【北师大版九上同步练习】 第一章 特殊平行四边形（基础知识）检测题（含答案）

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【北师大版九上同步练习】
第一章特殊平行四边形（基础知识）检测题
一、单选题
1．如图，在菱形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，菱形中，，的度数是度数的2倍，则对角线长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长度为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如题图，四边形是菱形，于点，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，已知矩形中，E、F、G、H分别是的中点，四边形的周长等于，则矩形的对角线长　 　．
7．如图1是清代方胜纹暗花缎袄，如图2是缎袄上面方胜纹示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，、相交于点M，若，，则菱形的周长为　 　．
8．如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，若反比例函数的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为　 　．
三、计算题
9．（1）计算：．
（2）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形求证：．
四、解答题
10． 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O， ▲ ．
求证： ▲ ．
11． 如图，在中，，延长至，使得，过点分别作与相交于点．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接，若，求的长．
12．在△ABC中，AC＝BC，点D是边AB上不与点B重合的一动点，将△BDC绕点D旋转得到△EDF，点B的对应点E落在直线BC上，EF与AC相交于点G，连接AF．
（1）如图1，当点D与点A重合时，
①求证：∠C＝∠CEF；
②判断AF与BC的位置关系是 ▲ ；
（2）如图2，当点D不与点A重合，点E在边BC上时，判断AF与BC的位置关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D是AB的中点，点E在边BC上时，延长BA，CF相交于点P，若AB＝CD＝2，求PF的长．
五、综合题
13．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB．
（1）如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是　 　形；
（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是　 　形．
14．等边三角形ABC与正方形DEFG按如图①所示的方式放置，其中D，E两点分别在AB，BC上，且BD=BE.
（1）求∠DEB的度数。
（2）当正方形DEFG沿着射线BC方向以每秒1个单位的速度平移时，CF的长度y随着运动时间t变化的函数图象如图②所示，且当时，y有最小值1。
①求等边三角形ABC的边长。
②连结CD，在平移的过程中，当△CEF与△CDE同时为等腰三角形时，求t的值。
③从平移运动开始，到GF恰落在AC边上时，请直接写出△CEF外接圆圆心的运动路径的长度。
15．如图①，矩形ABCD中，，点在边BC上，且不与点B，C重合，直线AP与DC的延长线相交于点．
（1）当是BC的中点时，求证：．
（2）将沿直线AP折叠得到，点落在矩形ABCD的内部，延长交直线AD于点．
①求证：．请求出在（1）的条件下AF的长.
②连结B C，求周长的最小值．
③如图②，交AE于点H，G是AE的中点，当时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由．
六、实践探究题
16．公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”.1876年类国总统Garfeild用图1(点C、点B、点C'三点共线)进行了勾股定理的证明.△ACB与△BC'B'是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c.
（1）请用此图1证明勾股定理.
（2）扩展应用1：
如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形CED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，那么FM、EN、BC的数量关系是怎样 ：说明理由.
（3）扩展应用2：
如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直m、n上，过点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为l，l、m之间距离为2.直接出正方形的面积是　 　.
17． 综合与探究
折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，八（4）班数学兴趣小组的同学们在活动课进行了折纸问题探究．
【方法提示】
数学折纸问题的解决通常结合轴对称和全等的相关知识性质，要关注折叠前后对应的边和对应的角等一些不变的关系．
【动手操作】
如图，将一张矩形纸片沿长边进行折叠（已知），使点落在边上，折痕为（点在边上，点在边上），折叠后点，对应点分别为点，．
【问题探究】
（1）判断图中四边形的形状，并证明你的结论．
（2）随着点落在不同的位置，折痕位置也在变化，若矩形纸片中，，求线段长度的取值范围．
18． 综合与实践
问题情境：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动．数学实践体验课上，张老师利用几何画板将两个大小不同的正方形进行旋转变换，并提出以下问题：如图①，四边形和四边形均为正方形，且点G在上，连接，，则与怎样的数量关系和位置关系．
（1）猜想定论：
猜想题目中的问题：与的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）探索验证：
如图②，将正方形以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使得过点B（即点B在上），此时（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）拓展深入：
如图③，在图②的基础上，过点A作于点H，若，，请直接写出线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
2．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
3．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
4．【答案】A
【知识点】菱形的性质
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质
6．【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
7．【答案】
【知识点】菱形的性质
8．【答案】
【知识点】正方形的性质
9．【答案】（1）解：原式
．
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
即．
【知识点】实数的运算；平行四边形的性质；正方形的性质
10．【答案】已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，
∵AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形．
【知识点】菱形的判定
11．【答案】（1）解：证明：小星：连接，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
；
小红：连接，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
（2）解：，
设，
，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
12．【答案】（1）解：①证明：∵AC＝BC，AE＝AB，
∴∠CAB＝∠B＝∠AEB，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠CAB＝180°﹣2∠B，
由旋转的性质可得∠FEA＝∠B，∠F＝∠C，
∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣2∠B，
∴∠C＝∠CEF；
②AF∥BC；
（2）解：AF∥BC，理由为：
过点F作FH⊥CB于点H，过点A作AK⊥BC于点K，如图，
则∠FHC＝∠AKB＝90°．
∴FH∥AK，
由旋转可得AC＝EF＝BC，
由（1）可得∠ACE＝∠CEF，
在△FHE和△AKC中，
，
∴△FHE≌△AKC（AAS），
∴FH＝AK，
∴四边形AKHF是矩形，
∴AF∥BC；
（3）解：连接AE，如图，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝DE＝DB＝1，∠CDB＝90°，
∴∠EAD＝∠AED，∠EBD＝∠DEB，
∴∠AEB＝∠AED+∠DEB＝∠EAD+∠EBD＝90°，
由旋转可得DC＝DF，∠FDE＝∠CDB＝90°，
∴∠FDC＝∠EDB．
∴∠FCB＝∠FCD+∠DCB＝∠B+∠DCB＝90°，
由（2）可得四边形AFCE是矩形，
∴CF＝AE，AF＝CE，AF∥CE，
，
，即，
，
，
∵AF∥CE，
∴△PFA∽△PCB，
，即，
解得.
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质
13．【答案】（1）矩
（2）菱
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
14．【答案】（1）60°
（2）①2+2 .
②2-2或2+2.
③
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质；平移的性质；三角形全等的判定（SAS）
15．【答案】（1）证明：如图，在矩形中，，
即，
∴．
∵点P是的中点，
∴．
∴．
（2）解：①证明：如图，在矩形中，，
∴．
由折叠可知，
∴．
∴．
在矩形中，，
∵点P是的中点，
∴．
由折叠可知，．
设，则．
∴．
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
即．
②解：如图，由折叠可知，．
∴．
由两点之间线段最短可知，
当点恰好位于对角线上时，最小．
连接，在中，，
∴，
∴，
∴．
③解：与的数量关系是．
理由是：如图，由折叠可知．
过点作，交于点M，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴点H是中点．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵点G为中点，点H是中点，
∴．
∴．
∴．
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
16．【答案】（1）解：∵点C、点B、点三点共线，.∴四边形是直角梯形，
∵△ACB与'是一样的直角三角板，
是等腰直角三角形，
所以S梯形
所以
a +2ab+b =ab+ab+c .
∴a +b =c ；
（2）
拓展1.过A作AP⊥BC于点P，
则∠BMF=∠APB=90°，
∵∠ABF=90°，
∴∠BFM+∠MBF=∠MBF+∠ABP，
∴∠BFM=∠ABP，
在△BMF和△ABP中，
∴△BMF≌△ABP(AAS)，
∴FM=BP，
同理，EN=CP，
∴FM+EN=BP+CP，
即FM+EN=BC，
故答案为：FM+EN=BC；
（3）5
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理的应用；正方形的性质
17．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
图形翻折后点与点重合，为折线，
，
，
，
图形翻折后与完全重合，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形；
（2）解：如图，当与重合时，取最小值，
由折叠的性质得，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
；
如图，当与重合时，取最大值，
由折叠的性质得，
，
，即，
，
线段的取值范围．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
18．【答案】（1）；
（2）解：结论成立，理由如下：
延长，交的延长线于点H，
∵四边形，都是正方形，
∴，，，
∵，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
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