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学 科 数学 年 级 九年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第一章
课标要求 1、理解平行四边形，矩形、菱形、正方形的概念，以及它们的关系。2、探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角、对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；正方形的四条边相等，四个角都是直角。3、探索并证明矩形、菱形、正方形的判断定理：三个角是直角的四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、四条边相等的四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正方形具有矩形和菱形的一切性质。
内容分析 本章内容包括：菱形的性质与判断，矩形的性质与判断，正方形的性质与判断。本章在学习平行四边形的基础上研究特殊的平行四边形，通过平行四边形的边角特殊化，研究菱形、矩形、正方形等特殊的平行四边形。认识这些图形的联系与区别，明确它们的内涵与外延，探索菱形、矩形、正方形的性质定理与判断定理，进一步研究命题与逆命题的关系，发展学生的合理推理和演绎推理的能力。菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质定理和判定定理的研究与平行四边形的性质定理和判定定理的研究一脉相承。本章的学习有利于深化对平行四边形的理解，以及对识图画图等操作技能的掌握，丰富学生数学活动经验，促进其良好的数学观的形成。本章渗透归纳、类比、转化等数学思想，注重通过引导探索过程渗透与展现证明的思路，此外还要引导学生探索证明的不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，通过分析、寻求证明思路的能力。
学情分析 特殊的平行四边形（菱形、矩形、正方形）是在学行四边形的基础上进行的，学生对平行四边形有一定的认识，小学也接触到矩形、菱形、正方形的一些简单运用，本章主要学习菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理以及他们的区别和联系，研究过程主要通过中以类比、归纳为主要方法。同时，九年级学生已经具备了总结、归纳的能力，利用课堂中互相评价、互提提问，使课堂的参与度得到提高。
单元目标 （一）教学目标1、经历菱形、矩形、正方形概念的抽象过程，以及他们的性质与判断的探究，猜测与证明的过程，丰富数学活动经验，进一步发展学生的合情推理与演绎推理的能力。2、理解菱形、矩形、正方形的概念，了解他们与平行四边形的关系，进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法，增强发现问题和提出问题的能力，通过自己动手的经历体会图形的变化过程，进一步发展学生的空间观念。3、证明菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理， 并证明其他相关结论。4、探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。5、经历运用数学符号和图形描述命题思维条件和结论过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。6、通过“猜测-总结-证明-运用”的数学活动，提升学科素养。教学重点、难点重点是矩形、菱形、正方形的判断定理和性质定理探究过程及综合运用。难点是矩形、菱形、正方形概念之间的联系与综合运用知识的能力培养。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1菱形的性质12菱形的判断13菱形的面积14矩形的性质15矩形的判断16矩形的综合运用17正方形的性质18正方形的判断19回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务菱形的性质1、通过观察菱形与平形四边形的联系，能说出菱形的概念。2、通过交流讨论，折纸活动，能探索出菱形的性质。3、 通过小组合作，教师点拨，能用综合法证明菱形的性质定理并会简单应用1、回顾旧知。2、欣赏菱形在日常生活中应用的案例。抽象出菱形的定义。3、折纸并思考，猜想菱形的性质，并与同伴交流，得结论：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直。4、极思考，讨论，并在教师点拨下获得证明思路与方法，正确进行书面表达。5、积极思考，讨论，并在教师点拨下获得解题思路与方法，并能够正确的书面表达。环节一：温故知新环节二：探究菱形的性质。环节三：典例分析菱形的判断1、类比平行四边形的学习，使学生经历“实验—猜想—证明—归纳—应用”的数学活动，探索菱形判定定理并解决简单的问题，积累研究问题和解决问题的经验，渗透类比思想。2、通过对菱形判定方法的猜想，发展学生的合情推理能力。 通过菱形判定定理的证明，发展学生的演绎推理能力和有条理表达的能力。3、在活动中培养学生主动探究的意识。1、回顾旧知.2、动手操作，当两条木条成直角时，构成的四边形是菱形，并证明判断定理。3、动手操作，通过画图猜测当四条边相等的四边形是菱形，并证明判定定理4、自学例题1、2,。环节一：温故知新环节二：探究菱形判断。环节三：典例分析菱形的面积1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。3.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力1、学生完成练习并用数学语言描述菱形的性质。2、探究菱形的面积计算公式，3、探究对角线互相垂直的四边形的面积计算公式。4、教师师引导学生完成例题1、2的解答，弄清解题思路。环节一：复习导入环节二：探究菱形的面积。环节三：典例分析矩形的性质1.经历探索矩形的概念和有关性质的过程，掌握矩形的概念和矩形的性质定理.2.了解矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形.3.经历利用矩形的定义探索矩形的性质的过程，培养动手实践能力、观察、推理的意识，发展逻辑思维，获得从一般到特殊的数学思维经验，掌握转化数学思想.1、回顾旧知。2、利用活动的平行四边形学具理解矩形的定义。3、通过观察猜测验证的方法探究矩形的四个角是直角，对角线相等。4、根据矩形的对角线互相平分和对角线相等，探究直角三角形斜边的中线等于斜边的一半5、自学例题1、2，关注答题的规范性和合理性。环节一：复习导入环节二：探究矩形性质。环节三：典例分析矩形的判断理解并掌握矩形的判定方法；2、会利用矩形的判定方法，进行简单的证明。3、经历探索矩形的判定过程，培养观察、推理、证明的意识，发展逻辑思维能力。4、体验矩形判定方法的探究过程，提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识，增强对数学的好奇心和求知欲。1、学生先回顾矩形的定义和性质，单独回答并分析。2、学生独立思考，容易得出由矩形的定义能判定一个平行四边形是矩形。3、猜测对角线相等的平行四边形是矩形。并加以证明。4、通过画图比较，学生说出矩形的第三种判定方法，也是矩形的判定定理二：有三个角是直角的四边形是矩形。并加以证明.5.根据矩形的判断定理，解决实际问题，教师关注学困生。环节一：复习导入环节二：探究矩形的判断。环节三：典例分析矩形的综合运用知识与技能：理解并掌握矩形的判定方法；2、会利用矩形的判定方法，进行简单的证明。过程与方法：经历探索矩形的判定过程，培养观察、推理、证明的意识，发展逻辑思维能力。情感态度价值观：体验矩形判定方法的探究过程，提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识，增强对数学的好奇心和求知欲。理解四边形、平行四边形、矩形的从属关系。复习矩形的性质和直角三角形斜边中线、30°的直角边与斜边的关系。3、分小组合作交流，解决四个例题。4、汇报合作探究结果。5、展示论证严谨书写规范的作品。环节一：知识回顾环节二：典例精析。正方形的性质1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。2.掌握正方形的性质，能正确运用正方形的性质解题3.经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法。4.培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值。1、知识回顾，引入新课。2、参与活动：1矩形如何转化成正方形，2菱形如何转化成正方形。3、证明正方形的正方形的四个角都是是直角，四条边相等。正方形的对角线相等且互相垂直平分。4、用数学语言表述正方形的性质。5讨论归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别。6、自学例题，提出质疑。环节一：复习导入环节二：探究正方形的定义。环节三：探究正方形的性质。环节四：典例精析。正方形的判断1. 理解正方形与矩形、菱形的关系，会识别正方形；2. 以折纸为主线，以几何直观的方式，探索各种正方形的识别方法；3. 经历探索四边形成为正方形的条件的过程，培养学生直观想象、数学抽象的能力，以及动手操作的能力和主动探究的意识复习平行四边形、矩形、菱形、长方形之间的关系。复习四边形、矩形、菱形、长方形的性质。复习菱形、矩形的判断方法。4、折剪纸，由长方形怎样变成正方形。5、思考问题2、3，得出正方形的3种（正方形定义法、菱形矩形法、对角线法）判断方法。6、教师引导学生思考解决问题的思路，自学例题，提出质疑，小组讨论解决疑或。环节一：复习导入环节二：探究正方形的判断。环节三：典例分析回顾与思考1、通过本章内容的回顾与梳理，使学生对所学的知识进行系统复习与归纳。2、了解四边形、特殊四边形的关系及转化条件，在反思交流的过程中，逐渐建立知识体系。3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养学生的说理习惯与能力。1、回顾知识，建立知识框架。2、梳理特殊平行四边形的性质及判定定理。3、经历特殊的平行四边形性质和判断定理的典例精析，完成相应的针对练习。环节一：构建知识框架环节二：知识梳理。环节三：考点讲练
《特殊的平行四边形》单元教学设计
活动一：温故知新
活动二：探究菱形的性质
任务一：菱形的性质
活动三：典例精析
活动一：温故知新
任务二：菱形的判断
活动二：探究菱形的判断
特殊的平行四边形
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究菱形的面积计算
任务三：菱形的面积
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究矩形的性质
任务四：矩形的性质
活动三：典例精析
活动一：复习导入
活动二：探究矩形的判断
任务五：矩形的判断
活动三：典例精析
活动二：典例精析
任务六：矩形的综合练习
活动一：复习导入
活动二：探究正方形定义
任务七：正方形的性质
特殊的平行四边形
活动三：探究正方形性质
活动四：典例精析
活动一：知识回顾
活动一：复习导入
活动二：探究正方形的判断
任务八：正方形的判断
活动三：典例精析
活动一；构建知识框架
活动二：知识梳理
任务九：回顾与思考
活动三：考点讲练
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分课时教学设计
第一课时《 特殊的平行四边形回顾与思考 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 特殊的平行四边形是初中数学重要内容之一，主要包括菱形、矩形、正方形的定义、性质和判定。考查形式常以选择、填空、计算、证明等形式出现。本节课主要以学生的自主、合作探究为主体，教师的适时引导为辅的教学方式。采用类比、归纳的方法，让学生比较特殊平行四边形的性质、判定的异同和联系，帮助学生掌握知识，培养学生类比、转化、推导、论证的数学思维品质。
学习者分析 特殊的平行四边形（菱形、矩形、正方形）是在学行四边形的基础上进行的，学生对平行四边形有一定的认识，小学也接触到矩形、菱形、正方形的一些简单运用，本章主要学习菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理以及他们的区别和联系，研究过程主要通过中以类比、归纳为主要方法。同时，九年级学生已经具备了总结、归纳的能力，利用课堂中互相评价、互提提问，使课堂的参与度得到提高。
教学目标 1、通过本章内容的回顾与梳理，使学生对所学的知识进行系统复习与归纳。 2、了解四边形、特殊四边形的关系及转化条件，在反思交流的过程中，逐渐建立知识体系。 3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养学生的说理习惯与能力。
教学重点 平行四边形、特殊平行四边形的特征以及彼此之间的关系
教学难点 发展学生进一步的推理能力和解决问题的能力。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识架构教师活动1： 学生活动1： 回顾知识，建立知识框架。活动意图说明： 通过知识回顾，初步感知本章知识内容，建立知识框架，为后边的题目证明打下基础。环节二：知识梳理教师活动2： 学生活动2： 梳理特殊平行四边形的性质及判定定理。活动意图说明： 把所有特殊平行四边形放在一起复习他们的性质与判定，可以使学生类比记忆，效率更高，学习过程中要求发挥小组的作用，互相提问，以便加深印象，力求使每位学生都能熟练掌握。环节三：考点讲练教师活动3： 考点一 菱形的性质和判定 例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直) OB=OD=BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形ABD中， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴AB = BD = 6. A0= AC=2AO=6 针对练习 1. 已知：如右图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB= ，OA=2，OB=1. 求证： □ABCD是菱形. 证明：在△AOB中. ∵AB=，OA=2，OB=1. ∴AB2=AO2+OB2. ∴ △AOB是直角三角形，∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由. 解：四边形ABCD是菱形. 过点C作AB边的垂线交点E，作AD边上的垂线交点F. S 四边形ABCD=AD · CF =AB ·CE . 由题意可知 CE = CF 且 四边形ABCD是平行四边形. ∴AD = AB . ∴四边形ABCD是菱形. 考点二 矩形的性质和判定 例2：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD(矩形的对角线相等). OA= OC=AC,OB = OD = BD , (矩形对角线相互平分) ∴OA = OD. ∵∠AOD=120°, ∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°. 又∵∠DAB=90° , （矩形的四个角都是直角） ∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5. 例3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E． 求证：四边形AODE是菱形； 证明：∵AE∥BD，ED∥AC， ∴四边形AODE是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC=AC， OB=OD=BD， ∴OA=OC=OD， ∴四边形AODE是菱形. 针对练习 1、如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由. 解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°. ∵BE∥AC，CE∥BD， ∴四边形CEBO是平行四边形. ∴四边形CEBO是矩形. 2.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA= OC,OB = OD. 又∵△ABO是等边三角形, ∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°. ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8. ∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） . 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AB2 + BC2 =AC2 , ∴BC= . ∴S□ABCD=AB·BC=4×=16 3.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由. 解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°. ∵DE∥AC,CE∥BD， ∴四边形CEBO是平行四边形. ∴四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）. 考点三 正方形的性质和判定 例4 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE； (1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由； (2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论． 解：(1)四边形BECF是菱形． 理由如下：∵EF垂直平分BC， ∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠3＝∠1. ∵∠ACB＝90°， ∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°,∴∠2＝∠4， ∴EC＝AE，∴BE＝AE. ∵CF＝AE， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形； (2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形． 证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°， ∴菱形BECF是正方形． 例5 如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF. (1)求证：∠ECF＝90°； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由； (3)在(2)的条件下，△ABC应该满足什么条件时， 四边形AECF为正方形． 解：(1)证明：∵CE平分∠BCO， CF平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠ECF＝ ×180°＝90°. (2)：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下： ∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF. 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF. 又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形. （3）当点O运动到AC的中点时， 且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形． ∵由(2)知当点O运动到AC的中点时，四边形AECF 是矩形， 已知MN∥BC， 当∠ACB＝90°， 则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°， 即AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． 方法总结 正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定． 针对练习 1.如图，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线FC滑动，下列说法错误的是（ B ） A．四边形ACDF是平行四边形 B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 D．四边形ACDF不可能是正方形 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为 30 3.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4. (1)证明：△ABE≌△DAF； (2)若∠AGB＝30°，求EF的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD. 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF. (2) 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1＋∠4＝90°. ∵∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠AFD＝90°. 在正方形ABCD中， AD∥BC， ∴∠1＝∠AGB＝30°. 在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2， ∴AF＝，DF＝1. 由(1)得△ABE≌△DAF， ∴AE＝DF＝1， ∴EF＝AF－AE＝ －1.学生活动3： 经历特殊的平行四边形性质和判断定理的典例精析，完成相应的针对练习。活动意图说明： 这是本节课的难点，通过对菱形、矩形、正方形的性质和判断定理分的回顾与反思，经过小组合作，讨论，经历讲练结合，培养学生研究数学问题要严密，考虑问题要细致全面。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为 cm． 2．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为 cm2． 3．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝ ． 4．如图所示，直线经过正方形的顶点，分别过顶点、作于点、于点，若，，则的长为 ． 第3题 第4题 第5题 如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为 625 ． 选做题： 6．（问题情境） 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． （探究展示） （1）请你判断AM，AD，MC三条线段的数量关系，并说明理由； （2）AM = DE + BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （拓展延伸） （3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否仍然成立？请分别作出判断，不需要证明． 解：（1）AM=AD+MC．理由如下： 如图1（1）所示，分别延长AE，BC交于点N， ∵四边形ABCD是正方形，∴ADBC，∴∠DAE=∠ENC， ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE，∴∠ENC=∠MAE，∴MA=MN， ∵E是CD的中点，∴DE=CE， 在ADE与NCE中， ∴ADE≌NCE（AAS），∴AD=NC， ∵MN=NC+MC， ∴AM=AD+MC； （2）AM=DE+BM成立．理由如下： 如图1（2）所示，将ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABF， ∵四边形ABCD是正方形，∴ABDC，∠D=∠ABM=90°，∴∠AED=∠BAE， ∵旋转， ∴∠F=∠AED，∠FAB=∠EAD，BF=ED，∠D=∠ABF=90°，∴∠ABM＋∠ABF=180°， ∴点F、B、M在同一直线上， ∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE，∴∠BAF=∠MAE， ∵∠BAE=∠BAM+∠MAE，∴∠AED=∠BAM+∠BAF=∠FAM，∴∠F=∠FAM， ∴AM=FM， ∵FM=BF+BM ∴AM=DE+BM； （3）①结论AM=AD+MC仍然成立，理由如下： ①如图2（1），延长、交于点， 四边形是矩形， 平分， ． 在ADE与PCE中， ∴ADE≌PCE（AAS）， ∵MP=PC+MC，∴AM=AD+MC； ②结论不成立，理由如下： 假设成立． 过点作，交的延长线于点，如图2（2）所示． 四边形是矩形， ，． ， ． ， ， ． ， ， ．与条件“ “矛盾，故假设不成立． 不成立． 【综合拓展类作业】 7．如图，在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为，则当t为何值时，四边形是矩形？ 解：由题意得：AP=4t，DQ=20-t； ∵四边形APQD是矩形， ∴AP=DQ，即4t=20-t， 解得：t=4（s）． 即当t=4s时，四边形APQD是矩形． 8．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在上，且．求证：四边形是矩形． 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°；AC=BD，AO=AC，BO=BD；
∴AO=BO；而AM=BP，
∴AM：AO=BP：BO，
∴MP∥AB； 同理可证：QN∥CD；
∵AB∥CD，
∴MP∥QN； 同理可证：MQ∥PN，
∴四边形MPNQ是平行四边形；
∵MP∥AB，PN∥BC，∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴四边形MPNQ是矩形．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是( D ) A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6) 2．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( C ) A．4 B．6 C．8 D．10 第1题 第2题 第3题 3．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为( C ) A．20 B．30 C．40 D．50 4．已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为( D ) A．8 B．8 C．4 D．2 5．如果顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是( C ) A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分 选做题： 6.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点，度数为60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合． (1)求证：BE＝CF． (2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由． (1)证明：如图，连接AC． ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAC＝∠DAC＝60°． ∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∠1＋∠2＝60°． ∴∠ABE＝∠ACF＝60°，AB＝AC． ∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，∴∠1＝∠3． ∴△ABE≌△ACF(ASA)．∴BE＝CF． (2)解：四边形AECF的面积不变． 由(1)知△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF． 故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC． 如图，过点A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2， ∴AM＝＝＝2． ∴S△ABC＝BC·AM＝×4×2＝4． ∴S四边形AECF＝4． 【综合拓展类作业】 7．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF． (1)求证：△ABE≌△ADF； (2)若AE＝5，请求出EF的长． (1)证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°． 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF(SAS)． (2)解：∵△ABE≌△ADF， ∴AE＝AF＝5，∠BAE＝∠DAF． ∵∠BAE＋∠EAD＝90°， ∴∠DAF＋∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°． ∴EF＝＝5． 8．如图，在 ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC． (1)求证：四边形BECD是平行四边形； (2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________时，四边形BECD是矩形． (1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC． ∴∠OEB＝∠ODC． ∵O为BC的中点，∴BO＝CO． 在△BOE和△COD中， ∴△BOE≌△COD(AAS)． ∴OE＝OD． 又∵BO＝CO， ∴四边形BECD是平行四边形． (2)100° 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N． (1)求证：四边形BNDM是菱形； (2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长． (1)证明：∵AD∥BC， ∴∠DMO＝∠BNO． ∵MN是对角线BD的垂直平分线， ∴OB＝OD，MN⊥BD． 在△MOD和△NOB中， ∴△MOD≌△NOB(AAS)． ∴OM＝ON． ∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形． 又∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形． (2)解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10， ∴BM＝BN＝DM＝DN， OB＝BD＝12，OM＝MN＝5． 在Rt△BOM中，由勾股定理得BM＝＝＝13， ∴菱形BNDM的周长为4BM＝4×13＝52．
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共47张PPT)
（北师大版版）九年级
上
回顾与思考
特殊的平行四边形
第一章
“—”
教学目标
01
知识架构
02
考点讲练
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1、通过本章内容的回顾与梳理，使学生对所学的知识进行系统复习与归纳。
2、了解四边形、特殊四边形的关系及转化条件，在反思交流的过程中，逐渐建立知识体系。
3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养学生的说理习惯与能力。
知识框架
知识梳理
知识梳理
考点讲练
考点一 菱形的性质和判定
例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
A
B
C
O
D
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABD中，∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6.
考点讲练
1. 已知：如右图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB= ，OA=2，OB=1. 求证： □ABCD是菱形.
针对练习
A
B
C
O
D
证明：在△AOB中.
∵AB= ，OA=2，OB=1.
∴AB2=AO2+OB2.
∴ △AOB是直角三角形，∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴ □ABCD是菱形
(对角线垂直的平行四边形是菱形).
考点讲练
2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由.
针对练习
解：四边形ABCD是菱形.
过点C作AB边的垂线交点E，作AD边上的垂线交点F.
S 四边形ABCD=AD · CF =AB ·CE .
由题意可知 CE = CF 且 四边形ABCD是平行四边形.
∴AD = AB .
∴四边形ABCD是菱形.
B
A
C
D
E
F
考点讲练
考点二 矩形的性质和判定
例2：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，
∠AOD=120°，AB=2.5，求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD(矩形的对角线相等).
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
(矩形对角线相互平分)
∴OA = OD.
A
B
C
D
O
考点讲练
∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°.
又∵∠DAB=90° ,
（矩形的四个角都是直角）
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
A
B
C
D
O
考点讲练
例3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．
求证：四边形AODE是菱形；
证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= AC，
OB=OD= BD，
∴OA=OC=OD，
∴四边形AODE是菱形.
考点讲练
1、如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.
针对练习
解：四边形CEBO是矩形.
理由如下：已知四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形.
D
A
B
C
E
O
考点讲练
2.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA= OC,OB = OD.
又∵△ABO是等边三角形,
∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
考点讲练
∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB2 + BC2 =AC2 ,
∴BC= .
∴S□ABCD=AB·BC=4× =
考点讲练
3.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.
解：四边形CEBO是矩形.
理由如下：已知四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
∵DE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
D
A
B
C
E
O
考点讲练
考点三 正方形的性质和判定
例4 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE；
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．
考点讲练
解：(1)四边形BECF是菱形．
理由如下：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠3＝∠1.
∵∠ACB＝90°，
∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°,∴∠2＝∠4，
∴EC＝AE，∴BE＝AE.
∵CF＝AE，
∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
(2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，
∴菱形BECF是正方形．
考点讲练
例5 如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.
(1)求证：∠ECF＝90°；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；
(1)证明：∵CE平分∠BCO，
CF平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，
∴∠ECF＝ ×180°＝90°.
考点讲练
(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF
是矩形．理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF.
又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形.
考点讲练
(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足什么条件时， 四边形AECF为正方形．
解：当点O运动到AC的中点时，
且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．
∵由(2)知当点O运动到AC的中点时，四边形AECF
是矩形，
已知MN∥BC，
当∠ACB＝90°，
则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，
即AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
考点讲练
方法总结
正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
考点讲练
1.如图，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线FC滑动，下列说法错误的是（ ）
A．四边形ACDF是平行四边形
B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D．四边形ACDF不可能是正方形
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为______
针对练习
A
B
C
O
D
B
30
考点讲练
3.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF；
(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD.
在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF.
考点讲练
(2) 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1＋∠4＝90°.
∵∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠AFD＝90°.
在正方形ABCD中， AD∥BC，
∴∠1＝∠AGB＝30°.
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2，
∴AF＝ ，DF＝1.
由(1)得△ABE≌△DAF，
∴AE＝DF＝1，
∴EF＝AF－AE＝ －1.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
24
24
24/5
1或7
课堂练习
5.如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为
625
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
6．（问题情境）
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（探究展示）
（1）请你判断AM，AD，MC三条线段的数量关系，并说明理由；
（2）AM = DE + BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（拓展延伸）
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否仍然成立？请分别作出判断，不需要证明．
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂练习
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：由题意得：AP=4t，DQ=20-t；
∵四边形APQD是矩形，
∴AP=DQ，即4t=20-t，
解得：t=4（s）．
即当t=4s时，四边形APQD是矩形．
课堂练习
课堂总结
1、简述平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的联系。
2、说一说平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质。
3、议一议怎样判断一个四边形是菱形或矩形或正方形。
板书设计
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是( )
A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6)
2．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
D
C
作业布置
3．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，
若EF＝5，则菱形ABCD的周长为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
4．已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为( )
A．8 B．8 C．4 D．2
5．如果顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是( )
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分
C
D
C
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
6.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点，度数为60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合．
(1)求证：BE＝CF．
(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
(1)证明：如图，连接AC．
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAC＝∠DAC＝60°．
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∠1＋∠2＝60°．
∴∠ABE＝∠ACF＝60°，AB＝AC．
∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，∴∠1＝∠3．
∴△ABE≌△ACF(ASA)．∴BE＝CF
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
作业布置
7．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若AE＝5，请求出EF的长．
【综合拓展类作业】
作业布置
8．如图，在 ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC．
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝
________时，四边形BECD是矩形．
作业布置
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．
(1)求证：四边形BNDM是菱形；
(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
作业布置
Thanks!
2
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