【北师大版九上同步练习】 1.3 正方形的性质和判定（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
1.3正方形的性质和判定
一、单选题
1．下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
2．下列判断中正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相互垂直平分的平行四边形是正方形
C．四角相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
3．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，四边形，四边形，四边形都是正方形，是某个直角三角形的三边，其中是斜边，若，四边形的面积为8，则的长为（　　）
A．10 B． C． D．12
5．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，正方形的边长为18，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为．若，则线段的长是　 　．
7．如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边上，且，平分，连接，分别交、于点、，是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①；②垂直平分；③的最小值为；④，其中正确的结论是 　 　（请填写序号）．
8．如图，在边长为6的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，AE＝DE＝5.若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为　 　.
三、计算题
9．如图，方格纸上每个小正方形的面积为1．
⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD，并计算所画正方形ABCD的面积．
⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A2B2C2D2，正方形的各个顶点都在方格纸的格点上．
10．R△ABC中，∠BAC=90°，
（1）如图1，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABFG、ACPE、BCDE，其面积分别记为S1，S2 ，S3
①若AB=5，AC=12，则S3= ▲ ；
②如图2，将正方形BCDE沿C折， 点D、E的对应点分别记为M、M，若点从M、N分别在直线FG和PH上， 且点M是GO中点时，求S1：S2：S3 ；
③如图3，无论R△ABC三边长度如何变化，点M必定落在直线FG上吗 请说明理由；
（2）如图4，分别以AB， AC， BC为边向外作正三角形ABD， ACF， BCE， 再将三角形BCE沿BC翻折，点E的对应点记为P，若AB= 保持不变，随着AC的长度变化，点P也随之运动，试探究AP的值是否变化，若不变，直接写出AP的值；若改变，直接写出AP的最小值.
四、解答题
11．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。
求证：矩形ABCD是正方形
12．如图，在中，是外角的平分线，于点E．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？请给出证明．
13． 对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．
（1）判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为正方形”是真命题还是假命题？
（2）如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，，连接，，，取的中点，连接并延长交于点．探究：四边形是否是奇特四边形，如果是证明你的结论，如果不是请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若四边形的面积为，则的值是多少？
五、综合题
14．如图，在四边形AECF中， ．CE、CF分别是△ABC的内，外角平分线．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
15．如图，正方形AOBC的边长为2，点O为坐标原点，边OB，OA分别在x轴，y轴上，点D是BC的中点，点P是线段AC上的一个点，如果将OA沿直线OP对折，使点A的对应点A'恰好落在PD所在的直线上．
（1）连接OD，求证：△A'OD≌△BOD；
（2）利用你所学的数学知识求出折痕OP所在直线的函解式；
（3）请问x轴上是否存在一点，使△DPQ的周长有最小值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的两点，且．AE、AF分别交正方形的对角线BD于G、H两点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EF．
（1）求证：FA平分∠QAE．
（2）求证：．
（3）试探索BH、HG、GD三条线段间的数量关系，并加以说明．
六、实践探究题
17． 【问题情境】
如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点延长交于点，连接．
（1）四边形的形状是　 　 ；
（2）若，，则正方形的面积为　 　 ；
（3）如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．
18．如图，在△ABC中，已知∠BAC =45°，AD⊥BC于点 D，BD=2，DC=3，求AD 的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.
请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以 AB，AC 为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点 D 的对称点分别为E，F，延长 EB，FC相交于点G.求证：四边形AEGF 是正方形.
（2）设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x的方程，求出 AD的长.
19．【问题背景】
在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系．
（1）【初步探索】
小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是　 　．
（2）【探索延伸】
在四边形中如图2，，，E、F分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
（3）【结论运用】如图3，，，，，，，，直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
2．【答案】D
【知识点】正方形的判定
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
5．【答案】B
【知识点】正方形的性质
6．【答案】8
【知识点】正方形的性质
7．【答案】①②③
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质
8．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
9．【答案】解：（1）由网格可得：
，
则正方形ABCD的面积为 ，正方形ABCD如图所示：
（2）由面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A2B2C2D2，可得正方形A1B1C1D1的边长为 ，正方形A2B2C2D2的边长为 ，则如图所示
【知识点】勾股定理；正方形的性质
10．【答案】（1）解：①169
②设正方形ABGF的边长为a，则AB=BF=AG=FG=a，
∵正方形ABGF，正方形AHPC，∠BAC=90°，
∴∠AGO=∠GAH=∠AHO=90°
∴四边形AGOH是矩形，
∴∠F=∠NOM=90°，OG=AH
∵将正方形BCDE沿C折， 点D、E的对应点分别记为M、M
∴BM=MN，∠BMN=90°
∴∠BMF+∠NMO=90°，∠NMO+∠MNO=90°
∴∠BMF=∠MNO
在△BFM和△MON中
∴△BFM≌△MON（AAS）
∴OM=BF=a
∵点G是GO的中点，
∴OG=AH=2OM=2a，
∴正方形AHPC的边长为2a，
AB2+AC2=BC2
∴S12+S22=S32
∴S32=a2+4a2=5a2
∴ S1：S2：S3 =a2：4a2：5a2=1：4：5；
③过点M作MQ⊥HB于点Q，
∵正方形BCNM
∴BM=BC，∠BAC=∠MQB=90°，
∵∠MBQ+∠BMQ=90°，∠MBQ+∠ABC=90°，
∴∠BMQ=∠ABC
在△MBQ和△BCA中
∴△MBQ≌△BCA（AAS）
∴MQ=BA，
∵正方形ABFG，
∴AB=BF=AG，
∴FB=GA=MQ
∵BF∥AG∥MQ
∴点F、G、M三点共线即点M一定落在直线FG上.
（2）AP值会改变，AP最小值为
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
11．【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°
∵△AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，
又∠CEF=45°，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形。
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；正方形的判定
12．【答案】（1）证明：，
．
是外角的平分线，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形．
（2）解：答案不唯一，如：当时，四边形是一个正方形．
证明：，
，
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形．
故当时，四边形是一个正方形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定
13．【答案】（1）解：假命题，如图，
∵，，
又∵，
而四边形不是正方形．
（2）解：四边形是奇特四边形，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是奇特四边形．
（3）解：过点作，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；直角三角形的性质；真命题与假命题
14．【答案】（1）证明：∵CE、CF分别是 的内、外角平分线，
， ．
，即 ．
，
∴四边形AECF是矩形．
（2）解：当 满足 时，四边形AECF是正方形．
理由：
． ．
∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定；角平分线的判定
15．【答案】（1）证明：∵四边形OACB是正方形，
∴∠OAP＝∠OBC＝90°，OA＝OB，
由轴对称的性质可知OA＝OA'，∠OA'P＝'OAP＝90°，
∴OA'＝OB，∠OA'D＝∠OBD＝90°，
∵OD＝OD，
∴Rt△A'OD≌Rt△BOD（HL）；
（2）解：连接OD，
∵正方形AOBC的边长为2，点D是BC的中点，
∴．
由折叠的性质可知，OA'＝OA＝2，∠OA'D＝90°．
∴A'D＝1．
设点P（x，2），PA'＝x，PC＝2﹣x，CD＝1．
∴（x+1）2＝（2﹣x）2+12．
解得x＝．
所以P（，2），
∴OP所在直线的表达式是y＝3x；
（3）解：存在．若△DPQ的周长为最小，
即是要PQ+DQ为最小．
∵点D关于x轴的对称点是D'（2，﹣1），
∴设直线PD'的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴直线PD'的函数表达式为．
当y＝0时，x＝．
∴点Q（，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
16．【答案】（1）证明：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，由旋转可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴FA平分∠QAE；
（2）证明：∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，此时AB与AD重合，
∴，，，
∴，
因此，点Q，B，F在同一条直线上，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：BH、HG、GD三条线段间的数量关系为．
证明：如图，在正方形ABCD中，，，
∴．
把△ABH绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，连接GM．
∴，
∴，，，．
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
在△AHG和△AMG中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
17．【答案】（1）正方形
（2）225
（3）解：结论：，
理由如下：如图中，过点作于点，
则，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
由旋转可知：，
由可知：四边形是正方形，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
18．【答案】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC．
又∵∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝2∠BAD+2∠DAC＝2∠BAC＝90°．
又∵AD⊥BC，
∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．
∴四边形AEGF是矩形．
又∵AE＝AD，AF＝AD，
∴AE＝AF，
∴四边形AEGF是正方形；
（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x．
∵BD＝2，DC＝3，
∴BE＝2，CF＝3，
∴BG＝x﹣2，CG＝x﹣3．
在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，
∴（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，
解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去），
∴AD＝6．
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
19．【答案】（1）
（2）解：仍成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：5
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
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