【北师大版九上同步练习】 1.2 矩形的性质和判定（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
1.2矩形的性质和判定
一、单选题
1．如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形中，，则的度数是（　　）
A．45° B．55° C．65° D．70°
3．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．每条对角线平分一组对角
C．对角线互相平分 D．对边平行且相等
4．如图，在矩形中，对角线交于点，若，，则对角线的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在矩形中，与交于点，点是上一点，连结交对角线于．若，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．小明用图1所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状（图2）．若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为　 　．
7．已知四边形ABCD，其中AD//BC，AB⊥BC，将DC沿DE折叠，C落于，交CB于G，且ABGD为长方形（如图1）；再将纸片展开，将AD沿DF折叠，使A点落在DC上一点（如图2），在两次折叠过程中，两条折痕DE、DF所成的角为　 　度．
8．如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为　 　．
三、计算题
9．（1）；
（2）.
四、解答题
10．如图，点E为矩形ABCD外一点，AE = DE.求证：△ABE≌△DCE
11． 如图，在矩形ABCD中，分别以点A，点C为圆心，大于长为半径在线段AC的两侧分别画弧，得交点G，H，作经过点G，H的直线与线段AD，CB的延长线分别交于点E，F，且与AC交于点O，连结CE，AF．
（1）判断四边形EAFC的形状，并说明理由．
（2）若，，求CE的长．
12．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G.
图1 图2 图3备用图
（1）如图1，当点E落在边上时，求直线的函数表达式；
（2）如图2，当C、E、F三点在一直线上时，所在直线与、分别交于点H、M，求线段的长度.
（3）如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，点B到直线的距离是否存在最大值 若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由.
五、综合题
13．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．
（1）求OC的长；
（2）求四边形OBEC的面积．
14．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积S．
15．如图，在矩形中，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的周长．
六、实践探究题
16．如图 37-1， 为制作角度尺，将长为 10 ， 宽为 4 的矩形 分割成 的小正方形网格，在该矩形边上取点 ， 来表示 的度数， 阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 （如图 37-1） 结论
（1）在 上取点 ， 使 ． ，点 表示
（2）以点 为圆心， 8 为半径作弧， 与 相交于点 ．点 表示 ，点 表示
（3）分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧， 相交于点 ， 连结 与 相交于点 　
（4）以点 为圆心， 的长为半径作弧， 与射线 交于点， 连结 交 于点 　
（1） 分别求点 表示的度数．
（2） 用直尺和圆规在该矩形的边上作点 ，使该点表示 （保留作图痕迹， 不写作法）．
17．在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
（1）【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
（2）【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
（3）活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
18．综合与实践：在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，，．
（1）操作发现
操作一：如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图2，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由；
（2）实践探究
操作二：如图3，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接．
①判断与折痕的位置关系，并说明理由；
②求的长．
（3）拓展应用
将矩形纸片裁剪为，，在图3的情形下，若G为上任意一点，其他条件不变，当点A与点距离最小时，直接写出BG的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理；矩形的性质
2．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；尺规作图-作一个角的平分线
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
4．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
5．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；直角三角形的性质
6．【答案】
【知识点】二次根式的应用；七巧板；矩形的性质
7．【答案】45
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
8．【答案】12
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
9．【答案】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
，
.
【知识点】正比例函数的图象和性质；矩形的性质
10．【答案】证明： 四边形ABCD是矩形，
， ，
，
，
，
在 和 中，
.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
11．【答案】（1）解：四边形EAFC为菱形，理由如下：
由作图可知：，．∵，∴．
在与中，∵，
∴，∴，∴四边形EAFC为平行四边形．
又∵，∴平行四边形EAFC为菱形．
（2）解：在菱形EAFC中，，设，则，
在中，，∴，
解得．∴．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
12．【答案】（1）解：∵矩形，点，∴，，，∵矩形是由矩形旋转得到，∴，.
在中，，∴，∴，，∴直线表达式为，
设的函数表达式为，由，得，∴，解得，∴得函数表达式为；
（2）解：如图，过点M作与N，连接、，
∵矩形是由矩形旋转得到，∴，，
∴，∵，
∴四边形是知形，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∵，，∴，
∴，∵，∴，∴，
设，在中，，∴；
解得，∴，∴，∴，∴；
（3）解：在矩形旋转过程中，点B到直线的距离存在最大值，这个最大值是，理由如下：当在O的左侧且时，B到直线的距离最大，设于的交点为M，如图：
∵P为的中点，∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
∴点B到直线的距离最大值是.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
13．【答案】（1）解：∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴直角△OCD中，OC= （cm）
（2）解：∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形，
又∵AC⊥BD，即∠COB=90°，
∴平行四边形OBEC为矩形，
∵OB=0D，
∴S矩形OBEC=OB OC=4×3=12（cm2）
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
14．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
即，
，，
为线段的中点，
，
在与中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形
（2）解：四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
四边形的面积
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
15．【答案】（1）证明：在矩形中，，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形
（2）解：设菱形的边长为x，则，
，
在中，
，即，
解得：，
∴四边形的周长为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
16．【答案】（1）解：∵四边形OABC为矩形，
∴
∴
∵EF为OP2的垂直平分线，
∴
∴
∴
∴点表示 ，
∵
∴
∵
∴
∴
∴点表示 .
（2）解：作的角平分线交BC于P5，点P5即为所求点，如图，
∵点 表示 ，点 表示 ，
∴
∴
∴点P5表示.
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
17．【答案】（1）解：四边形ABDE是平行四边形．
证明：如图，∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：如图1，连接BE交AD于点O，
∵四边形ABDE为矩形，
∴OA＝OD＝OB＝OE，
设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），
∴OF＝OA-AF＝2-x，
在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，
∴，
解得：x＝，
∴AF＝cm．
（3）解：BD＝2OF，
证明：如图2，延长OF交AE于点H，
∵四边形ABDE为矩形，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，
∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，
∴∠ABD+∠BAE＝180°，
∴AE∥BD，
∴∠OHE＝∠ODB，
∵EF平分∠OEH，
∴∠OEF＝∠HEF，
∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，
∴△EFO≌△EFH（ASA），
∴EO＝EH，FO＝FH，
∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，
∴△EOH≌△OBD（AAS），
∴BD＝OH＝2OF．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；平移的性质
18．【答案】（1）解：以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形．
理由如下：
如图，连接，，设与交于点，由折叠可知，
，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴以点，，，为顶点的四边形是菱形；
（2）解：①．
理由如下：
∵折叠，
∴，，
又，
∴，
∵G为中点，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
②连接交于M，
，
∵，
∴，
又，，
∴，即，
∵矩形纸片中，，，G为中点，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵，，，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴当A、、C三点共线时，最小，的最小值为．
如图，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴．
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
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