【北师大版九上同步练习】1.1 棱形的性质和判定（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
1.1棱形的性质和判定
一、单选题
1． 如图，在菱形中，对角线，相交于点．若，，则菱形的面积为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
2．如图，在菱形中，，，则该菱形的面积为（　　）
A．40 B．20 C．48 D．24
3． 矩形、菱形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线平分一组对角
4．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，则重叠部分四边形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，，点E、F同时从A、C两点出发，分别沿方向匀速运动（到点B停止），点E的速度为，点F的速度为．若经过t秒时，为等边三角形，则t的值为（　　）
A．1 B． C． D．2
二、填空题
6．如图，在 中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中，；；；．其中正确的是　 　．
7．如图，在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，AE平分∠CAB，若∠CAE=32°，则∠ABC的度数为　 　°．
8．如图，菱形的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线的长是，点为的中点，点P在菱形的边上运动，点F在y轴的正半轴上，且，当点F到所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在的中点处，则菱形的边长等于　 　．
三、计算题
9．如图，四边形 是平行四边形， 且分别交对角线 于点E，F．
（1）求证： ；
（2）当四边形 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 的形状．（无需说明理由）
四、解答题
10．如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM=CN．
11．如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，过点作，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若平行四边形的周长为，求菱形的面积．
12．如图，在菱形中，，，是的中点，过点作，垂足为，将沿点到点的方向平移，得到．
（1）求的长；
（2）设，分别是，的中点，当点与点重合时，求证四边形是平行四边形，并求出四边形的面积．
五、综合题
13．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
14．如图，在中，是AB的中点，连结DF并延长，交CB的延长线于点，连结AE.
（1）求证：四边形AEBD是菱形.
（2）若DC=2，BC=3，求的面积.
15． 已知，AB＝AC，AB＞BC．
（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．
六、实践探究题
16．
（1）【教材呈现】下图是华师版数学教材八年级下册第117页的部分内容
例5如图19.2.13，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形.分析要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又知EF垂直平分AC，所以只需证.图19.2.13
请根据教材分析，结合图①，写出完整的证明过程
（2）证明【结论应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C与点A重合，点D落到点处.若，，则矩形ABCD的面积为　 　.
17．【实践发现】
对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在 上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕 ，把纸片展平，连结 ，如图①.
（1）折痕 　 　（填“是”或“不是”）线段 的垂直平分线；请判断图中 是什么特殊三角形？答：　 　；进一步计算出 　 　 ；
（2）继续折叠纸片，使点A落在 边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕 ，把纸片展平，如图②，则 　 　 ；
（3）【拓展延伸】
如图，折叠矩形纸片 ，使点A落在 边上的点 处，并且折痕交 边于点T，交 边于点S，把纸片展平，连结 交 于点O，连结 .
求证：四边形 是菱形；
（4）【解决问题】
如图④，矩形纸片 中， ，折叠纸片，使点A落在 边上的点 处，并且折痕交 边于点T，交 边于点S，把纸片展平.同学们小组讨论后，得出线段 的长度有1，4，7，11.请写出以上4个数值中你认为正确的数值为　 　.
18．
（1）探究1：如下图，在菱形中，点为射线上一动点，于，连接．当时，　 　；
（2）探究2：如下图，在矩形中，为射线上一点，于，连接．当时，　 　；
（3）拓展探究：如下图，在中，，点为射线上一点，于，连接．(数据：)
①若，则 ▲ ；(填“＞”或“＝”或“＜”)
②若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质
2．【答案】D
【知识点】菱形的性质
3．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
4．【答案】C
【知识点】菱形的判定；菱形的判定与性质
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
6．【答案】①②④
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
7．【答案】52
【知识点】菱形的性质；角平分线的定义
8．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理
9．【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∴
在△ABE和△CDF中 ，
∴ ．
（2）四边形BEDF是平行四边形与菱形
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
10．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠A=∠C，
∵DM⊥AB，DN⊥BC，
∴∠DMA=∠DNC=90°，
在△DAM和△DCN中，
，
∴△DAM≌△DCN（AAS），
∴AM=CN．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
11．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形
在中，是中点，
平行四边形是菱形
（2）连接平行四边形的周长是36
分设，则，
在中，由勾股定理得：，
，解得，
四边形是菱形，
四边形是平行四边形，
【知识点】菱形的判定与性质
12．【答案】（1）解：四边形是菱形，
，
是的中点，
，
，，
；
（2）解：如图，连接，，交于．
由题意，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，，
是等边三角形，
，
，，
在中，，，，
，，
，
在中，，，
，
，
，
平行四边形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质；平移的性质
13．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF（ ASA ），
∴AE=DF
（2）解：若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵若AD平分∠BAC∴∠EAD=∠DAF，又∵∠ADE=∠DAF，
∴∠EAD=∠ADE
∴AE=DE．
∴平行四边形AEDF为菱形
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定（ASA）
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAF=∠EBF，
∵∠AFD=∠EFB，AF=FB，
∴△AFD≌△BFE（AAS），
∴AD=EB，
∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵DB=DA，
∴平行四边形AEBD是菱形．
（2）由（1）可知，四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AD=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD=BC，
∴DC⊥DE，BE=BC=3，
∴CE=2BC=6，
在Rt△EDC中，由勾股定理得：
∴S△EDC
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质
15．【答案】（1）证明：∵，
∴AC＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABDC是平行四边形，
又∵AB＝AC，
∴四边形ABDC是菱形；
（2）解：结论：．
证明：∵，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，
∵AB＝CD，，
∴，
∴BM＝BD，，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵CA＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即∠ADB＝30°．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定与性质
16．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴，∴.
∵EF平分AC，∴.
又∵，∴，
∴，∴四边形AFCE是平行四边形
又∵，∴四边形AFCE是菱形
（2）32
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）
17．【答案】（1）是；等边三角形；60
（2）15
（3）解：∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，
∴ST垂直平分AA'，
∴AO=A'O，AA'⊥ST，
∵AD∥BC，
∴∠SAO=∠TA'O，∠ASO=∠A'TO，
∴△ASO≌△A'TO（AAS）
∴SO=TO，
∴四边形ASA'T是平行四边形，
又∵AA'⊥ST，
∴四边形SATA'是菱形；
（4）7，9
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
18．【答案】（1）或
（2）或
（3）解：①=
②分两种情况分析：
当P点在线段BC上时，延长交于点，过点作交，的延长于点，过点作于点，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
在中，，，
在中，，
，
，
，
在中，，，
在中，，
；
当点射线上时，延长至点，使，过点作交于点，过点作于点，连接，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
在中，，
在中，，，
在中，，
；
综上可知：的长为或．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质
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