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北师大版九年级数学上册第一章《特殊的平行四边形》测试卷（B）
满分：120分 考试时间：90分钟
选择题。（每小题3分，共30分）
1．已知正方形的面积为36，则其对角线的长为( )
A．6 B．6 C．9 D．9
2．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为( )
A. cm B．2 cm C．2 cm D．4 cm
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为( )
A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm
第2题 第3题 第4题
4．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是( )
A．67.5° B．22.5° C．30° D．45°
5如果顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是( )
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是( )
A．1 B． C． D．
7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A． B． C．5 D．4
第6题 第7题 第8题
8．如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，连结AN，CM，则四边形ANCM是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）
A．8 B．8 C．4 D．6
10.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( )
A．3＋ B．2＋2 C．2＋ D．1＋2
第9题 第10题
填空题（每小题4分共28分）
11.已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是 cm2.
12.如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长 cm.
13．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE则∠BED＝________.
(第13题) (第14题) (第15题)
14．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，EO＝2DE，则DE的长为________．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF.给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2.其中正确结论的序号为__________．
第16题 第17题
17．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为________．
解答题（6×3=18分）
如图，在菱形ABCD中，F是BC.上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.,
求证：AE = EC.
19.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于0，AE//BD，DE//AC.求证：0E⊥AD.
20.如图，在 ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P.连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形．
四、解答题（8×3=24分）
21.如图，在 ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC．
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________时，四边形BECD是矩形．
22.如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB，EA，延长BE交边AD于点F.
（1）求证：OADE≌△BCE；
（2）求∠AFB的度数.
23．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E．
(1)求证：BD＝BE；
(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．
五、解答题 （10×2=20分）
24.D，E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB，AC的中点，O是△ABC内任意一点，连接0A，0B，0C，点G，F分别是OB ，0C的中点，顺次连接点D，G，F，E.连接AC，问当0A与BC满足怎样的数量关系时，四边形DGFE是菱形，并证明
25．已知：如图①，四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE，连接AE、BF，记交点为P.
(1)求证：AE⊥BF；
(2)如图②，对角线AC与BD交于点O，BD、AC分别与AE、BF交于点G、H，求证：OG＝OH；
(3)在(2)的条件下，连接OP，若AP＝4，OP＝，求AB的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B C D A B D A
二 、填空
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 20 2 45° . ①②③④
解答题
18.证明：连接AC.
∵AC，BD是菱形
ABCD的对角线
∴BD垂直平分AC
∴AE= EC
19.证明：∵AE // BD，
DE//AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD.
∴四边形AODE是菱形.
∴OE与AD互相垂直，即0E⊥AD.
20.证明：由作图知AB＝AF，∠EAB＝∠EAF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠EAB，∴BE＝AB.
∴BE＝AF.
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝BE，
∴平行四边形ABEF是菱形
21.(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠OEB＝∠ODC．
∵O为BC的中点，∴BO＝CO．
在△BOE和△COD中，
∴△BOE≌△COD(AAS)．
∴OE＝OD．
又∵BO＝CO，
∴四边形BECD是平行四边形．
(2)100°
22. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD= BC， ∠ADC= ∠ BCD = 90°
又∵△CDE是等边三角形，
∴CE=DE，∠EDC=∠ECD=60°
∴∠ADE=∠ECB
∴△ADE≌△BCE
(2)解： ∵△CDE是等边三角形
∴CE=CD= DE
∵四边形ABCD是正方形
∴CD= BC
∴CE= BC
∴△CBE为等腰三角形，且顶角∠ ECB =90°-60° =30°
∴∠EBC= (180° - 30°) =75°
∵AD//BC
∴∠AFB=∠EBC=75°
23.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AB∥CD．
又∵BE∥AC，E在DC的延长线上，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴AC＝BE．
∴BD＝BE．
(2)解：如图，过点O作OF⊥CD于点F．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°．
∴∠BCE＝90°．
在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC＝8．
∵BE＝BD，∠BCD＝90°，∴CD＝CE＝6．
∴DE＝12．
由题易知OD＝OC，∵OF⊥CD，∴CF＝DF．
又∵OB＝OD，∴OF为△BCD的中位线．
∴OF＝BC＝4．
∴S△ODE＝DE·OF＝×12×4＝24．
24.解：0A=BC
证明如下：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥＝ BC
又G、.F分别是OB、0C的中点
∴GF∥＝BC
∴四边形DEFG是平行四边形
∵0A=BC，
又GD=0A，，GF=BC.
∴DG=GF.
∴平行四边形DEFC是菱形.
25.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°.
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE，∴∠DAE＝∠ABF.
∵∠DAE＋∠PAB＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＋∠PAB＝90°，
∴∠APB＝180°－(∠ABF＋∠PAB)＝180°－90°＝90°，∴AE⊥BF.
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠ABO＝∠DAO＝45°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠AOG＝90°.
由(1)知∠DAE＝∠ABF，
∴∠ABO－∠ABF＝∠DAO－∠DAE，
即∠OBH＝∠OAG.
在△OAG和△OBH中，
∴△OAG≌△OBH，∴OG＝OH.
(3)解：过点O作O
M⊥AE于M，作ON⊥BF于N，如图所示，则∠OMP＝∠ONP＝90°，
又∵∠APB＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴四边行OMPN是矩形．
∵△OAG≌△OBH，
∴∠OGA＝∠OHB.
在△OGM和△OHN中，
∴△OGM≌△OHN，∴OM＝ON，
∴四边形OMPN是正方形．
∵OP＝，∴PM＝OM＝ × ＝1，
∵AP＝4，∴AM＝AP＋PM＝4＋1＝5.
在Rt△AOM中，OA＝＝＝，
∴正方形ABCD的边长AB＝OA＝×＝2.
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北师大版九年级数学上册第一章《特殊的平行四边形》测试卷（A）
满分：120分 考试时间：90分钟
选择题。（每小题3分，共30分）
1．如图，P是矩形的边上一个动点，矩形的两条边的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线和的距离之和是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．如图，将长方形纸片折叠，使点落在边上的处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分展开是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形
第1题 第2题 第3题
3．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
4．已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为( )
A．8 B．8 C．4 D．2
5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
6.如图，在矩形ABCD中，AC交 BD于点O，∠AOD =60°，OE⊥AC.若AD=，则AE的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
第5题 第6题 第7题
7.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE：EC =2：1，则线段CH的长是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
8.如图，在△ABC中，AB > AC，D、E分别是边AB，AC上的点，将△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为点A'.若四边形AD A'E是菱形，则下列说法正确的是（ ）
A.DE是AABC的中位线 B.AA'是BC边上的中线
C.AA'是BC边上的高 D.AA'是△ABC的角平分线
9. 如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为(10，8)，点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是( )
A．(0，4) B．(0，5) C．(0，3) D．(0，2)
10. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，若线段AE＝，则四边形ABCD的面积是( )
A．3 B．4 C．2 D．6
第8题 第9题 第10题
填空题（每小题4分共28分）
11．在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝4 cm，那么斜边AB＝________．
12．在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，添加一个条件________，即可判定该四边形是菱形．
13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为________．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．
第13题 第14题 第15题
15.如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形 BEFG，EF 与AD相交于点H，延长DA交GF于点K.若正方形ABCD边长为，则AK= .
16．如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为_____．
第16题 第17题
17．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则的长为_______________．
解答题（6×3=18分）
18.如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF.求证：CE=DE.
19．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DAF.
20．一个菱形的周长是，一条对角线长，求：
（1）另一条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
四、解答题（8×3=24分）
21．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若AE＝5，请求出EF的长
.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点．连接AE，CE，并延长CE交AD于点F.若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．
23.如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE =CF，DE//BF，∠1=∠2.
（1）求证：OAED≌OCFB；
（2）若AD⊥CD，四边形ABCD是什么特殊四边形 请说明理由.
五、解答题 （10×2=20分）
24. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点，度数为60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合．
(1)求证：BE＝CF．
(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．
25.两个长为2cm，宽为1cm的矩形摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转ɑ角，将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度。
（1）当旋转到顶点D，H重合时（如图②），连接AE，CG，求证：
△AED≌△GCD；
（2）当a=45°时（如图③） ，求证：四边形MHND为正方形.
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C D C B B D C D
二 、填空
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 8cm AB=AD(答案不唯一） 16 2.5 2-3 625 4
解答题
18.证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=DC，∠ABC=∠FCD=90°
∵E是边AB的中点，F是边BC的中点，
∴ BE= AB，FC=BC.
∴BE= FC.
在△BEC和△CFD中，
BE = CF，
∠EBC=∠FCD，
BC = CD.
∴△BEC△CFD.
∴CE=DF.
19.证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF.
20.解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD，BD=60cm，BO=DO=30cm，AO⊥BO，
∵C菱形=200cm，
∴4AB=200cm，
∴AB=50cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理cm，
∴AC=2AO=80cm；
（2）S菱形=cm2．
21.(1)证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°．
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
(2)解：∵△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF＝5，∠BAE＝∠DAF．
∵∠BAE＋∠EAD＝90°，
∴∠DAF＋∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°．
∴EF＝＝5．
22. 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝45°.
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB.
又∵∠AEC＝140°，∴∠CEB＝70°.
∵∠DEC＋∠CEB＝180°，∴∠DEC＝180°－∠CEB＝110°.
∵∠DFE＋∠ADB＝∠DEC，
∴∠DFE＝∠DEC－∠ADB＝110°－45°＝65°.
23、(1)证明：∵ DE//BF，
∴∠E=∠F，
又∵∠1=∠2，AE= CF
∴△AED≌△CFB
(2)解：由(1)可知AD= BC，∠DAE=∠ BCF.
∴∠DAC=∠ BCA
∴AD// BC.
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵ AD⊥ CD
∴四边形ABCD是矩形。
24．(1)证明：如图，连接AC．
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAC＝∠DAC＝60°．
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∠1＋∠2＝60°．
∴∠ABE＝∠ACF＝60°，AB＝AC．
∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，∴∠1＝∠3．
∴△ABE≌△ACF(ASA)．∴BE＝CF．
(2)解：四边形AECF的面积不变．
由(1)知△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF．
故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC．
如图，过点A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2，
∴AM＝＝＝2．
∴S△ABC＝BC·AM＝×4×2＝4．
∴S四边形AECF＝4．
25.证明：(1)∵∠ADE=∠ADC+∠CDE=90° +∠CDE，∠GDC = ∠GDE + ∠CDE=90°+ ∠CDE
∴∠ADE=∠GDC
在△AED和△GCD中，AD=GD
∠ADE=∠GDCDE= DC
∴△AED≌△GCD.
(2)∵ α=45°，
∴∠NCE = ∠NEC=180°- ∠α-90° =45°.∴ CN = NE.
∴∠CNE= 90°∴∠DNH =90°.
∵∠D=∠H=90°.
∴四边形MHND是矩形.∵CN= NE，∴DN=NH
∴矩形MHND是正方形.
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