°角
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角
或对角线相等
正方形
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
正方形判断定理
新知讲解
正方形的判断方法
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
1、定义法
2、菱形、矩形法
3、对角线法
既是矩形又是菱形(或者既是菱形又是矩形)的四边形是正方形。
1）一组邻边相等的矩形是正方形
2） 有一个角是直角的菱形是正方形
两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
新知讲解
6
6
5
5
5
5
7
7
7
7
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
下面三个图形是正方形吗？你判断的根据是什么
两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
典例精析
例题1：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE
∴四边形BECF是平行四边形
又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，
CE平分∠DCB
∴∠EBA=∠ECB=45°
∴BE=CE
∴四边形BECF是菱形
又∵∠BEC=90°
∴四边形BECF是正方形．
典例精析
例题2：已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD，四条边上的点，并且AA‘=BB’=CC‘=DD’。
求证：四边形A'B'C'D'是正方形
A
B
C
D
C/
A/
B/
D/
证题思路分析
①由已知正方形证三角形全等；
②证得菱形；
③再证直角；
④是正方形
从条件分析
从结论分析
①证明是正方形就先证是菱形， 即证四边相等；
②再证又是矩形，即证明有一个角是直角。
典例精析
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA。
又∵A`A=B`B=C`C=D`D，
∴D`A=A`B=B`C=C`D。
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`，
A`D`=A`B`=B`C`=C`D`。
∴四边形A`B`C`D`是菱形。
又∵∠AD`A`=∠BA`B`， ∠ AA`D`+∠AD`A`=90°，
∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 °。
∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°，
∴四边形A`B`C`D`是正方形。
典例精析
例题3：如图:△ABC中, ∠ACB=90°,CD平分∠ACB, DE⊥BC,:DF ⊥AC,垂足分别为E,F，求证:四边形CFDE是正方形.
分析：要证明四边形CFDE是正方形,可以先证四边形CFDE是矩形,然后再证明有一组邻边相等;也可以先证四边形CFDE是菱形,然后再证有一个角是直角.
证明：∵CD平分∠ACB, DE⊥BC,DF ⊥AC，
又∵ ∠ DEC= ∠ ECF= ∠ CFD =90°,
∴DE=DF(角平分线上的点到角的两边的距离相等）
∴四边形 CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴四边形 CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
A
B
C
D
E
F
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A.当AB=BC时，它是菱形 B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当∠ABC=90°时，它是矩形 D.当AC=BD时，它是正方形
2.下列说法不正确的是( )
Ａ.对角线互相垂直的矩形是正方形 Ｂ.对角线相等的菱形是正方形
Ｃ.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ.有一个角是直角的菱形是正方形
D
C
课堂练习
3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则
A．S＝6 B．S＝8 C．S＝10 D．S与BE长度有关
4．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是
A．1 B． C． D．2
B
C
课堂练习
5．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD边长为1．则重叠部分四边形EMCN的面积为
D
6．如图，将边长为2的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为
D
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
7.已知：如图点E、F、G、H分别是正方形ABCD的四条边上的中点.
求证：四边形EFGH是正方形.
证明：连接AC、BD
∵正方形ABCD
∴AC=BC，AC⊥BD ∴∠1=90°
∵E、H分别为AB、AD的中点
∴EH为△ABD的中位线
∴EH= BD，EH∥BD
同理，GF= BD，HG= AC，
EF= AC，HG∥AC
1
2
3
∴EH=GF=HG=EF
∴菱形EFGH
∵HG∥AC，∠1=90°
∴∠2=180－∠1=90°
∵EH∥BD ∴∠3=90°
∴矩形EFGH
∴正方形EFGH
（既是菱形又是矩形的四边形是正方形）
方法1:
课堂练习
1
2
7.已知：如图点E、F、G、H分别是正方形ABCD的四条边上的中点.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵正方形ABCD
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵ E、F、G、H分别是AB、BC、 CD、DA的中点
∴ AE=BE=BF=CF=CG=DG=DH=AH
∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∠1=∠2=45°
∴ EF=FG=GH=EH
∴菱形EFGH
∵ ∠1=∠2=45°
∴ ∠EHG=180－∠1－∠2=90°
∴矩形EFGH
∴正方形EFGH
（既是菱形又是矩形的四边形是正方形）
方法2:
【综合拓展类作业】
课堂练习
8.如图1，已知在△ABC中，点D是BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．请分别回答下列问题，并简述理由. （不添加任何线段）
（1）四边形AEDF是什么四边形？
解： ∵ DE∥AC，DF∥AB
∴ 四边形AEDF是平行四边形
（2）当满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
解： ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形
∴ ∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形
（3）当满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？
课堂练习
解：∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴ 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形
(4）当满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
解：∵既是矩形又是菱形的四边形是正方形，
∴∠BAC=90°且AD平分∠BAC时，四边形AEDF是正方形．
9.已知: 如图, 在△ABC中, ∠BAC=90°, AD平分∠BAC, DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别是E，F. 求证：四边形AEDF是正方形.
A
E
D
F
B
C
证明：
∵∠BAC=90°, DE⊥AB, DF⊥AC,
∴四边形AEDF是矩形．
又∵ AD平分∠BAC, DE⊥AB, DF⊥AC,
∴DE=DF
∴四边形AEDF是正方形．
课堂练习
课堂总结
正方形的判定
1、定义法 2、矩形菱形法 3、对角线法
板书设计
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
１．判断下面说法是否正确
（1）对角线相等的菱形是正方形
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形
（3）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
（4）四条边都相等的四边形是正方形
（5）四个角都相等的四边形是正方形
√
√
√
×
×
作业布置
2．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA＝1，PB＝PD＝ ，则∠APB的度数为( )
3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°△ECF的周长为8，则正方形ABCD的面积为（ ）
4.如图,将矩形纸片折叠,使A点落在BC上的F处,折痕为BE.连接EF后展开,若沿EF剪下,则折叠部分是一个正方形,其数学原理是（ ）
A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 两个全等的直角三角形构成正方形D. 轴对称图形是正方形
105°
16
A
作业布置
A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥
A
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
作业布置
7.如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且 AE=BF=CG=DH. 证明四边形EFGH是正方形.
1
2
3
证明：∵正方形ABCD
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵ AE=BF=CG=DH
∴ BE=CF=DG=AH
∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴ EF=FG=GH=EH， ∠1=∠3
∴菱形EFGH
∵ ∠2+∠3= 90°
∴ ∠2+∠1=90 °
∴ ∠EHG= 90°
∴矩形EFGH
∴正方形EFGH
（既是菱形又是矩形的四边形是正方形）
Thanks!
2
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
